Mathématiques et calcul 1

Mathématiques et Calcul 1 – 2012-2013
1
Les nombres complexes
1.1
Introduction
On appelle i une racine carrée de −1 :
i 2 = −1 et on définit l’ensemble des nombres complexes comme :
C = {z = x + iy
i 2 = −1}
x, y ∈ R,
|
– x est la partie réelle de z, notée : x = <(z)
– y est la partie imaginaire de z, notée : y = =(z)
1.2
Opérations sur C
1. z = x + iy = 0
⇔
x = y = 0.
x
Sinon pour y , 0 : i = − ∈ R
y
2. z + z0 = (x + iy) + (x0 + iy 0 ) = x + x0 + i(y + y 0 )
– <(z + z0 ) = <(z) + <(z0 )
– =(z + z0 ) = =(z) + =(z0 )
3. z.z0 = (x + iy).(x0 + iy 0 ) = x.x0 − y.y 0 + i(x.y 0 + x0 .y)
– <(z.z0 ) = <(z).<(z0 ) − =(z)=(z0 )
– =(z.z0 ) = <(z)=(z0 ) + <(z0 )=(z)
4. x + iy = x0 + iy 0
⇔
x = x0 et y = y 0 .
Puisque : x + iy = x0 + iy 0
⇔
x − x0 + i(y − y 0 ) = 0
5. (x + iy).(x − iy) = x2 + y 2
6. Si x + iy , 0 :
x − iy
x − iy
−y
1
x
=
=
=
+i 2
x + iy (x + iy)(x − iy) x2 + y 2 x2 + y 2
x + y2
<(z)
1
– <( ) =
z
<(z)2 + =(z)2
−=(z)
1
– =( ) =
z
<(z)2 + =(z)2
1.3
Les nombres complexes représentés dans le plan
Le nombre complexe z s’appelle l’affixe du point M de coordonnées (a , b) dans le plan.
y
M (z = a + ib)
b
a
O
1
LES NOMBRES COMPLEXES
1
x
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1.4
Représentation de l’addition des complexes
Addition
y
S(z + z 0 )
b + b0
M (z)
b
M 0 (z 0 )
b0
O
a
a0
a + a0
x
Soustraction
y
M (z)
b
0
D(z − z )
−a0
a − a0
b−b
0
M 0 (z 0 )
b0
O
M 00 (−z 0 )
1.5
a
−b0
a0
x
Conjugaison
Soit z = x + iy ∈ C. On appelle nombre complexe conjugué de z, le nombre :
z̄ = x − iy
y
M (z)
O
M 0 (z̄)
−y
1
LES NOMBRES COMPLEXES
x
2
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Conjugué : règles de calcul
z = x + iy
1. <(z̄) = <(z)
et
=(z̄) = −=(z)
2. • z + z̄ = (x + iy) + (x − iy) = 2x
=(z) = 0
⇔
4. z + z̄ = 0
⇒
d’après 2.
<(z) = 0
⇔
1
(z + z̄)
2
1
=(z) = (z − z̄)
2i
<(z) =
⇒
• z − z̄ = (x + iy) − (x − iy) = 2ix
3. z = z̄
z̄ = x − iy
⇔
d’après 2.
z∈R
⇔
z ∈ iR = C\R
5. • (z + z0 ) = (x + iy) + (x0 + iy 0 ) = (x + x0 ) + i(y + y 0 ) = (x + x0 ) − i(y + y 0 ) = (x − iy) + (x0 − iy 0 ) = z̄ + z̄0
• (z̄) = x − iy = x + iy = z
• (z.z0 ) = (x + iy).(x0 + iy 0 ) = (x.x0 − y.y 0 ) + i(x.y 0 + x0 .y) = (x.x0 −y.y 0 )−i(x.y 0 +x0 .y) = (x−iy).(x0 −iy 0 ) = z̄.z̄0
1.6
Module d’un nombre complexe
On appelle module du nombre complexe z, le nombre réel :
q
q
|z| = z.z̄ = x2 + y 2
Propriétés
1. |z| = | − z| = |z̄|
– Si z = x + iy
– z̄ = x − iy
2. |x| ≤ |z|,
alors :
| − z| =
q
q
(−x)2 + (−y)2 = x2 + y 2 = |z|
q
et |z̄| = x2 + (−y)2 = |z|
et |y| ≤ |z|
– x2 ≤ x2 + y 2
3. |z| = 0
− z = −x − iy,
⇔
⇒
q
q
x2 = |x| ≤ x2 + y 2
z=0
q
– Si z = 0, alors x = 0 et y = 0, donc : x2 + y 2 = 0, c’est-à-dire : z = 0 ⇒ x = y = 0
q
– Si |z| = 0,
x2 + y 2 = 0, soit : x2 + y 2 = 0. Si la somme de deux carrés est nulle, chaque carré est
nul...
4. |z.z0 | = |z|.|z0 |
– |z.z0 |2 = (z.z0 ).(z.z0 ) = (z.z0 ).(z̄.z̄0 ) = (z.z̄).(z0 .z̄0 ) = |z|2 .|z0 |2 . Comme il s’agit de carrés de nombres réels
positifs, l’égalité des carrés, implique l’égalité des nombres.
5. |z + z0 | ≤ |z| + |z0 | Inégalité triangulaire.
– |z + z0 |2 = (z + z0 ).(z + z0 ) = z.z̄ + z.z̄0 + z0 .z̄ + z0 .z̄0
= |z|2 + 2<(z.z̄0 ) + |z0 |2
≤ |z|2 + 2|z|.|z0 | + |z0 |2 = (|z| + |z0 |)2
1
LES NOMBRES COMPLEXES
3
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y
r= √
x2
+y2
M (z)
O
x
Module d’un nombre complexe
1.7
Racine carrée des nombres complexes
Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées.
Pour trouver la racine d’un nombre complexe a + i b, on pose : (x + i y)2 = a + i b, alors :
(x + i y)2 = x2 − y 2 + 2i xy = a + i b
De plus :
q
|z| = x + y = a2 + b2
2
2
2
 2

