Mathématiques et calcul 1

Mathématiques et Calcul 1 – 2012-2013
1 Les nombres complexes
1.1 Introduction
On appelle iune racine carrée de −1 : i2=−1 et on définit l’ensemble des nombres complexes comme :
C={z=x+iy |x, y ∈R, i2=−1}
–xest la partie réelle de z, notée : x=<(z)
–yest la partie imaginaire de z, notée : y==(z)
1.2 Opérations sur C
1. z=x+iy = 0 ⇔x=y= 0.Sinon pour y,0 : i=−x
y∈R
2. z+z0= (x+iy) + (x0+iy0) = x+x0+i(y+y0)
–<(z+z0) = <(z) + <(z0)
–=(z+z0) = =(z) + =(z0)
3. z.z0= (x+iy).(x0+iy0) = x.x0−y.y0+i(x.y0+x0.y)
–<(z.z0) = <(z).<(z0)−=(z)=(z0)
–=(z.z0) = <(z)=(z0) + <(z0)=(z)
4. x+iy =x0+iy0⇔x=x0et y=y0.Puisque : x+iy =x0+iy0⇔x−x0+i(y−y0)=0
5. (x+iy).(x−iy) = x2+y2
6. Si x+iy ,0 : 1
x+iy =x−iy (x+iy)(x−iy)=x−iy
x2+y2=x x2+y2+i−y x2+y2
–<(1
z) = <(z)
<(z)2+=(z)2
–=(1
z) = −=(z)
<(z)2+=(z)2
1.3 Les nombres complexes représentés dans le plan
Le nombre complexe zs’appelle l’affixe du point Mde coordonnées (a,b) dans le plan.
y
x
O
M(z=a+ib)
a
b
1 LES NOMBRES COMPLEXES 118 septembre 2012

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1.4 Représentation de l’addition des complexes
Addition
y
x
O
M(z)
a
b
M0(z0)
a0
b0
a+a0
b+b0S(z+z0)
Soustraction
y
x
O
M(z)
a
b
M0(z0)
a0
b0
M00(−z0)
−a0
−b0
a−a0
b−b0
D(z−z0)
1.5 Conjugaison
Soit z=x+iy ∈C. On appelle nombre complexe conjugué de z, le nombre :
¯
z=x−iy
O
M(z)
x
y
M0(¯z)
−y
1 LES NOMBRES COMPLEXES 218 septembre 2012

