Exemple fondamental : probabilité uniforme

EFREI – L’3 Probabilités
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GENERALITES SUR LES PROBABILITES
1. Espace probabilisé
1.1. Expérience aléatoire, univers
Définition 1. 1. 1 : On appelle expérience aléatoire (ou épreuve aléatoire) une expérience
dont le résultat ne peut pas être prévu avant la réalisation de l’expérience.
Définition 1. 1. 2 : On appelle univers d’une expérience aléatoire l’ensemble noté Ω des
résultats possibles de l’expérience, parfois appelés issues.
Remarque : L’univers peut être fini, infini et dénombrable, infini et non dénombrable, à
deux dimensions…
1.2. Evénement
Définition 1. 2. 1 : Soit une expérience aléatoire d’univers Ω. Un événement est une
partie de l’univers.
L’ensemble des événements est noté par la suite A.
Propriété 1. 2. 1 : L’ensemble A est une -Algébre ou tribu sur  : un sous-ensemble
de P() vérifiant les propriétés suivantes :
 A
  A,
A
 A
Ai
 iI
famille dénombrable d’éléments de A,
Ai
iI
A
Remarque :
 Lorsque Ω est fini, l’ensemble A est souvent égal à P().
,
tribu triviale
 P() tribu grossière
Définition 1. 2. 2 : Le couple (Ω, A) est appelé espace probabilisable.
Définition 1. 2. 3 et vocabulaire : Soit A et B deux événements.
 Ω est l’événement certain ;  est l’événement impossible ;  est un événement
élémentaire.
 Si AB, on dit que l’événement A implique l’événement B.
 Le complémentaire 
 de l’événement A est appelé événement contraire de A.
 Lorsque   , on dit que A et B sont incompatibles ou disjoints.
Définition 1. 2. 4 : On appelle système complet d’événements toute partition de Ω, c’est –
à dire toute famille d’événements non vides, deux à deux incompatibles et dont l’union est
égale à l’univers.

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1.3. Probabilités
Définition 1. 3. 1 : Soit ( ; A) un espace probabilisable.
On appelle probabilité sur ( ; A) toute application P de A sur  vérifiant les deux
conditions suivantes :
 P() = 1
Ai
 iI
famille dénombrable d’éléments de A deux à deux disjoints,
P( Ai)
iI
P(Ai)
iI
Le triplet (,A ; P) est appelé espace probabilisé.
Propriétés 1. 3. 2 :
 (A, B) A2,
ABP(A)P(B)
 AA, P(A) 0 ; 1
 AA,
P(A )1P(A)
P()0
Ai
 iI
système complet d’événements,
P(Ai)
iI
1
 (A, B) A2,
P(AB)P(A)P(B)P(AB)
Exemple fondamental : probabilité uniforme
On suppose que  est un ensemble fini et que A = P(). On appelle probabilité
uniforme sur  la probabilité P définie par :
 card
cardA
= P(A),A
.
(On rappelle que cardA est égal au nombre d’éléments de l’ensemble fini A)
2. Dénombrement
Un sac contient n objets. On extrait p de ces objets successivement.
2.1. Tirages successifs. p-listes d’un ensemble à n éléments.
Propriété 2. 1. 1 : Le nombre de tirages successifs de p éléments dans un ensemble de n
éléments (p-listes) avec remise est égal à np.
Propriété 2. 1. 2 : Le nombre de tirages successifs de n éléments dans un ensemble de n
éléments sans remise (permutations) est égal à n !.
Propriété 2. 1. 3 : Le nombre de tirages successifs de p éléments dans un ensemble de n
éléments sans remise (arrangement) est égal à :
Remarque : Dans la formule précédente, si p = n, on retrouve le nombre de
permutations.

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2.2. Tirages simultanés. Combinaisons.
Propriété 2. 2. 1 : Le nombre de tirages simultanés de p éléments dans un ensemble à n
éléments (combinaisons) est égal à :
Propriété 2. 2. 2 :
3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.1. Probabilité conditionnelle
Définition 3. 1. 1 : Soit ( ;A, P) un espace probabilisé et A un événement de probabilité
non nulle. L’application
PA:
A
R
B PA(B) P(AB)
P(A)
est une probabilité sur ( ;A) appelée probabilité conditionnelle sachant A.
Remarque : On note également
PA(B) P(A/B)
.
Propriété 3. 1. 1 : Formule des probabilités totales : Soit ( ;A, P) un espace
probabilisé et
Ai
 iI
un système complet d’événements, alors BA,
P(B) P(B/Ai)P(Ai)
iI
Propriété 3. 1. 2 : Formule de Bayes : Soit ( ;A, P) un espace probabilisé et
Ai
 iI
un
système complet d’événements, alors BA,
iI, P(Ai/B) P(Ai)P(B/Ai)
P(B/Aj)P(Aj)
jI
3.2. Indépendance de deux événements
Définition 3. 2. 1 : Soit ( ;A, P) un espace probabilisé. On dit que deux événements A
et B sont indépendants si PB(A)=P(A)
Propriété 3. 2. 1 : A et B sont indépendants
P(AB)P(A)P(B)