x − y2 =
a
(1)



 2xy
=
b
(2)
D’où le système : 
q



 x2 + y 2 =
a2 + b 2
(3)
On calcule x et y avec les équations (1) et (3) :
q
2
1. (1) + (3) : 2x = a2 + b2 + a = α
q
2. (3) − (1) : 2y 2 = a2 + b2 − a = β
r


α


x = ±



r2
D’où : 


β


 y = ±
2
L’équation (2) permet de choisir le signe de x et de y :
– Si b > 0 alors
signe
r x et y sont de même
r et on a les solutions :
r
r
β
β
α
α
z=
+i
et −z = −
−i
2
2
2
2
– Si b > 0 alors
contraires
et on a les solutions :
r x et y sont de signes
r
r
r
β
β
α
α
z=
−i
et −z = −
+i
2
2
2
2
1
LES NOMBRES COMPLEXES
4
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Exemple
Racine carrée de 3 + 4 i
On pose z = x + i y tel que z2 = 3 + 4 i
2
2
2
(x + i y) = x − y + 2i xy = 3 + 4 i
q
|z| = x + y = 32 + 42 = 5
2
et
2
2
x et y sont donc solutions du système :
 2

x − y2 = 3



2xy
= 4



 x2 + y 2 = 5
1. (1) + (3) : 2x2 = 3 + 5 = 8
⇒
x = ±2
2. (3) − (1) : 2y 2 = 5 − 3 = 2
⇒
y = ±1
(1)
(2)
(3)
D’après l’équation (2), x et y sont de même signe les deux solutions sont donc :
z = 2+i
1.8
et −z = −2 − i
L’équation du second degré
L’équation générale du second degré s’écrit :
a z2 + b z + c = 0,
a , 0, b, c ∈ C
Écriture sous la forme « canonique » :
c
b
a z2 + b z + c = a z2 + z + = 0
a
a
h
b 2 b2 − 4 ac i
=0
=a z+
−
2a
4 a2
h
b 2
∆ i
=a z+
− 2 =0
2a
4a
(1)
(2)
(3)
b 2
∆
Comme on a supposé que a , 0 (pourquoi ?), l’équation (3) nous dit alors que : z +
− 2 =0
2a
4a
b 2
∆
b
D’où : z +
=
et les racines de l’équation sont donc les nombres complexes z tels que z +
soit
2
2a
2a
4a
∆
une racine carrée de
; il y en a donc deux, d’après la section précédente.
4 a2
Si a, b et c sont réels :
√
−b + ∆
1. Si ∆ > 0, les deux racines sont : z1 =
2a
√
−b − ∆
et z2 =
2a
√
−b + i −∆
2
2
2. Si ∆ < 0, ∆ = −i ∆ et i ∆ > 0, les deux racines sont : z1 =
2a
b
3. Si ∆ = 0, il y a une racine double : z = −
2a
1
LES NOMBRES COMPLEXES
5
√
−b − i −∆
et z2 =
2a
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Si a, b et c sont complexes :
Soit d un nombre complexe tel que d 2 = b2 − 4ac, il y en a deux d’après la section précédente.
−b + d
−b − d
et z2 =
.
2a
2a
b
2. Si b2 − 4ac = 0, l’équation a une racine double : z = −
2a
1. Si b2 − 4ac , 0, l’équation a deux racines : z1 =
En conclusion : Dans C, toute équation du second degré a toujours des racines.
1.9
Argument
y
r= √
x2
+y2
M (z)
θ
O
x
x = r. cos θ
y = r. sin θ
Argument d’un nombre complexe
On appelle argument du nombre complexe z = x + iy, la seule solution θ,
0 ≤ θ < 2π, du système :
x
q
x2 + y 2
y
q
x2 + y 2



