M10.2. Déviation vers l`est lors d`une chu Enoncé. Dans

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M10.2. Déviation vers l'est lors d'une chute libre.
Enoncé.
Dans cet exercice on tient compte de la rotation de la Terre
mouvement de son barycentre. On considère le référentiel barycentrique comme galiléen.
Un objet de masse m
est lâché d'une altitude h sans vitesse initiale.
1.
Dans quel sens est dirigée la force de Coriolis? Cela dépend
2.
Déterminer la valeur maximale de la vitesse pour que la valeur de la force de Coriolis
soit inférieure à 1 % à celle du poids de l'objet.
3.
Déterminer les équations différentielles du mouvement.
Quels termes dans ces équations peuvent
objets en chute libre n'atteignent pas cette vitesse précédemment déterminée ?
4.
Déterminer l'expression de la déviation vers l'est en fonction de la hauteur de chute et
de la latitude .
M10.2. Déviation vers l'est lors d'une chute libre.
Dans cet exercice on tient compte de la rotation de la Terre
autour de son axe mais pas du
mouvement de son barycentre. On considère le référentiel barycentrique comme galiléen.
est lâché d'une altitude h sans vitesse initiale.
Dans quel sens est dirigée la force de Coriolis? Cela dépend
-il de
l'hémisphère ?
Déterminer la valeur maximale de la vitesse pour que la valeur de la force de Coriolis
soit inférieure à 1 % à celle du poids de l'objet.
Déterminer les équations différentielles du mouvement.
Quels termes dans ces équations peuvent
-être n
égligés compte tenu du fait que les
objets en chute libre n'atteignent pas cette vitesse précédemment déterminée ?
Déterminer l'expression de la déviation vers l'est en fonction de la hauteur de chute et
autour de son axe mais pas du
mouvement de son barycentre. On considère le référentiel barycentrique comme galiléen.
l'hémisphère ?
Déterminer la valeur maximale de la vitesse pour que la valeur de la force de Coriolis
égligés compte tenu du fait que les
objets en chute libre n'atteignent pas cette vitesse précédemment déterminée ?
Déterminer l'expression de la déviation vers l'est en fonction de la hauteur de chute et
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M10.2. Déviation vers l'est lors d'une chute libre.
Corrigé.
1. Sens de la force de Coriolis.
La force d'inertie de Coriolis a pour expression :
2
ic
F m v
v
est la vitesse du point matériel dans le référentiel terrestre non galiléen.
Dans le cas où la vitesse de ce point est située dans le plan yOz, la force d'inertie de Coriolis
s'écrit :
2 sin ,
ic
F m v v i
Cette force est dirigée vers l'est indépendamment de l'hémisphère.
2. Valeur maximale de la vitesse.
On désire que :
2 sin ,
0,01
ic m v v
F
P mg
On se place dans le cas où le sinus de l'angle entre les vecteurs rotation et vitesse est maximal
(autrement dit, on se place à l'équateur où l'effet de la force de Coriolis est maximal) :
2 0,01.
0,01 2
ic
F
v g
v
P g
2 1
5
9,8 0,01
7,0.10 m.s
2 7,3.10
v
3. Hypothèses simplificatrices.
Dans la base du repère d'espace Oxyz, les composantes de la force de Coriolis sont :
cos sin
0
2 cos 2 sin
sin cos
ic
z y
x
F m y m x
z x
Comme la vitesse de chute de l'objet n'atteint pas cette valeur, on peut donc affirmer que
l'objet ne s'écarte que peu d'une trajectoire verticale. On a donc :
et
x z y z
D'où :
cos
2 0
0
ic
z
F m
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4. Déviation vers l'est.
On applique la relation de la dynamique dans le référentiel terrestre non galiléen (la force
d’inertie d’entraînement est comptabilisée dans le poids de l’objet) :
ic
mg F ma
La projection dans la base du repère Oxyz donne :
2 cos
0
x z
y
z g
La double intégration de la première équation différentielle conduit à :
3
1cos
3
x g t
Celle de la troisième à :
1
2
22
1
2
h z
z gt h t g
Lorsque l'objet arrive au sol, une bonne estimation de sa déviation vers l'est est :
3
2
1 2
cos
3h
x g g
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