Cours de probabilite - Benedicte FONTEZ / NGUYEN THE

Cours de Probabilité
1. Rappels sur la théorie des ensembles
Définition
Soit deux ensembles A et B. On note :
A ∪ B leur union
A ∩ B leur intersection
A le complémentaire de l’ensemble A
A ⊂ B signifie que l’ensemble A est contenu dans l’ensemble B
A ⊄ B signifie que l’ensemble A n’est pas contenu dans l’ensemble B
On utilise les accolades { } pour désigner un ensemble
∅ désigne l’ensemble vide
Illustration :
A
B
2
C
5
3
6
4
1
L’espace étudié correspond aux chiffres 1 à 6. Dans cet espace on définit A = {2,4,6} comme l’ensemble
des chiffres pairs et B = {3,6} celui des multiples de 3.
A ∪ B = {2,3,4,6}
A ∩ B = {6}
A = {1,3,5} = ensemble des chiffres impaires
B ⊄ A, l’élément {3} ne fait pas parti de A
Propriétés sur les ensembles
Commutativité : A ∪ B = B ∪ A
Associativité : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Distributivité : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Transitivité : A ⊂ B et B ⊂ C fl A ⊂ C
 A∪ B= A ∩ B

du Complémentaire :  A∩ B= A ∪ B
 A⊂ B⇒ B ⊂ A
Illustration suite :
B ∪ C = {1,3,5,6} d’où A ∩ (B ∪ C) = {6}
(A ∩ B) = {6} et (A ∩ C) = ∅ d’où (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {6}
A∪B ={1,5]
1
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A = {1,3,5} et B = {1,2,4,5} d’où A∩B = {1,5}
2. Rappels sur les dénombrements
Permutations
Permutations de n individus sur n places : n ! = n× (n-1) × (n-2) ×…× 3× 2× 1
0 ! = 1 par convention
Illustration :
Dans une salle de classe de 8 places, 8 étudiants (E1, E2, …, E8) peuvent s’asseoir où ils veulent. Le
nombre de configurations possibles pour placer les 8 étudiants est de 8 ! = 8× 7× 6× …× 1 = 40320.
Le premier élève qui arrive (E1) a 8 possibilités
Le second (E2) en a 7
Etc.
Le dernier (E8) n’a plus le choix, il a une seule place
Examinons le cas des deux premiers étudiants en détail :
E1 a 8 possibilités, représentées ci-dessous et pour chacune E2 a 7 places possibles. Donc, on compte pour
E1 et E2 : 7+7+7+7+7+7+7+7 = 8× 7 possibilités de les placer dans la classe.
E1
E1
E1
E1
E1
E1
E1
E1
Le raisonnement se poursuit ainsi de suite jusqu’à E8.
Arrangements
Arrangements de k individus sur n places : Ank = n!
(n−k)!
Illustration suite :
2
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Au lieu d’avoir 8 élèves, seulement k=2 élèves viennent. Le nombre de configurations possibles pour placer
les k=2 étudiants sur les n=8 places de la classe est d’après le calcul précédent de 8×7. Dans l’arrangement,
on enlève les permutations dues aux 6 élèves absents, soit :
8! = 8×7×6×5×4×3×2×1=8×7 = 56
(8−2)!
6×5×4×3×2×1
Combinaisons
Combinaisons de k individus sur n places : Cnk =
n!
k!(n−k)!
Illustration suite :
Les personnes ne sont plus identifiées (l’ordre n’est plus pris en compte). On a k=2 élèves présents. Dans la
combinaison, on enlève les permutations des élèves absents et les permutations des k=2 individus sur les
mêmes places, ce qui correspond respectivement aux termes (n-k) ! et k ! du dénominateur. En effet :
E1
E2
E2
E1
Correspond à une seule configuration, car on ne tient plus compte de l’ordre (1,2,…8)
E
E
Au final, on compte : 8×7×6×5×4×3×2×1= 8×7 =4×7=28 possibilités.
2×1×6×5×4×3×2×1 2×1
3. Probabilités
Définition d’une expérience aléatoire
Une expérience est aléatoire si son résultat n’est pas connu à l’avance.
Une issue ou une réalisation est le résultat observé d’une expérience aléatoire
Un évènement désigne toute assertion basée sur le résultat d’une expérience aléatoire
On note Ω l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire
Un évènement élémentaire (ou fondamental) désigne un élément de Ω
On définit :
∅ est un évènement impossible
Ω est un évènement certain
Deux évènements A et B sont incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅
Illustration :
L’utilisation d’un dé est une expérience aléatoire. Prenons un dé à 6 faces, alors Ω = {1,2,3,4,5,6}. On
définit deux évènements :
A= « l’issue du jet de dé est le chiffre 1 »
B= « l’issue du jet de dé est un chiffre pair »
A ={1} est un évènement élémentaire, B = {2,4,6} est un évènement. Comme A ∩ B = ∅, les deux
évènements sont incompatibles. En effet, le résultat du jet de dé ne peut pas être à la fois pair et égal à 1.