cos θ =









sin θ =





Notation : θ = arg(z)
Remarque : Le choix 0 ≤ θ < 2π est un choix arbitraire, on peut tout aussi bien choisir : −π ≤ θ < π ou tout
intervalle de longueur 2 π.
1.10
Écriture trigonométrique des nombres complexes
Un nombre complexe peut s’écrire de deux manières :
1. algébrique : z = x + iy,
x, y ∈ R
2. trigonométrique : z = r (cos θ + i sin θ),
1
LES NOMBRES COMPLEXES
r ∈ R+ ,
6
0 ≤ θ < 2π
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Exemples
p
2
2
q
– z = 1+i
r = |z| = 1 + 1 = 2
Donc :
√
q
q √
q
1
1
π
π
2
2
z = 2(√ + i √ ) = 2(
+i
) = 2 (cos( ) + i sin( ))
2
2
4
4
2
2
r
q
q
q
q
– z = 3+i 3
r = |z| = 32 + ( 3)2 = 12 = 2 3
Donc :
√
q
q √
q
3
3
3
1
π
π
z = 2 3( √ + i √ ) = 2 3(
+ i ) = 2 3 (cos( ) + i sin( ))
2
2
6
6
2 3
2 3 r
q
q
q
– z = 1−i 3
r = |z| = 12 + ( 3)2 = 4 = 2
Donc :
√
1
3
5π
5π
z = 2( − i
) = 2 (cos( ) + i sin( ))
2
2
6
6
1.11
Représentation de la multiplication
L’écriture trogonométrique des nombres complexes permet de donner une interprétation géométrique de
la multiplication des nombres complexes :
Soit : z = r (cos θ + i sin θ), z0 = r 0 (cos θ 0 + i sin θ 0 )
zz0 = rr 0 (cos θ cos θ 0 − sin θ sin θ 0 ) + i (cos θ sin θ 0 + sin θ cos θ 0 )
= rr 0 cos(θ + θ 0 ) + i sin(θ + θ 0 )
Règle : Pour multiplier deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique,
– On multiplie les modules
– On additionne les arguments
y
Q(zP .zP0 )
rP
P (zP )
θ0 + θ
θ P 0 (zP0 )
O
θ0
x
Multiplication des nombres complexes
1
LES NOMBRES COMPLEXES
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On peut généraliser le procédé à la multiplication d’un nombre quelconque de complexes :
z = rk (cos θk + i sin θk ),
1≤k≤n
r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) · · · rn (cos θn + i sin θn )
= r1 r2 · · · rn cos(θ1 + θ2 + · · · + θn ) + i cos(θ1 + θ2 + · · · + θn )
Que l’on peut écrire plus simplement :
k=n
Y
k=n k=n
k=n
Y
X
X
rk cos
[rk (cos θk + i sin θk )] =
θk + i sin
θk
k=1
k=1
1.12
k=1
k=1
Représentation de la division
Inverse d’un nombre complexe
Si z , 0,
r.(cos θ − i sin θ)
1
z̄
=
=
z z.z̄
r2
donc :
1 1
= (cos θ − i sin θ)
z r
Division des nombres comlexes
∀z , 0, z0 ∈ C :
z0
1 r0 = z0 =
cos θ 0 + i sin θ 0 cos θ − i sin θ
z z
r
= (cos θ 0 cos θ + sin θ 0 sin θ) + i (sin θ 0 cos θ − cos θ 0 sin θ)
r0 =
cos(θ 0 − θ) + i sin(θ 0 − θ)
r
Règle : Pour diviser deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique,
– On divise les modules
– On soustrait l’argument du dénominateur de l’argument du numérateur
1.13
Formule de De Moivre
Puissance entière d’un nombre complexe.
Si n ∈ N,
zn = z.z . . . z
| {z }
n-fois
