Entiers relatifs, arithmétique - MPSI Saint

MPSI Lycée Rabelais
Semaine du 18 décembre 2008
Entiers relatifs, arithmétique
Divisibilité
Exercice 7 : Montrez que pour tout entier n ∈ N⋆ ,
1. (n2 + n) ∧ (2n + 1) = 1
Exercice 1 : Résoudre dans Z les équations suivantes :
2. (3n2 + 2n) ∧ (n + 1) = 1.
1. x − 1|x + 3
Exercice 8 : Soit (a, b, c) ∈ Z3 tel que a et b sont premiers entre eux. Montrez que
a ∧ bc = a ∧ c.
2. x + 2|x2 + 2
Exercice 2 : Résoudre dans Z2 les équations suivantes :
Exercice 9 : Soient a et b deux nombres premiers entre eux.
1. xy = 2x + 3y
1
1
1
+ =
2.
x y
5
3. x2 − y 2 − 4x − 2y = 5
1. Montrez que a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) = 1.
2. Déduisez-en que (a + b) ∧ ab = 1.
Exercice 10 : Soit n ∈ N.
⋆ 3
1. Montrez qu’il existe un couple (an , bn ) ∈ N2 , unique tel que
√
√
(1 + 2)n = an + bn 2.
Exercice 3 : Soit (a, b, n) ∈ (N ) . On note q le quotient de la division euclidienne
de a − 1 par b. Déterminez le quotient de la division euclidienne de abn − 1 par
bn+1 .
2. Montrez que an et bn sont premiers entre eux.
PGCD et PPCM
Exercice 11 : On considère la suite (Fn )n∈N définie par les relations
Exercice 4 : Déterminez le PGCD de a et b et établissez une égalité de Bezout
lorsque
F0 = 0, F1 = 1, et ∀n ∈ N⋆ , Fn+1 = Fn + Fn−1
1. a = 33, b = 24
Les Fn sont des nombres entiers naturels appelés nombres de Fibonacci .
2. a = 37 et b = 27
1. Montrez que pour tout entier naturel n ∈ N⋆ , Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n .
Déduisez-en que Fn et Fn+1 sont premiers entre eux.
3. a = 270 et b = 105.
2. Montrez que pour tout couple (n, p) ∈ N × N⋆ , Fn+p = Fp Fn+1 + Fp−1 Fn .
Déduisez-en que
Exercice 5 : Résolvez dans Z2 les équations suivantes :
1. 221x + 247y = 15
2. 198x + 216y = 36
P GCD(Fn , Fp ) = P GCD(Fn+p , Fp )
3. 323x − 391y = 612
3. Démontrez finalement,
2
Exercice 6 : Résolvez dans N les systèmes suivants :
x∧y = 5
1.
.
x ∨ y = 60
x + y = 100
2.
x ∧ y = 10
∀(n, p) ∈ N2 ,
P GCD(Fn , Fp ) = FP GCD(n,p)
Nombres premiers, décomposition primaire des entiers
Exercice 12 : Montrez que les nombres suivants sont composés :
1. a = 4n3 + 6n2 + 4n + 1, n ∈ N⋆ .
Nombres premiers entre eux
2. b = n4 − n2 + 16, n ∈ Z.
1
Exercice 13 : Soient a et p deux entiers supérieurs ou égaux à 2.
Montrez que si ap − 1 est premier, alors a = 2 et p est premier.
Exercice 14 : Montrez que si p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux,
alors 2p − 1 et 2q − 1 sont premiers entre eux.
√
2
Exercice 15 : Soit
√ N. Montrez que n ∈ Q ⇐⇒ ∃m ∈ N, n = m .
√n∈
Déduisez-en que 2, 3 sont irrationnels.
Exercice 16 : Petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier.
p
est divisible par p.
k
2. Déduisez-en que pour tout entier n ∈ N, np − n est divisible par p.
1. Montrez que pour tout k ∈ [[; 1, p − 1]],
Exercice 17 : Soit n ∈ N, on note pn le nième nombre premier.
1. Montrez que pn+1 ≤ p1 p2 · · · pn + 1.
2. En déduire que pn ≤ 22 .
n
3. Soit x ∈ R+ . On note π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux
à x. Démontrez que pour x assez grand,
ln(ln x) ≤ π(x) ≤ x.
Indication : vous pourrez utilisez le fait que pour n ≥ 3, ee
n−1
≥ 22 .
n
Exercice 18 : Soit (m, n) ∈ N2 un couple d’entiers naturels, premiers entre eux.
On suppose qu’il existe des entiers naturels A, x et y tels que A = xn = y m . Montrez qu’il existe z ∈ N tel que A = z mn .
Indication : vous pourrez utiliser les décompositions primaires de x et y).
2