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Définition d’une probabilité
Soit A, un ensemble de parties de Ω, et (A, Ω) un espace probabilisable, on appelle probabilité
l’application, notée P(.) de A dans [0,1] :P : A →[0,1]
a → P(a)
Telle que :
P(Ω) = 1
Deux évènements a ∈ A et b ∈ A étant incompatibles alors P(a ∪ b)=P(a) + P(b)
La dernière condition se généralise :
Soit (an)n>0 une suite d’évènements incompatibles 2 à 2, alors P(∪n>0 an) = ∑n>0 P(an), où
∪n>0 an = a1 ∪ a2 ∪…∪ an ∪ an+1 ∪… (union de tous les évènements de la suite)
∑n>0 P(an) = P(a1) + P(a2) +…+ P(an) + P(an-1) +… (somme de toutes les probabilités des
évènements de la suite)
Illustration :
Trois exemples d’espaces probabilisables pour le lancé de dé, où Ω = {1,2,3,4,5,6} :
A = {∅,Ω}
A =P(Ω) = l’ensemble de toutes les parties de Ω
={∅,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},…,{5,6},{1,2,3},…,{4,5,6},{1,2,3,4},…,{3,4,5,6},{1,2,3,4,5},…,{2,3,4,5,6},Ω}
A = {∅,{2,4,6},{1,3,5},Ω}
Dans le dernier cas, A = {∅,pair={2,4,6},impair={1,3,5},Ω}, on considère seulement les évènements pairs et
impairs
P(pair) = probabilité que l’issue appartienne à {2,4,6}= 3 chiffres pairs /6 possibilités=1/2
De même P(impair) =1/2
P(Ω) = P(pair ∪ impair) = P(pair) + P(impair) = 1/2 + 1/2 =1.
Propriétés
Soit a ∈ A et b ∈ A
P( a ) = 1 –P(a)
P(∅) = 0
a ⊂ b ⇒ P(a) ≤ P(b)
P(a ∪ b) = P(a) + P(b) – P(a ∩ b)
a et b sont incompatibles si et seulement si P(a ∩ b) = 0
Equiprobabilité
Soit l’espace probabilisé (A, Ω, P), la probabilité d’un évènement a ∈ A, quand Ω est un
ensemble fini dont les éléments sont équiprobables vaut P(a) = Card(a)/Card(Ω). Card(a) est
le cardinal de l’ensemble a, ce terme désigne le nombre d’éléments de a.
Illustration :
Prenons un dé à 6 faces, alors Ω = {1,2,3,4,5,6}. On définit deux évènements :
A= « l’issue du jet de dé est le chiffre 1 »
B= « l’issue du jet de dé est un chiffre pair »
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Card(Ω) =6 est un nombre fini, si le dé n’est pas pipé, on peut appliquer le raisonnement d’équiprobabilité,
P(A) =Card(A)/Card(Ω) = 1/6 et P(B) = 3/6=1/2. A et B sont deux évènements incompatibles et P(A ∩ B) =
P(∅) = 0.
Probabilité conditionnelle
Soit l’espace probabilisé (A, Ω, P), la probabilité conditionnelle d’un évènement b∈ A sachant
P(a∩b)
a ∈ A se note P(b/a) ou Pa(b) et vaut P(b/ a)=
.
P(a)
Remarque :
Cette équation peut aussi s’écrire sous la forme : P(a∩b)= P(a /b)×P(b)= P(b/ a)×P(a) , qui se
généralise pour n évènements a1,…,an ∈ A :
P(a1 ∩ a2 ∩ …∩ an-1 ∩ an-2) =P(a1) ×P(a2/a1) ×…×P(an-1/a1,a2,…,an-2)×P(an/a1,a2,…,an-2,an-1)
Illustration :
Ω
A
B
2
C
5
3
6
4
1
Reprenons le jeu du dé à 6 faces, dans l’espace probabilisé (P(Ω),Ω,P) avec trois évènements
A = {2,4,6}, B={3,6} et C={5,1}. Nous sommes dans le cadre de l’équiprobabilité et P(A) =
1/2, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3. La probabilité conditionnelle P(B/A) = P(A ∩ B = partie grisée
sur le graphique)/P(A) = P(issue = 6)/P(A) = (1/6)/(1/2) = 1/3. Remarque : quand on
conditionne, on restreint l’espace Ω. Dans notre exemple, on restreint Ω à A.
4. Evènements indépendants pour P(.)
Soit l’espace probabilisé (A, Ω, P), deux évènements a ∈ A et b ∈ A sont indépendants si et
seulement si P(a ∩ b) = P(a) ×P(b).