= r.r . . . r .(cos θ + i sin θ).(cos θ + i sin θ) . . . (cos θ + i sin θ)
| {z } |
{z
}
n-fois
n
n-fois
= r . cos(nθ) + i sin(nθ)
1
LES NOMBRES COMPLEXES
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Si n ∈ Z∗− ,
−n ∈ N
zn .z−n = zn . r −n . cos(−nθ) + i sin(−nθ) = 1
zn =
1
1
−n = −n z
r . cos(−nθ) + i sin(−nθ)
= r n . cos(−nθ) − i sin(−nθ)
= r n . cos(nθ) + i sin(nθ) (puisque le cosinus est pair et le sinus impair)
Dans les deux cas, que n soit positif ou négatif,c’est-à-dire si n ∈ Z :
zn = r n . cos(nθ) + i sin(nθ)
Quand r = 1, on obtient la Formule de De Moivre :
∀n ∈ Z : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
1.14
Exponentielle complexe
On peut définir une fonction exponentielle sur les nombres complexes, qui coincide sur R ⊂ C avec la
fonction exponentielle définie pour les nombres réels.
C’est un théorème que nous admettrons mais dont les résultat doivent être connus.
Théorème : Il existe une fonction exponentielle définie sur C (notée ez
0
ez+z = ez .ez
1. ∀z, z0 ∈ C :
2. Si x ∈ R,
∀z ∈ C) qui vérifie :
0
ex est l’exponentielle réelle
3. L’application : [0, 2π[ 7−→ C est une bijection sur l’ensemble des complexes de module 1
θ
7−→ ei θ
Les nombres complexes de modules 1
Représentés dans le plan complexe, ces nombres sont tous situés sur le cercle de centre O et de rayon 1.
π
i = ei 2
π
ei 3
3π
ei 4
π
ei 6
ei π = −1
1
3π
−i = ei 2
Quelques nombres complexes de module 1
1
LES NOMBRES COMPLEXES
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Tout point du plan complexe, et donc tout nombre complexe, peut s’exprimer sous la forme du produit
d’un nombre réel positif — le module du nombre complexe — et d’un nombre complexe de module 1,
écrit sous forme exponentielle.
2π
M (z = 32 ei 5 )
2π
ei 5
sin θ
θ=
2π
5
1
cos θ
Notation exponentielle des nombres complexes
On dispose donc de trois notations pour les nombres complexes :
1. algébrique : z = x + i y,
x, y ∈ R
2. trigonométrique : z = r.(cos θ + i sin θ),
iθ
3. exponentielle : z = r.e ,
r ∈ R+ ,
r ∈ R+ ,
θ ∈ [0, 2π[
θ ∈ [0, 2π[
Pour la dernière notation, exponentielle, on notera les propriétés suivantes (analogues à celle de l’exponentielle réelle) :
– ei θ = cos θ + i sin θ
(Relation entre notations trigonométrique et exponentielle)
i θ1 i θ2
i (θ1 +θ2 )
– e .e = e
(Addition des arguments dans la multiplication)
– (ei θ )n = eni θ
(Formule de De Moivre)
1.15
Racines des nombres complexes
Définition
On appelle racine n-ième du nombre complexe z, le nombre complexe a qui vérifie : z = an
Soit z = r(cos θ + i sin θ) ∈ C et n ∈ N∗ , on a donc : n
r(cos θ + i sin θ) = a = %(cos α + i sin α)
D’où le système d’équations :
√n

