Lycée Jean Perrin Classe de TSI 2016/2017 30/01/17 au 03/02/17 1 Colles : semaine 17 XI Probabilités sur un univers ni ou dénombrable XI.A Espaces probabilisés nis ou dénombrables Ensemble dénombrable. Expérience aléatoire. Suite nie ou innie d'évènements; union et intersection. Système complet d'évènements. On appelle probabilité sur Ω toute application P de P(Ω) dans [0, 1] vériant P (Ω) = 1, et pour toute suite (A ) d'évènements deux à deux incompatibles : k k∈N ! [ P An n∈N = +∞ X P (An ) p=0 Équivalence avec la dénition vue en première année lorsque l'univers est ni. XI.B Indépendance et conditionnement Probabilité conditionnelle de A sachant B. Notation : P (A|B) ou P (A). Formule des probabilités composées. Extension de la formule aux conditionnements successifs. Formule des probabilités totales : si I ⊂ N et (A ) est un système complet d'évènements de probabilités non nulles, alors : X X B i i∈I P (B ∩ Ai ) = P (B) = i∈I P (B|Ai )P (Ai ) i∈I Formules de Bayes. Indépendance de deux évènements. Indépendance d'une famille nie d'évènements. Démonstrations à connaître : Soit P une probabilité sur un univers Ω ni ou dénombrable : Si A, B ∈ P(Ω), alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). Si A ∈ P(Ω), alors l'application P est une probabilité sur Ω. Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A , · · · , A des évènements tels que P (A B 1 n 1 . Alors : ∩ · · · ∩ An ) > 0 P (A1 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 ) × P (A2 |A1 ) × P (A3 |A1 ∩ A2 ) × · · · × P (An |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 )