FONCTIONS COSINUS ET SINUS

FONCTIONS COSINUS ET SINUS
I. Rappels ......................................................
2
I.1 Cercle trigonométrique et « enroulement de la droite numérique »
2
I.2 C'est comme la trigonométrie dans un triangle rectangle ?
3
I.3 Propriétés et valeurs remarquables
3
II. Fonctions trigonométriques cos et sin ...................................
7
III. Dérivées des fonctions cos et sin .....................................
7
IV. Complément n°1 : pourquoi sinus et cosinus, ces mots bizarres ? ................
10
V. Complément n°2 : à quoi ça sert ces trucs m'sieur ? .........................
12
VI. Complément n°3 : et la trigonométrie hyperbolique ? .......................
16
En analyse, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques.
C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom
d'analyse harmonique.
Un signal périodique de fréquence f et de forme quelconque peut être obtenu en ajoutant à une sinusoïde
de fréquence f (fondamentale), des sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de f.
De même, on peut décomposer toute onde périodique en une somme de sinusoïdes.
Les séries de Fourier ont été introduites par Joseph Fourier1 en 1822, mais il fallut un siècle pour que les
analystes dégagent les outils d'étude adaptés, dont une théorie de l'intégrale pleinement satisfaisante.
Elles font encore actuellement l'objet de recherches actives pour elles-mêmes, et ont suscité plusieurs
branches nouvelles : analyse harmonique, théorie du signal, ondelettes, etc.
Les séries de Fourier se rencontrent principalement dans la décomposition de signaux périodiques,
dans l'étude des courants électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore, le traitement
d'images, la propagation de la chaleur, etc.
Un signal en dents de scie est une sorte d'onde non-sinusoïdale que l'on rencontre en électronique, ou
dans le domaine du traitement du signal. Il est aussi utilisé pour l'affichage sur des écrans de télévision.
Il tire son nom de sa représentation graphique qui se rapproche des dents d'une scie.
Source : Wikipedia (texte), www.academie-en-ligne.fr (image).
1
mathématicien et physicien français né le 21 mars 1768 à Auxerre et mort le 16 mai 1830 à Paris
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I. Rappels
I.1 Cercle trigonométrique et « enroulement de la droite numérique »
définition
« Le » cercle trigonométrique est un cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens direct (ou
sens trigonométrique), c'est-à-dire dans le sens inverse du sens de rotation des aiguilles d'une
montre.
Remarque : ce sens a été choisi par les astronomes parce qu'il correspond à la rotation de la Terre ; c'est-àdire le sens dans lequel les étoiles semblent défiler pour un observateur sur Terre.
définitions
On considère le cercle trigonométrique de centre O et le repère orthonormé (O ; ⃗
OI , ⃗
OJ ).
On considère la droite (d) tangente en I à la droite (OI), et on munit cette droite d'un repère (I ; ⃗
IK )
tel que IK =1 . Cette droite graduée s'appelle droite numérique (elle représente ℝ).
A tout nombre réel x on fait correspondre le point N d'abscisse x dans le repère (I ; ⃗
IK ) de (d).
Par enroulement de la droite (d) autour du cercle trigonométrique, on obtient un unique point M sur
ce cercle. On appelle mesure en radian de l'angle ^
IOM la longueur de l'arc IM .
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Exemples : • un angle qui mesure 360° mesure 2 π radians ;
2π π
= radians ;
• un angle qui mesure 60° mesure
6
3
180
• un angle qui mesure 1 radian mesure π ≈57,3 °.
degré
180
radian
π
?
1
Remarque : radian vient du latin radius,
radius, qui signifie rayon.
définition
Soient (O ; ⃗
OI , ⃗
OJ ) un repère orthonormé et C le cercle trigonométrique de centre O.
Soit x un nombre réel.
On note M le point associé au réel x par « enroulement de la droite numérique ».
• le cosinus de x, noté cos x, est l'abscisse de M ;
• le sinus de x,
x, noté sin x, est l'ordonnée de M.