( n

r

%
= r
 % =
⇔
θ
+ 2kπ


nα = θ + 2kπ
 α =
n
Pour k ∈ N tel que : 0 ≤ k ≤ n − 1
1
LES NOMBRES COMPLEXES
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On a donc le résultat suivant :
Théorème : Pour n ∈ N∗ , tout nombre complexe z = r(cos θ + i sin θ), non-nul, a n racines n-ièmes :
√ θ + 2kπ
θ + 2kπ
+ i sin
ak = n r cos
n
n
0 ≤ k ≤ n−1
Pour n = 2, on retrouve le résultat que l’on a démontré précédemment : tout nombre complex possède 2
racine carrées opposées.
Les racines n-ièmes de l’unité
Si z = 1 :
r = 1,
θ = 0.
Les nombres complexes :
ωk = cos
2kπ
2kπ
2kπ
+ i sin
= ei n
n
n
0 ≤ k ≤ n−1
s’appellent les racines n-ièmes de l’unité, ils vérifient :
ωkn = 1
Pour 0 ≤ k ≤ n − 1,
n=3
n=4
n=5
π
i = ei 2
2π
j = ei 3
π
e2i 5
π
e4i 5
−1 = ei π
1
O
1
1
O
O
π
e6i 5
4π
j 2 ei 3
π
e8i 5
3π
−i = ei 2
Les racines cubiques, quatrièmes et cinquièmes de l’unité
La somme des racines n-ièmes de l’unité
∗
Théorème : Pour n ∈ N ,
n−1
X
ei
2kπ
n
=0
k=0
Les racines n-ièmes de l’unité forment une suite géométrique de raison ei
n−1
X
k=0
1
LES NOMBRES COMPLEXES
e
i
2kπ
n
2π
n−1
X
1 − (ei n )n
i 2π
k
n
=
(e ) =
=0
2π
1 − ei n
k=0
11
puisque
2π
n
(ei
, donc :
2π
n
)n = 1
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Racines n-ièmes d’un nombre quelconque
Soit n ∈ N∗ ,
z ∈ C et a et b deux racines n-ièmes de z.
an = bn = z
Soit :
a n
b
=1
⇔
a = b.ωk
où ωk ,
(0 ≤ k ≤ n − 1) est une racine n-ièmes de l’unité.
Théorème : On obtient les n racines n-ièmes d’un nombre complexe en multipliant l’une d’entre elles par
les n racines n-ièmes de l’unité.
1.16
Trigonométrie
Les formules d’Euler
Tout nombre complexe de module 1 s’écrit sous forme trigonométrique :
z ∈ C z = cos θ + i sin θ = ei θ
On obtient donc les formules suivantes, dites formules d’Euler, pour le sinus et le cosinus :
1
<(z) = cos θ = (z + z̄) =
2
1
=(z) = sin θ = (z − z̄) =
2i
1 i θ −i θ
(e + e )
2
1 i θ −i θ
(e − e )
2i
Ces expressions du sinus et du cosinus, jointes à la formule de De Moivre, sont très utiles pour effectuer
des calculs trigonométriques.
Linéarisation
On appelle linéarisation du sinus et du cosinus, la transformation d’une expression des puissances du sinus
ou du cosinus d’un angle θ pour obtenir une expression en fonction des sinus et cosinus de multiple de
l’angle θ.
Par exemple : calcul de cos3 θ :
23 cos3 θ =
=
=
=
Donc : cos3 θ =
(ei θ + e−i θ )3
e3i θ + 3e2i θ e−i θ + 3ei θ e−2i θ + e−3i θ
(e3i θ + e−3i θ ) + 3(ei θ + e−i θ )
2 cos 3θ + 6 cos θ
par la formule d’Euler pour le cosinus
on développe le cube de la somme
on simplifie et on regroupe les conjugués
à nouveau les formules d’Euler
1
3
cos 3θ + cos θ
4
4
Méthode :
– On écrit : 2n cosn θ = (ei θ + e−i θ )n
– On développe (ei θ + e−i θ )n avec la formule du binôme
– On regroupe chaque ek i θ avec son conjugué e−k i θ
1
LES NOMBRES COMPLEXES
12
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La même méthode s’applique pour les sinus.
Calcul de sin3 θ
(2i)3 sin3 θ =
=
=
=
(ei θ − e−i θ )3
e3i θ − 3e2i θ e−i θ + 3ei θ e−2i θ − e−3i θ
(e3i θ − e−3i θ ) − 3(ei θ − e−i θ )
2i sin 3θ − 6i sin θ
1
3
Donc : sin3 θ = − sin 3θ + sin θ
4
4
Calcul des sinus et cosinus de nθ
On utilise la formule de De Moivre et la formule du binôme et on sépare les parties réelle et imaginaire du
résultat.
cos nθ + i sin nθ = (cos θ + i sin θ)n
cos nθ = < (cos θ + i sin θ)n
sin nθ = = (cos θ + i sin θ)n
Exemple :
cos 4θ + i sin 4θ = (cos θ + i sin θ)4
= (cos θ)4 + 4 i (cosθ)3 sin θ
+ 6 i 2 (cosθ)2 (sin θ)2 + 4 i 3 (cosθ)(sin θ)3
+ i 4 (sin θ)4
cos 4θ = (cos θ)4 − 6 (cosθ)2 (sin θ)2 + (sin θ)4
sin 4θ = 4 (cosθ)3 sin θ − 4 cosθ(sin θ)3
1.17
Le théorème fondamental de l’algèbre
Le théorème suivant, appelé « théorème de d’Alembert », et son corollaire sont une conclusion intéressante
de l’étude des nombres complexes. Ils sont admis sans démonstration !
Théorème : Tout polynôme non-constant à coefficients complexes a au moins une racine complexe.
Corollaire : Tout polynôme de degré n ≥ 1, à coefficients complexes, a n racines complexes.
1
LES NOMBRES COMPLEXES
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18 septembre 2012