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Conjugué : règles de calcul
z=x+iy ¯ z=x−iy
1. <(¯ z) = <(z) et =(¯ z) = −=(z)
2. • z+¯ z= (x+iy) + (x−iy)=2x⇒ <(z) = 1
2(z+¯
z)
•z−¯ z= (x+iy)−(x−iy)=2ix ⇒ =(z) = 1
2i(z−¯
z)
3. z=¯ z⇔ =(z) = 0 d’après 2. ⇔z∈R
4. z+¯ z= 0 ⇔ <(z) = 0 d’après 2. ⇔z∈iR=C\R
5. • (z+z0) = (x+iy) + (x0+iy0) = (x+x0) + i(y+y0)=(x+x0)−i(y+y0)=(x−iy) + (x0−iy0) = ¯ z+¯ z0
• (¯ z) = x−iy =x+iy =z
• (z.z0) = (x+iy).(x0+iy0) = (x.x0−y.y0) + i(x.y0+x0.y)=(x.x0−y.y0)−i(x.y0+x0.y)=(x−iy).(x0−iy0) = ¯ z.¯ z0
1.6 Module d’un nombre complexe
On appelle module du nombre complexe z, le nombre réel :
|z|=qz.¯ z=qx2+y2
Propriétés
1. |z|=|−z|=|¯ z|
– Si z=x+iy alors : −z=−x−iy, |−z|=q(−x)2+ (−y)2=qx2+y2=|z|
–¯ z=x−iy et |¯ z|=qx2+ (−y)2=|z|
2. |x|≤|z|,et |y|≤|z|
–x2≤x2+y2⇒qx2=|x| ≤ qx2+y2
3. |z|= 0 ⇔z= 0
– Si z= 0, alors x= 0 et y= 0, donc : qx2+y2= 0, c’est-à-dire : z= 0 ⇒x=y= 0
– Si |z|= 0,qx2+y2= 0,soit : x2+y2= 0. Si la somme de deux carrés est nulle, chaque carré est
nul...
4. |z.z0|=|z|.|z0|
–|z.z0|2= (z.z0).(z.z0) = (z.z0).(¯ z.¯ z0) = (z.¯ z).(z0.¯ z0) = |z|2.|z0|2. Comme il s’agit de carrés de nombres réels
positifs, l’égalité des carrés, implique l’égalité des nombres.
5. |z+z0|≤|z|+|z0|Inégalité triangulaire.
–|z+z0|2= (z+z0).(z+z0) = z.¯ z+z.¯ z0+z0.¯ z+z0.¯ z0
=|z|2+ 2<(z.¯ z0) + |z0|2
≤ |z|2+ 2|z|.|z0|+|z0|2= (|z|+|z0|)2
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O
M(z)
r=√x2+y2
x
y
Module d’un nombre complexe
1.7 Racine carrée des nombres complexes
Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.
Pour trouver la racine d’un nombre complexe a+i b, on pose : (x+i y)2=a+i b, alors :
(x+i y)2=x2−y2+ 2i xy =a+i b
De plus :
|z|2=x2+y2=qa2+b2
D’où le système : 
x2−y2=a(1)
2xy =b(2)
x2+y2=qa2+b2(3)
On calcule xet yavec les équations (1) et (3) :
1. (1) + (3) : 2x2=qa2+b2+a=α
2. (3) −(1) : 2y2=qa2+b2−a=β
D’où : 
x=±rα
2
y=±rβ
2
L’équation (2) permet de choisir le signe de xet de y:
– Si b > 0 alors xet ysont de même signe et on a les solutions :
z=rα
2+irβ 2et −z=−rα 2−irβ 2
– Si b > 0 alors xet ysont de signes contraires et on a les solutions :
z=rα
2−irβ 2et −z=−rα 2+irβ 2
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Exemple
Racine carrée de 3 + 4i
On pose z=x+i y tel que z2= 3 + 4i
(x+i y)2=x2−y2+ 2i xy = 3 + 4iet |z|2=x2+y2=q32+ 42= 5
xet ysont donc solutions du système :
x2−y2= 3 (1)
2xy = 4 (2)
x2+y2= 5 (3)
1. (1) + (3) : 2x2= 3 + 5 = 8 ⇒x=±2
2. (3) −(1) : 2y2= 5 −3=2 ⇒y=±1
D’après l’équation (2), xet ysont de même signe les deux solutions sont donc :
z= 2 + iet −z=−2−i
1.8 L’équation du second degré
L’équation générale du second degré s’écrit :
az2+b z +c= 0, a ,0, b,c ∈C
Écriture sous la forme « canonique » :
az2+b z +c=az2+b
az+c a= 0 (1)
=ahz+b
2a2−b2−4ac
4a2i= 0 (2)
=ahz+b
2a2−∆
4a2i= 0 (3)
Comme on a supposé que a,0 (pourquoi ?), l’équation (3) nous dit alors que : z+b
2a2−∆
4a2= 0
D’où : z+b
2a2=∆
4a2et les racines de l’équation sont donc les nombres complexes ztels que z+b
2asoit
une racine carrée de ∆
4a2; il y en a donc deux, d’après la section précédente.
Si a,b et csont réels :
1. Si ∆>0, les deux racines sont : z1=−b+√∆
2aet z2=−b−√∆ 2a
2. Si ∆<0,∆=−i2∆et i2∆>0, les deux racines sont : z1=−b+i√−∆
2aet z2=−b−i√−∆ 2a
3. Si ∆= 0, il y a une racine double : z=−b
2a
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