Réduction des endomorphismes. . Diagonalisation Soit E un espace

R´eduction des endomorphismes.
.
Diagonalisation
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie sur Ket fun endomor-
phisme de E. Le but de r´eduction est de chercher des bases dans Edans
lesquelles la forme de la matrice associ´ee `a fest la plus simple possible.
Si fest d´eja donn´e par une matrice A=MB(f) dans une base B, il
s’agit de passer `a une autre base B0de fa¸con `a ce que la nouvelle matrice
A0=MB0(f) = P−1AP soit ”simple”.
La forme la plus simple d’une matrice est la forme diagonale.
1.1. D´efinition: Un endomorphisme est diagonalisable si il admet
une base dans laquelle sa matrice est diagonale.
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Vecteurs propres, valeurs propres
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Si B= (e1, ..., en) alors MB(f) = diag(λ1, ..., λn) signifie que
f(ei) = λiei,i= 1, ..., n.
1.2. D´efinition: Un vecteur propre de fest vecteur non-nul vtel
que f(v) est colin´eaire `a v:f(v) = λv; le coefficient de proportionalit´e λest
la valeur propre associ´ee. Un scalaire λest une valeur propre de fs’il
existe un vecteur non-nul vtel que f(v) = λv.
La matrice de l’endomorphisme dans une base de vecteurs propres est
diagonale, avec les valeurs propres sur la diagonale principale.
On a une d´efinition ´equivalente de l’endomorphisme diagonalisable:
1.1’. D´efinition: Un endomorphisme est diagonalisable si il existe
une base de vecteurs propres.
L’ensemble des valeurs propres de fs’appelle spectre de f.
1.3. Th´eor`eme. Des vecteurs propres associ´es `a des valeurs propres
deux `a deux distinctes sont lin´eairement ind´ependants.
1.4. Corollaire. Soit n=dim(E)<∞. Alors
1. fadmets au plus nvaleurs propres;
2. si fadmet exactement nvaleurs propres (deux `a deux distinctes), f
est diagonalisable.
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A la recherche des vecteurs propres: polynˆome caract´eristique.
Soit dim(E)<∞. On remarque que λest une valeur propre si et
seulement si f−λId n’est pas injectif: Ker(f−λI)6={0}. En dimension
finie cette condition est ´equivalente `a l’annulation du d´eterminant:
d´et (f−λId) = 0. C’est l’´equation caract´eristique pour les valeurs
propres.
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[Rappel: det(f−λId) est d´efini comme det(MB(f)−λIn) par rapport
`a une base B; noter que Inest la matrice de l’identit´e Id dans n’importe
quelle base.]
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1.5. D´efinition. Le d´eterminant pf(x) = d´et (f−xId) s’appelle
polynˆome caract´eristique de f: c’est est un polynˆome en xde degr´e
n= dim(E).
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On conclut que les valeurs propres sont pr´ecisement les racines
du polynˆome caract´eristique.
[Parfois on d´efinit le polynˆome caract´eristique comme
d´et(xId −f) = (−1)npf(x).]
Le polynˆome caract´eristique d’une matrice Aest pA(x) = d´et (A−xIn).
Les matrices semblables Aet P−1AP ont le mˆeme polynˆome caract´eristique
- en fait, cette propri´et´e permet de d´efinir d´et (f−xId).
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Remarque: on a pf+aId(x) = pf(x−a). Si fest diagonalisable, f+aId
l’est aussi (a∈K); les valeurs propres de f+aId s’obtiennent en ajoutant
aaux valeurs propres de f.
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Structure du polynˆome caract´eristique
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1.6. Soit pA(x) =d´et (A−xIn) = (−1)nxn+c1xn−1+... +cn−1x+cn.
1. Les coefficients c1, ..., cnsont des polynˆomes en ´el´ements matriciels
aij de A;ckest un polynˆome homog`ene de degr´e k.
2. c1= (−1)n−1trace(A) = (−1)n−1trace(f)
3. cn= d´et(A).
4. ckest invariant par similitude: ckest le mˆeme pour Aet P−1AP .
1.7. Polynˆome caract´eristique d’une matrice diagonale: si
A=diag(λ1, ..., λn), alors pA(x) = (−1)nΠn
i=1(x−λi).
Donc une condition n´ecessaire pour que fsoit diagonalisable est que
pfsoit scind´e (v´erifi´ee automatiquement si K=C). Voici une condition
suffisante:
1.8. Corollaire. Si pfadmet nracines distinctes (donc pfest scind´e `a
racines simples), fest diagonalisable.
Remarque: Un polynˆome ”g´en´erique” n’a pas de racines multiples, donc
un polynˆome ”g´en´erique” dans Cadmet nracines distinctes et un endomor-
phisme ”g´en´erique” fest diagonalisable sur C.
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1.9. Exemple en dimension 2. Soit A= a, b
c, d !
Alors pA(x) = x2−(a+d)x+ (ad −bc) = x2−tr(A)x+det(A).