I.2 C'est comme la trigonométrie dans un triangle rectangle ?
propriété
π
On suppose que 0< x< 2 (autrement dit que M a une abscisse positive).
cos x=cos ^
IOM et sin x=sin ^
IOM .
Démonstration : On
n note H (cos x ; 0) et K (0 ; sin x).
OH
IOM =
IOM = OH (car OM = 1). Or, OH = cos x d'où cos x=cos ^
IOM .
• cos ^
donc cos ^
OM
• on montre de même que sin x=sin ^
IOM .
I.3 Propriétés et valeurs remarquables
propriétés
Formules élémentaires
Pour tout réel x :
• −1⩽cos x ⩽1
• −1⩽sin x⩽1
• cos 2 x+sin 2 x=1
Démonstrations : L'égalité cos 2 x+sin 2 x=1 provient de …
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propriétés
Valeurs remarquables
π
π
0
6
4
π
3
π
2
π
2π
Mesure de l'angle
(en degré)
0
60
90
180
360
cos x
1
sin x
0
x
30
45
Source : www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/pages/mathTermS.html
Démonstrations : purement géométriques comme au collège.
L'idée est de se placer dans un demi-carré de côté 1 ou demi-triangle équilatéral de côté 1.
Pour quelques démonstrations, voir ici par exemple :
gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursP_fichiers/trigo.pdf
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propriétés
Formules d'addition
Pour tous réels a et b :
• cos ( a +b )=…
• cos ( a−b )=…
• sin ( a+ b )=…
• sin ( a−b )=…
Démonstrations : utiliser les définitions du produit scalaire.
Voir par exemple : www.parfenoff.org/pdf/1re_S/geometrie/1re_S_appli_produit_scalaire_trigo.pdf
propriétés
Formules de symétrie et de déphasage
Pour tout réel x :
• cos ( – x)=cos x
• sin( – x )=– sin x
• cos ( x +2 π)=cos x
π
• cos x+ 2 =…
• sin( x+ 2 π)=sin x
π
• sin x + 2 =…
• cos ( x +π)=…
π
• cos 2 − x =…
• sin( x+ π)=…
π
• sin 2 −x =…
(
(
)
)
(
(
)
)
Démonstrations : très visuel, mais se démontre/retrouve rigoureusement à partir des formules
d’addition du cosinus et sinus.
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propriétés
Formules de duplication et de linéarisation
Pour tout réel a :
• cos (2 a )=cos 2 a−sin2 a=2 cos 2 a−1=1−2sin 2 a
• sin( 2 a)=2 sin a cos a
2
• cos a=
2
• sin a=
1+ cos 2 a
2
1−cos 2 a
2
Démonstrations : faciles… à démontrer et à retrouver.
propriétés
Résolution d'équations trigonométriques
Pour tous réels a et b :
• sin a=sin b ⇔
a +2 k π
{ oub=b=π−a
+2k π
• cos a=cos b ⇔
a+ 2 k π
{ oub=b=−a
+2 k π
Démonstrations : utiliser le cercle trigonométrique.
Exemple : résoudre les équations sin x=cos
2π
1
2
et cos x− =0 .
3
2
Remarque : correction page 146.
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II. Fonctions trigonométriques cos et sin
Nous avons défini, pour tout réel x, son cosinus et son sinus.
Par conséquent, nous pouvons créer les fonctions correspondantes :
définition
Les fonctions définies sur ℝ par x
cos x et x
sin x sont respectivement appelées :
« fonction cosinus » (notée cos) et « fonction sinus » (notée sin).
propriété
Les fonctions cos et sin sont périodiques, de période 2 π .
Démonstration : cos ( x +2 π)=cos x
propriétés
La fonction cos est paire : pour tout réel x , …
La fonction sin est impaire : pour tout réel x , …
La périodicité et la parité de ces fonctions permettent de ramener leurs études à l'intervalle [0 ; 2 π ] .
III. Dérivées des fonctions cos et sin
propriétés
• La fonction cos est dérivable en 0 et cos ' (0)=
• La fonction sin est dérivable en 0 et sin ' (0)=
Démonstrations : propriétés admises, même si accessible (voir pages 143/144/155).
