Entiers relatifs, arithmétique - MPSI Saint

MPSI Lyc´ ee Rabelais Semaine du 18 d´ecembre 2009
Entiers relatifs, arithm´etique
Divisibilit´e
Exercice 1:R´esoudre dans Zles ´equations suivantes :
1. x−1|x+3
2. x+2|x2+2
Exercice 2:R´esoudre dans Z2les ´equations suivantes :
1. xy =2x+3y
2. 1
x+1 y=1 5
3. x2−y2−4x−2y=5
Exercice 3:Soit (a, b, n)∈(N⋆)3.On note qle quotientde la division euclidienne
de a−1par b.D´eterminez le quotientde la division euclidienne de abn−1par
bn+1.
PGCD et PPCM
Exercice 4:D´eterminez le PGCD de aet bet ´etablissez une ´egalit´ede Bezout
lorsque
1. a=33, b=24
2. a=37 et b=27
3. a=270 et b=105.
Exercice 5:R´esolvez dans Z2les ´equations suivantes :
1. 221x+247y=15
2. 198x+216y=36
3. 323x−391y=612
Exercice 6:R´esolvez dans N2les syst`emes suivants :
1. x∧y=5
x∨y=60 .
2. x+y=100
x∧y=10
Nombres premiers entre eux
Exercice 7:Montrez quepour tout entier n∈N⋆,
1. (n2+n)∧(2n+1) =1
2. (3n2+2n)∧(n+1) =1.
Exercice 8:Soit (a, b, c)∈Z3tel que aet bsontpremiers entre eux. Montrez que
a∧bc =a∧c.
Exercice 9:Soientaet bdeux nombrespremiers entre eux.
1. Montrez que a∧(a+b)=b∧(a+b)=1.
2. D´eduisez-en que (a+b)∧ab =1.
Exercice 10 :Soit n∈N.
1. Montrez qu’il existe un couple (an,bn)∈N2,unique telque
(1 +√2)n=an+bn√2.
2. Montrez que anet bnsontpremiers entre eux.
Exercice 11 :On consid`ere la suite (Fn)n∈Nd´efinie par lesrelations
F0=0,F1=1,et ∀n∈N⋆,Fn+1 =Fn+Fn−1
Les Fnsontdesnombres entiers naturels appel´es nombres de Fibonacci .
1. Montrez que pour tout entier naturel n∈N⋆,Fn+1Fn−1−F2
n=(−1)n.
D´eduisez-en que Fnet Fn+1 sontpremiers entre eux.
2. Montrez que pour tout couple (n, p)∈N×N⋆,Fn+p=FpFn+1 +Fp−1Fn.
D´eduisez-en que
PGCD(Fn,Fp)=PGCD(Fn+p,Fp)
3. D´emontrez finalement,
∀(n, p)∈N2,PGCD(Fn,Fp)=FPGCD(n,p)
Nombres premiers, d´ecomposition primaire des entiers
Exercice 12 :Montrez que les nombres suivants sontcompos´es :
1. a=4n3+6n2+4n+1, n∈N⋆.
2. b=n4−n2+16, n∈Z.
1

Exercice 13 :Soientaet pdeux entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 2.
Montrez quesi ap−1est premier, alors a=2et pest premier.
Exercice 14 :Montrez que si pet qsontdeux entiersnaturelspremiers entre eux,
alors 2p−1et 2q−1sontpremiers entreeux.
Exercice 15 :Soit n∈N.Montrez que √n∈Q⇐⇒ ∃m∈N,n=m2.
D´eduisez-en que √2, √3sontirrationnels.
Exercice 16 :Petit th´eor`eme de Fermat
Soit pun nombre premier.
1. Montrez quepour tout k∈[[; 1,p−1]], p
kest divisible par p.
2. D´eduisez-en que pourtout entier n∈N,np−nest divisible par p.
Exercice 17 :Soit n∈N,on note pnle ni`eme nombre premier.
1. Montrez quepn+1 ≤p1p2···pn+1.
2. En d´eduire quepn≤22n.
3. Soit x∈R+.On note π(x)le nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux
`a x.D´emontrez que pour xassez grand,
ln(ln x)≤π(x)≤x.
Indication :vous pourrez utilisezle fait quepour n≥3, een−1≥22n.
Exercice 18 :Soit (m, n)∈N2un couple d’entiers naturels, premiers entre eux.
On suppose qu’il existe des entiers naturels A,xet ytels que A=xn=ym.Mon-
trez qu’il existe z∈Ntel que A=zmn.
Indication :vous pourrez utiliser les d´ecompositions primaires de xet y).
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