L2 Économie Probabilités COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Exercice. On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y dont la loi de couple est donnée par le tableau X\Y −1 1 −2 29 100 13 100 33 100 2 p2 (a) Pour quelle(s) valeur(s) de p ce tableau définit bien une loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires ? (b) Déterminer les lois marginales de X et Y puis calculer leurs espérances et variances. (c) Déterminer la loi de la variable aléatoire Z = XY, son espérance et sa variance. (d) Déterminer la covariance Cov(X, Y). Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Corrigé de l’exercice. (a) Il faut que tous les coefficients du tableau soient positifs (ce qui est le cas) et que la somme des éléments du tableau vaille 1 ; on a 29 33 13 75 3 1 + + + p2 = 1 ⇐⇒ + p2 = 1 ⇐⇒ + p2 = 1 ⇐⇒ p2 = 100 100 100 100 4 4 1 ⇐⇒ p = ± . 2 Les deux valeurs de p qui font du tableau précédent une loi de probabilité d’un couple 25 sont p = 12 et p = − 21 . Dans tous les cas, on a p2 = 14 = 100 1 (b) La loi marginale de X est donnée par k P(X = k) −2 62 100 38 100 2 On a donc X E(X) = xP(X = x) = (−2) × x∈X(Ω) 38 48 62 + (+2) × =− 100 100 100 38 400 62 + (+2)2 × = =4 100 100 100 x∈X(Ω) 2 48 2304 40000 − 2304 37696 2 2 Var(X) = E(X ) − E(X) = 4 − − =4− = = 100 10000 10000 10000 E(X 2 ) = X x2 P(X = x) = (−2)2 × La loi marginale de Y est donnée par k P(Y = k) −1 1 42 100 58 100 On a donc X E(Y) = yP(Y = y) = (−1) × y∈Y(Ω) 42 58 16 + (+1) × = 100 100 100 42 58 100 + (+1)2 × = =1 100 100 100 y∈Y(Ω) 2 16 10000 − 256 9744 256 2 2 Var(Y) = E(Y ) − E(Y) = 1 − = = =1− 100 10000 10000 10000 E(Y 2 ) = X y2 P(Y = y) = (−1)2 × (c) Les valeurs prises par Z sont −2 et 2. On a 25 54 29 + 100 = 100 100 33 13 46 = 100 + 100 = 100 P(Z = 2) = P(X = 2, Y = 1) + P(X = −2, Y = −1) = P(Z = −2) = P(X = −2, Y = 1) + P(X = 2, Y = −1) La loi de Z est donc donnée par le tableau suivant : k P(Z = k) −2 2 46 100 54 100 On a donc X E(Z) = z∈Z(Ω) zP(Z = z) = (−2) × 46 54 16 + (+2) × = 100 100 100 46 54 400 + (+2)2 × = =4 100 100 100 z∈Z(Ω) 2 16 256 40000 − 256 39744 2 2 Var(Z) = E(Z ) − E(Z) = 4 − =4− = = 100 10000 10000 10000 E(Z 2 ) = X z2 P(Z = z) = (−2)2 × 2 (d) La covariance de X et Y est donnée par 48 16 2368 16 − − × = . Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = 100 100 100 1000 Les variables X et Y ne sont pas indépendantes car elles ne sont pas décorrélées. 3