Par exemple, pour la fonction sinus, l'idée est de :
π
- démontrer que sin est continue en 0, en montrant que si 0< x< 2 alors 0⩽sin x⩽x ,
et en utilisant alors le théorème des gendarmes pour en déduire que lim sin x=0 .
x→ 0
π
sin x
- montrer que si 0< x< 2 alors sin x⩽ x⩽
cos x
(en utilisant le cercle trigonométrique et des inégalités d'aires)
sin x
⩽1 puis utiliser le théorème des gendarmes pour conclure (en
pour en déduire que cos x⩽
x
2
2
montrant juste avant que lim cos x=lim √ 1−sin x= √ 1−0 =1 ).
x→ 0
x →0
Exercice : calculer, si ces limites existent, lim
x→ 0
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sin x
cos x−1
et lim
.
x
x
x→ 0
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propriétés
• La fonction cos est dérivable sur ℝ et cos ' =
• La fonction sin est dérivable sur ℝ et sin ' =
Démonstrations :
BILAN : tableaux de variations
Tracer les tableaux de variations des fonctions cos et sin sur l'intervalle [0 ; 2 π ] .
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Courbes représentatives des fonctions cos et sin
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IV. Complément n°1 : pourquoi sinus et cosinus, ces mots bizarres ?
Y a-t-il un rapport entre la fonction sinus et les sinus du front ?
Oui et non ; le mot « sinus » est un mot latin signifiant « courbe, pli, cavité ».
Il a donné en français les mots « sein » (d’ailleurs, en italien, le sinus mathématique se dit seno, qui signifie
aussi « sein ») et « sinueux ». Mais si les sinus du front forment bien des cavités, l’interprétation selon
laquelle le sinus mathématique s’appellerait ainsi car une sinusoïde est sinueuse est un contresens, car la
notion de représentation d’une fonction est bien plus récente que celle de sinus !
Voici l’histoire probable du mot « sinus », qui vient d’une erreur de traduction.
Premier temps : le mathématicien indien Âryabhata (VIe siècle) utilise le mot ardha-jya qui signifie « demicorde » (voir plus loin), et qui sera raccourci en jya.
Deuxième temps : invasion de l'Inde par les musulmans.
Découvrant l’œuvre d’Aryabatha, les arabes s’empressent de le traduire dans leur langue. Le terme jya est
donc traduit phonétiquement en arabe par le mathématicien Al-Fazzârî (VIII e siècle) pour devenir jiba, un
mot sans signification. Or, l’arabe étant une langue sémitique (Une langue sémitique ne s’écrit qu’avec des
consonnes ; pour savoir quelles voyelles ajouter dans un mot afin de le rendre prononçable, il faut se baser
sur le contexte de la discussion), ce mot est écrit jb.
Il sera alors confondu avec le mot jaib qui, lui, signifie « poche ».
Troisième temps : Gérard de Crémone (XIIe siècle, vers l'an 1150) confond jîba avec
jaib, qui signifie « poche, cavité » et il le traduit naturellement en latin par sinus…
En effet, les toges romaines étaient formées d’un grand drap que l’on ajustait autour du
corps de façon à former un pli sous le bras droit. Ce pli est précisément le sinus de la
toge et jouait le rôle d’une poche (un creux dans lequel on pouvait placer de petits
objets).
Quant au cosinus, c’est tout simplement le sinus du complémentaire (de l’angle) :
« co- » vient du latin cum, qui signifie « avec ».
La tangente, elle, vient de ce qu’elle mesure une portion d’une tangente au cercle trigonométrique.
Sources : mapage.noos.fr/r.ferreol/langage/notations/notations.htm et cer1se.free.fr/principia/index.php/gros-plan-sur-le-sinus/print/
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Bon d'accord… Mais pourquoi « demi-corde » ?
Source : cer1se.free.fr/principia/index.php/gros-plan-sur-le-sinus/print/
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V. Complément n°2 : à quoi ça sert ces trucs m'sieur ?
Les bases d'une modélisation du monde : tout est onde !
On a créé les fonctions cos et sin à partir d'un cercle et d'un point en mouvement sur ce cercle...
