Variables aléatoires discrètes : Exercice corrigé L2 Économie

L2 Économie Probabilités
COUPLES DE VARIABLES
ALÉATOIRES DISCRÈTES
Exercice. On considère deux variables aléatoires discrètes Xet Ydont la loi de couple est
donnée par le tableau
X\Y−1 1
−229
100
33
100
213
100 p2
(a)Pour quelle(s) valeur(s) de pce tableau définit bien une loi de probabilité d’un couple de
variables aléatoires ?
(b)Déterminer les lois marginales de Xet Ypuis calculer leurs espérances et variances.
(c)Déterminer la loi de la variable aléatoire Z=XY, son espérance et sa variance.
(d)Déterminer la covariance Cov(X,Y). Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
Corrigé de l’exercice.
(a)Il faut que tous les coefficients du tableau soient positifs (ce qui est le cas) et que la somme
des éléments du tableau vaille 1 ; on a
29
100 +33 100 +13 100 +p2=1⇐⇒ 75 100 +p2=1⇐⇒ 3 4+p2=1⇐⇒ p2=1 4
⇐⇒ p=±1
2.
Les deux valeurs de pqui font du tableau précédent une loi de probabilité d’un couple
sont p=1
2et p=−1 2. Dans tous les cas, on a p2=1 4=25 100
1

(b)La loi marginale de Xest donnée par
kP(X=k)
−262
100
238
100
On a donc
E(X)=X
x∈X(Ω)
xP(X=x)=(−2) ×62
100 +(+2) ×38 100 =−48 100
E(X2)=X
x∈X(Ω)
x2P(X=x)=(−2)2×62
100 +(+2)2×38 100 =400 100 =4
Var(X)=E(X2)−E(X)2=4−−48
1002
=4−2304
10000 =40000 −2304 10000 =37696 10000
La loi marginale de Yest donnée par
k−1 1
P(Y=k)42
100
58
100
On a donc
E(Y)=X
y∈Y(Ω)
yP(Y=y)=(−1) ×42
100 +(+1) ×58 100 =16 100
E(Y2)=X
y∈Y(Ω)
y2P(Y=y)=(−1)2×42
100 +(+1)2×58 100 =100 100 =1
Var(Y)=E(Y2)−E(Y)2=1−16
1002
=1−256
10000 =10000 −256 10000 =9744 10000
(c)Les valeurs prises par Zsont −2 et 2. On a
P(Z=2) =P(X=2,Y=1) +P(X=−2,Y=−1) =29
100 +25 100 =54 100
P(Z=−2) =P(X=−2,Y=1) +P(X=2,Y=−1) =33
100 +13 100 =46 100
La loi de Zest donc donnée par le tableau suivant :
k−2 2
P(Z=k)46
100
54
100
On a donc
E(Z)=X
z∈Z(Ω)
zP(Z=z)=(−2) ×46
100 +(+2) ×54 100 =16 100
E(Z2)=X
z∈Z(Ω)
z2P(Z=z)=(−2)2×46
100 +(+2)2×54 100 =400 100 =4
Var(Z)=E(Z2)−E(Z)2=4−16
1002
=4−256
10000 =40000 −256 10000 =39744 10000
2

(d)La covariance de Xet Yest donnée par
Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=16
100 −−48 100×16 100 =2368 1000.
Les variables Xet Yne sont pas indépendantes car elles ne sont pas décorrélées.
3