Cours de probabilite - Benedicte FONTEZ / NGUYEN THE

Cours de Probabilité
1. Rappels sur la théorie des ensembles
Définition
Soit deux ensembles A et B. On note :
A
∪ B leur union
A
∩ B leur intersection
A le complémentaire de l’ensemble A
A
⊂ B signifie que l’ensemble A est contenu dans l’ensemble B
A
⊄ B signifie que l’ensemble A n’est pas contenu dans l’ensemble B
On utilise les accolades { } pour désigner un ensemble
∅ désigne l’ensemble vide
Illustration :
C
BA
5
1
3
6
2
4
L’espace étudié correspond aux chiffres 1 à 6. Dans cet espace on définit A = {2,4,6} comme l’ensemble
des chiffres pairs et
B = {3,6} celui des multiples de 3.
A ∪ B = {2,3,4,6}
A ∩ B = {6}
A = {1,3,5} = ensemble des chiffres impaires
B ⊄ A, l’élément {3} ne fait pas parti de A
Propriétés sur les ensembles
Commutativité : A ∪ B = B ∪ A
Associativité : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Distributivité : A
∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Transitivité : A
⊂ B et B ⊂ C fl A ⊂ C
du Complémentaire : 
⊂⇒⊂
∪=∩
∩=∪
ABBA
BABA
BABA
Illustration suite :
B ∪ C = {1,3,5,6} d’où A ∩ (B ∪ C) = {6}
(A ∩ B) = {6} et (A ∩ C) = ∅ d’où (A ∩ B)
∪ (A ∩ C) = {6}
B
A
∪={1,5]
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1

A = {1,3,5} et
B
= {1,2,4, 5} d’où
B
A
∩
= {1,5}
2. Rappels sur les dénombrements
Permutations
Permutations de n individus sur n places : n ! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1
0 ! = 1 par convention
Illustration :
Dans une salle de classe de 8 places, 8 étudiants (E1, E2, …, E8) peuvent s’asseoir où ils veulent. Le
nombre de configurations possibles pour placer les 8 étudiants est de
8 ! = 8× 7× 6× …× 1 = 40320 .
Le premier élève qui arrive (E1) a 8 possibilités
Le second (E2) en a 7
Etc.
Le dernier (E8) n’a plus le choix, il a une seule place
Examinons le cas des deux premiers étudiants en détail :
E1 a 8 possibilités, représentées ci-dessous et pour chacune E2 a 7 places possibles. Donc, on compte pour
E1 et E2 :
7+7+7+7+7+7+7+7 = 8× 7 possibilités de les placer dans la classe.
E1
E1
E1 E1
E1
E1
E1 E1
Le raisonnement se poursuit ainsi de suite jusqu’à E8.
Arrangements
Arrangements de k individus sur n places : )!(
!
kn
n
Ak
n−
=
Illustration suite :
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2

Au lieu d’avoir 8 élèves, seulement k=2 élèves viennent. Le nombre de configurations possibles pour placer
les k=2 étudiants sur les n=8 places de la classe est d’après le calcul précédent de 8×7. Dans l’arrangement,
on enlève les permutations dues aux 6 élèves absents, soit : 78
123456
12345678
)!28(
!8 ×=
××××× ×
×
×
×
×
×
×
=
−= 56
Combinaisons
Combinaisons de k individus sur n places : )!(!
!
knk
n
Ck
n−
=
Illustration suite :
Les personnes ne sont plus identifiées (l’ordre n’est plus pris en compte). On a
k=2 élèves présents. Dans la
combinaison, on enlève les permutations des élèves absents et les permutations des
k=2 individus sur les
mêmes places, ce qui correspond respectivement aux termes
(n-k) ! et k ! du dénominateur. En effet :
E2 E1
E1 E2
Correspond à une seule configuration, car on ne tient plus compte de l’ordre (1,2,…8)
E E
Au final, on compte : 2874
12
78
12345612
12345678 =×=
×
×
=
××××××× ××××
×
×× possibilités.
3. Probabilités
Définition d’une expérience aléatoire
Une expérience est aléatoire si son résultat n’est pas connu à l’avance.
Une issue ou une réalisation est le résultat observé d’une expérience aléatoire
Un évènement désigne toute assertion basée sur le résultat d’une expérience aléatoire
On note Ω l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire
Un évènement élémentaire (ou fondamental) désigne un élément de
Ω
On définit :
∅ est un évènement impossible
Ω est un évènement certain
Deux évènements A et B sont incompatibles si et seulement si A
∩ B = ∅
Illustration :
L’utilisation d’un dé est une expérience aléatoire. Prenons un dé à 6 faces, alors
Ω = {1,2,3,4,5,6} . On
définit deux évènements :
A = « l’issue du jet de dé est le chiffre 1 »
B = « l’issue du jet de dé est un chiffre pair »
A ={1} est un évènement élémentaire, B = {2,4,6} est un évènement. Comme A ∩ B = ∅, les deux
évènements sont incompatibles. En effet, le résultat du jet de dé ne peut pas être à la fois pair et égal à 1.
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3