Or, des systèmes rotatifs, il y en a partout : les pales d’une hélice, les roues d’une voiture ou d’un vélo,
l’axe d’un moteur, l’aimant dans une dynamo, la Terre qui tourne sur elle-même, la Terre qui tourne autour
du Soleil…
De plus, les fonctions trigonométriques ressemblent à des vagues : les ondes et les vagues obéissent
également à des fonctions sinusoïdales (ondes sonores, ondes électromagnétiques, etc.).
Les fonctions trigonométriques se retrouvent donc un peu dans tous les domaines de la physique et de la
science en général.
Comme les dérivées, donc, la trigonométrie non plus n’est pas juste un délire de matheux : elle a une
origine géométrique basée sur un cercle (ou une hyperbole, dans le cas de la trigonométrie hyperbolique,
voir ci-dessous), et se retrouve donc dans tous les systèmes impliquant des cercles, des roues, des sphères
en rotation.
Tout signal, vérifiant certaines propriétés, peut être décrit par une somme (généralement infinie) de
fonctions sinus et cosinus de différentes fréquences : c'est l'idée de base de l'analyse de Fourier, dans
laquelle les séries trigonométriques sont utilisées pour résoudre de nombreux problèmes aux valeurs limites
dans des équations aux dérivées partielles.
Un exemple très connu : les ondes sonores
Lorsque vous ouvrez un fichier sonore sur votre ordinateur, il y a souvent un logiciel qui s'ouvre et affiche
des ondes, qui battent en rythme selon la musique écoutée…
Ceux qui font de la Musique Assistée par Ordinateur (M.A.O.) voient des ondes partout :
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Voici quelques explications sur les harmoniques, tirées d'abord du complément sur les gammes associé au
DM sur la série harmonique, puis du site www.lyceedadultes.fr :
Un son parfaitement sinusoïdal et sans aucun harmonique (« pur ») ressemble à ça, vu à l'oscilloscope :
et sonne comme ça :
http://didierdescamps.free.fr/solfege/la_sin.wav
Le même avec deux harmoniques aux fréquences 3 et 5 :
Les mêmes, mais maintenant réunis en un son unique :
qui sonne ainsi :
http://didierdescamps.free.fr/solfege/la_timbre.wav
Autre exemple :
Un son pur, et ce même son auquel on ajoute
ses harmoniques de rang 2, 3 et 4 :
Un son pur, et ce même son auquel on ajoute
ses harmoniques de rang 3, 5 et 7 :
http://ssl7.ovh.net/~pianoteq/philippe/SONS/ajoutharm1.wav
http://ssl7.ovh.net/~pianoteq/philippe/SONS/ajoutharm2.wav
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Voir l'EXCELLENT, passionnant dossier de Paul Milan sur les sons et la musique, c'est un cours de
spécialité physique-chimie de Terminale S :
www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/SP03/AL7SP03TEPA0013-Sequence-01.pdf
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VI. Complément n°3 : et la trigonométrie hyperbolique ?
Des hyperboles, des complexes… Mais… On l'a déjà vu… !
Pour expliquer l’origine des fonctions trigonométriques, on est parti d’un cercle de rayon 1 (un cercle
unitaire). Ce sont les fonctions trigonométriques circulaires (sinus, cosinus…).
Mais on peut partir d’une autre forme géométrique.
Si on part d’une hyperbole,
on obtient la trigonométrie hyperbolique :
Le principe est le même que pour le cercle : il suffit de prendre un point sur la courbe et son ordonnée
correspond à son sinus hyperbolique (noté sh (x ) ou sinh( x) ) et son abscisse correspond à son cosinus
hyperbolique (noté ch (x ) ou cosh ( x) ).
Sources : http://couleur-science.eu/?d=2015/06/27/21/55/04-les-fonctions-trigonometriques et Wikipedia
Mais ce qui est encore plus beau, c'est qu'on retrouve des formules similaires à la trigonométrie circulaire,
et l'exponentielle se fait toute belle pour apparaître comme par enchantement :
e x + e−x
e x −e−x
ch (x )=
et sh ( x )=
.
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