Fonctions trigonométriques - Sebjaumaths

Chapitre II
Fonctions circulaires
Première STI
Fonctions trigonométriques
Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé O,~i, ~j .
Le plan est orienté dans le sens direct (sens anti horaire).
Toutes les mesures d'angles seront en radian.
1
Cercle trigonométrique
Dénition 1 :
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens
direct, dit aussi sen trigonométrique.
~ . Une mesure en radian de l'angle
A tout point M du cercle, on associe l'angle ~i, OM
_
~
~i, OM
est égale à la distance algébrique curviligne OM.
2π
3
3π
4
5π
6
√1
3
2
√
2
2
π
3
π
4
π
6
0.5
√
3
−
2
−1
√
2
−
2
√
−0.5
0
√
2
2
0.5
3 1
2
−0.5
5π
−
6
−
3π
4
2π
−
3
sebjaumaths.free.fr
√
2
−
2
√
3
−
2
−
−
−
π
6
π
4
π
3
−1
page 1
Lycée Jean Rostand
Chapitre II
Fonctions circulaires
Première STI
Propriété 1 :
~
~
Pour M un point sur le cercle, on note x une mesure de l'angle i, OM . Pour k ∈ Z ,
~
le nombre x + 2kπ est aussi une mesure de l'angle ~i, OM
. Il y a donc une innité de
mesure pour un même angle, toutes égales à 2π près.
Dénition 2 :
~
~
Pour M un point sur le cercle, on appelle mesure principale de l'angle i, OM la
mesure x de cet angle telle que x ∈ ]−π, π] . Cette mesure est unique.
Propriété 2 :
~
Pour M et M 0 deux points sur le cercle, avec x une mesure de l'angle ~i, OM
et x0 une
~ 0 . Une mesure de l'angle OM
~ , OM
~ 0 est x0 − x + 2kπ où
mesure de l'angle ~i, OM
k ∈ Z.
2
Coordonnées polaires
Dénition 3 :
Pour M un point du plan,on note [R, θ] les coordonnées polaires de M , où R = OM et θ
~ .
est une mesure de l'angle ~i, OM
Propriété 3 :
Pour M (x, y), diérent
de O, on note [R, θ] les coordonnées polaires de M , on a :

R=
p
x2 + y 2 et
x


 cos (θ) = R


 sin (θ) = y
R
Propriété 4 :
Pour
 M [R, θ], on note (x, x) les coordonnées cartésiennes de M , on a : :
 x = R cos (θ)

y = R sin (θ)
sebjaumaths.free.fr
page 2
Lycée Jean Rostand
Chapitre II
3
Fonctions circulaires
Première STI
Fonction trigonométrique
Dénition 4 :
~ .
Pour M un point sur le cercle, avec x une mesure de l'angle ~i, OM
L'abscisse du point M est notée cos(x) ( se lit cosinus de x ).
L'ordonnée du point M est notée sin(x) ( se lit sinus de x ).
Dénition 5 :
On appelle cosinus la fonction dénie sur R qui à x associe cos(x).
On appelle sinus la fonction dénie sur R qui à x associe sin(x) .
Tableau des valeurs usuelles :
x
0
cos(x)
0
sin(x)
1
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
√2
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
π
0
−1
1
0
Propriété 5 :
Les propriétés suivantes sont vraies pour tout x ∈ R et pour tout k ∈ Z :
• −1 6 cos(x) 6 1.
• cos(π + x) = − cos(x).
• −1 6 sin(x) 6 1.
• sin(π + x) = − sin(x).
• cos2 (x) + sin2 (x) = 1.
• cos(π − x) = − cos(x).
• cos(x + 2kπ) = cos(x).
• sin(π − x) = sin(x).
π
− x = sin(x).
• cos
2
π
• sin
− x = cos(x).
2
π
• cos
+ x = − sin(x).
2
π
• sin
+ x = cos(x).
2
• sin(x + 2kπ) = sin(x).
• cos(−x) = cos(x).
• sin(−x) = − sin(x).
• cos(π − x) = − cos(x).
• sin(π − x) = sin(x).
sebjaumaths.free.fr
page 3
Lycée Jean Rostand
Chapitre II
4
Fonctions circulaires
Première STI
Équations trigonométriques
Propriété 6 :
∀α ∈ R
x = α + 2kπ
k∈Z
x = −α + 2kπ
x = α + 2kπ
k∈Z
x = π − α + 2kπ
• cos(x) = cos(α) ⇔
• sin(x) = sin(α) ⇔
sebjaumaths.free.fr
page 4
Lycée Jean Rostand