Définition d’une probabilité
Soit A, un ensemble de parties de Ω , et (A, Ω ) un espace probabilisable, on appelle probabilité
l’application, notée P(.) de A dans [0,1] :P : A
→ [0,1]
a → P(a)
Telle que :
P(
Ω ) = 1
Deux évènements a
∈ A et b ∈ A étant incompatibles alors P(a ∪ b)=P(a) + P(b)
La dernière condition se généralise :
Soit (an)n>0 une suite d’évènements incompatibles 2 à 2, alors P(
∪
n>0 a n) =
∑
n>0 P(an), où
∪
n>0 an = a1
∪ a2 ∪ … ∪ an ∪ an+1 ∪ … (union de tous les évènements de la suite)
∑
n>0 P(an) = P(a1) + P(a2) +…+ P(an) + P(an-1) +… (somme de toutes les probabilités des
évènements de la suite)
Illustration :
Trois exemples d’espaces probabilisables pour le lancé de dé, où
Ω = {1,2,3,4,5,6} :
A = {
∅ , Ω }
A =P(
Ω ) = l’ensemble de toutes les parties de Ω
=
{ ∅ ,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},…,{5,6},{1,2,3},…,{4,5,6},{1,2,3,4},…,{3,4,5,6},{1,2,3,4,5},…,{2,3,4,5,6}, Ω }
A = {
∅ ,{2,4,6},{1,3,5}, Ω }
Dans le dernier cas, A
= {∅,pair={2,4,6},impair={1,3,5},Ω} , on considère seulement les évènements pairs et
impairs
P(pair) = probabilité que l’issue appartienne à {2,4,6} = 3 chiffres pairs /6 possibilités=1/2
De même
P(impair) =1/2
P(Ω ) = P(pair ∪ impair) = P(pair) + P(impair) = 1/2 + 1/2 =1 .
Propriétés
Soit a ∈ A et b ∈ A
P( a) = 1 –P(a)
P(
∅ ) = 0
a
⊂ b ⇒ P(a) ≤ P(b)
P(a ∪ b) = P(a) + P(b) – P(a
∩ b)
a et b sont incompatibles si et seulement si P(a
∩ b) = 0
Equiprobabilité
Soit l’espace probabilisé (A, Ω , P), la probabilité d’un évènement a ∈ A, quand Ω est un
ensemble fini dont les éléments sont équiprobables vaut P(a) = Card(a)/Card(
Ω ). Card(a) est
le cardinal de l’ensemble a, ce terme désigne le nombre d’éléments de a.
Illustration :
Prenons un dé à 6 faces, alors
Ω = {1,2,3,4,5,6} . On définit deux évènements :
A = « l’issue du jet de dé est le chiffre 1 »
B = « l’issue du jet de dé est un chiffre pair »
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4

Card(Ω) = 6 est un nombre fini, si le dé n’est pas pipé, o n peut appliquer le raisonnement d’équiprobabilité,
P(A)
=Card(A)/Card(Ω) = 1 6 et P(B) = 3 6=1/2. A et B sont deux évènements incompatibles et P(A ∩ B) =
P(∅) = 0.
/ /
Probabilité conditionnelle
Soit l’espace probabilisé (A, Ω , P), la probabilité conditionnelle d’un évènement b ∈ A sachant
a
∈ A se note P(b/a) ou Pa(b) et vaut )(
)(
)/( aP
baP
abP
∩
=.
Remarque :
Cette équation peut aussi s’écrire sous la forme : )()/()()/()( aPabPbPbaPbaP ×
=
×
=
∩
, qui se
généralise pour n évènements a1,…,an
∈ A :
P(a1
∩ a2 ∩ … ∩ an-1 ∩ an-2) =P(a1) × P(a2/a1) × … × P(an-1/a1,a2,…,an-2) × P(an/a1,a2,…,an-2,an-1)
Illustration :
Ω
C
BA
5
1
3
6
2
4
Reprenons le jeu du dé à 6 faces, dans l’espace probabilisé (P(
Ω ), Ω ,P) avec trois évènements
A = {2,4,6}, B={3,6} et C={5,1}. Nous sommes dans le cadre de l’équiprobabilité et P(A) =
1/2, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3. La probabilité conditionnelle P(B/A) = P(A
∩ B = partie grisée
sur le graphique)/P(A) = P(issue = 6)/P(A) = (1/6)/(1/2) = 1/3. Remarque : quand on
conditionne, on restreint l’espace
Ω . Dans notre exemple, on restreint Ω à A.
4. Evènements indépendants pour P(.)
Soit l’espace probabilisé (A, Ω , P), deux évènements a ∈ A et b ∈ A sont indépendants si et
seulement si P(a
∩ b) = P(a) × P(b).
Généralisation : n évènements a1,…,an
∈ A sont mutuellement indépendants si et seulement si
P(a1
∩ a2 ∩ … ∩ an-1 ∩ an-2) =P(a1) × P(a2) × … × P(an-1) × P(an)
Définition découlant des probabilités conditionnelles :
Soit a
∈ A et b ∈ A P(b/a) = P(b) ou P(a/b) = P(a) ⇔ a et b sont indépendants
Illustration :
Dans le jeu du lancé de dé, l’évènement
A = « issue =1 » et B = « issue paire » sont-ils indépendants ? Pour
le savoir on calcule d’un côté
P(A ∩ B) =P(∅) = 0 et de l’autre P(A)×P(B) = (1/6) × (1/2) = 1/12 . Comme
P(A ∩ B) ≠ P(A)×P(B), les évènements sont dépendants .
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