Les valeurs propres sont λ1,2=1
2((a+d)±p(a−d)2+ 4bc).
Soit ∆ = (a−d)2+ 4bc le discriminant.
1. K=C. Si ∆ 6= 0, on a deux valeurs propres distinctes et Aest
diagonalisable. On peut ´ecrire les vecteurs propres comme vk= b
λk−a!
ou
vk= λk−d
c!,k= 1,2.
2. K=R. Si ∆ >0, on a deux valeurs propres r´eelles distinctes et A
est diagonalisable (sur R).
Si ∆ <0, il n’y a pas de racines r´eelles et An’est diagonalisable sur R.
On peut r´eduire Apar similitude `a la forme A0= α, β
−β, α !o`u α= (a+d)/2
et β=√−∆/2.
Si ∆ = 0, on a une racine double et Aest diagonalisable si et seulement
si Aest d´eja diagonale.
1.10. Polynˆome caract´eristique d’une matrice triangulaire:
on a pA(x) = (−1)nΠn
i=1(x−aii).
Cas particulier: matrice triangulaire avec a11 =... =ann =a. Si Aest
diagonalisable, alors Aest semblable `a aInet donc A=aIn. Par cons´equent,
une matrice triangulaire avec les mˆemes ´el´ements sur la diagonale et qui n’est
pas elle-mˆeme diagonale n’est pas diagonalisable.
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1.11. Polynˆome caract´eristique d’une matrice triangulaire par
blocs est le produit des polynˆomes caract´eristiques des blocs diagonaux. Si
les blocs diagonaux sont A1, ...Ak, alors pA(x) = pA1(x)...pAk(x).
Exemple. Soit fle projecteur sur Fparall`element `a G. Alors ,
pf(x) = (−1)nxn−k(x−1)k, o`u k=dim (F).
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1.12. Endomorphisme cyclique et matrice ”compagnon”. Un en-
domorphisme fest cyclique s’il existe un vecteur vtel que (v, f(v), ..., f(n−1)(v))
est une base de E. On pose e0=v,e1=f(x) ,..., en−1=f(n−1)(v). Dans
cette base fagit comme: f(e0) = e1,f(e1) = e2,..., f(en−2) = en−1, et
f(en−1) = a0e0+... +an−1en−1. La matrice de fs’appelle matrice com-
pagnon. Alors pf(x) = (−1)n(xn−an−1xn−1−... −a1x−a0).
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1.13. Endomorphismes nilpotents.
D´efinition. Un endomorphisme est nilpotent s’il existe ktel que
fk= 0. La valeur minimal de ks’appelle l’indice de nilpotence de f.
Proposition. Un endomorphisme est nilpotent si et seulement si il a le
mˆeme polynˆome caract´eristique que l’endomorphisme nul: pf(x) = (−1)nxn.
Corollaire. Un endomorphisme nilpotent non-nul n’est pas diagonalis-
able.
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Espaces propres
1.14. D´efinition. Soit λ∈K. Le sous-espace
Eλ= Ker(f−λId) = {v∈E:f(v) = λv}s’appelle l’espace propre
associ´e `a λ. (Noter que E0= Ker (f)).
Si λn’est pas une valeur propre, Eλ={0}.
On a vu qu’un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si ses
vecteurs propres engendrent tout l’espace E. Autrement dit, un endomor-
phisme est diagonalisable si et seulement si Eest la somme de ses espaces
propres.
Le th´eor`eme 1.3 peut ˆetre reformul´e de fa¸con suivante:
1.15. Th´eor`eme. Les espaces propres associ´es `a des valeurs propres
deux `a deux distinctes sont en somme directe.
1.16. Corollaire. Un endomorphisme est diagonalisable si et seule-
ment si la somme des dimensions de ses espaces propres est ´egale `a dim(E).
(Rappelons que dim(E)<∞.)
1.17. Proposition. La dimension de l’espace propre Eλne d´epasse pas
la multiplicit´e de λdans le polynˆome caract´eristique.
1.18. Corollaire. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement
si pfest scind´e et la dimension de chaque espace propre Eλest ´egale `a la
multiplicit´e de λ.
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1.19. Similitude. D´efinition. Deux endomorphismes f:E→Eet
g:E0→E0sont semblables si il existe un isomorphisme ϕ:E→E0tel
que ϕf =gϕ (donc f=ϕ−1gϕ).
Si f(v) = λv alors g(ϕ(v)) = λϕ(v), donc les endomorphismes semblables
ont les mˆemes valeurs propres et leurs espaces propres sont li´es par ϕ:
Eλ(f) = ϕ(Eλ(g)).
Deux matrices carr´ees Aet Bsont semblables s’il existe une matrice
inversible Ptelle que P A =BP (donc A=P−1BP ).
Remarque: Deux endomorphismes sont semblables si et seulement si
leurs matrices (dans n’importe quelles bases) sont semblables.
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