Généralisation : n évènements a1,…,an ∈ A sont mutuellement indépendants si et seulement si
P(a1 ∩ a2 ∩ …∩ an-1 ∩ an-2) =P(a1) ×P(a2) ×…×P(an-1) ×P(an)
Définition découlant des probabilités conditionnelles :
Soit a ∈ A et b ∈ A P(b/a) = P(b) ou P(a/b) = P(a) ⇔ a et b sont indépendants
Illustration :
Dans le jeu du lancé de dé, l’évènement A= « issue =1 » et B = « issue paire » sont-ils indépendants ? Pour
le savoir on calcule d’un côté P(A ∩ B) =P(∅) = 0 et de l’autre P(A)×P(B) = (1/6) × (1/2) = 1/12. Comme
P(A ∩ B) ≠ P(A)×P(B), les évènements sont dépendants.
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5. Formule des probabilités totales
Système complet d’évènements
Un système complet d’évènements a1,…,an ∈ A est défini comme des évènements 2 à 2
incompatibles dont la réunion est Ω
Illustration :
2
5
3
6
4
1
Dans le cas du jeu de dé, deux partitions parmi d’autres de Ω sont illustrées ci-dessus :
Une partition individuelle (les cercles) : chaque face du dé est incompatible avec les autres et si on
considère toutes les faces de 1 à 6 on retrouve Ω.
Une partition selon les chiffres pairs et impairs (le trait vertical) partitionne Ω en deux parties
incompatibles.
Probabilités totales
Soit l’espace probabilisé (A, Ω, P), un système complet d’évènements (a1,…,an) associé à Ω
Soit b ∈ A alors :
P(b)=∑i =1P(b∩ai )= P(b∩a1 )+...+ P(b∩an)
n
=
∑
n
i =1
P(b / ai )×P(ai )= P(b / a1 )×P(a1 )+...+ P(b / an)×P(an)
Illustration :
Une marque de produits laitiers a trois usines où sont fabriqués les yaourts.
A = « Le yaourt est produit à Arras »
B = « Le yaourt est produit à Brest »
C = « Le yaourt est produit à Caen »
On donne P(A) = 0.25, P(B) = 0.2 et P(C) = 0.55.
Soit Y = « Le yaourt est aux fruits ». On précise que P(Y/A) = 0.2, P(Y/B) = 0.3 et P(Y/C) = 0.15.
Calculez P(Y)…
(A,B,C) forment un système complet, d’où :
P(Y) = P(Y∩A) + P(Y∩B) + P(Y∩C) = P(Y/A)×P(A) + P(Y/B)×P(B) + P(Y/C)×P(C)
= 0.1925
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Une façon visuelle de trouver le résultat :
PROVENANCE
AU FRUIT
P(Y/A) = 0.2
A
Y
+
P(A)=0.25
UN YAOURT
P(B)=0.2
P(Y∩A) = P(Y/A)×P(A) = 0.25 × 0.2
P(Y/B) = 0.3
B
Y
P(Y∩B) = P(Y/B)×P(B) = 0.2 × 0.3
+
P(C)=0.55
P(Y/C) = 0.15
C
Y
P(Y∩C) = P(Y/C)×P(C) = 0.55 × 0.15
______________________________
P(Y) = 0.19
6. Formule de Bayes
Soit l’espace probabilisé (A, Ω, P), deux évènements a ∈ A et b ∈ A, tels que P(a) ≠ 0 et P(b)
P(a /b)×P(b)
≠ 0, alors : P(b/ a)=
.
P(a)
Soit un système complet d’évènements (b1,…,bn) associé à Ω, alors :
P(a /bi )×P(bi )
P(a /bi )×P(bi )
=
P(bi / a)= n
∑i =1P(a /bi )×P(bi ) P(a/b1 )×P(b1 )+...+ P(a /bn )×P(bn )
Illustration :
Reprenons le cas des yaourts. Calculons la probabilité qu’un yaourt ait été fabriqué à Caen sachant qu’il est
au fruit., soit P(C/Y). On peut facilement calculer P(Y/C), la condition inverse. Aussi, dans ce type de
contexte, on utilise la formule de Bayes qui permet d’inverser le conditionnement :
P(C/Y) =
P(Y /C)×P(C) 0.15×0.55
= 0.43
=
P(Y)
0.19
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COURS DE PROBABILITE ....................................................................................... 1
1.
Rappels sur la théorie des ensembles.............................................................................. 1
Définition ........................................................................................................................... 1
Propriétés sur les ensembles............................................................................................... 1
2.
Rappels sur les dénombrements...................................................................................... 2
Permutations....................................................................................................................... 2
Arrangements ..................................................................................................................... 2
Combinaisons ..................................................................................................................... 3
3.
Probabilités ....................................................................................................................... 3
Définition d’une expérience aléatoire ................................................................................ 3
Définition d’une probabilité ............................................................................................... 4
Propriétés............................................................................................................................ 4
Equiprobabilité ................................................................................................................... 4
Probabilité conditionnelle .................................................................................................. 5
4.
Evènements indépendants pour P(.) ............................................................................... 5
5.
Formule des probabilités totales ..................................................................................... 6
Système complet d’évènements ......................................................................................... 6
Probabilités totales ............................................................................................................. 6
6.
Formule de Bayes ............................................................................................................. 7
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