Logique et raisonnements

Chapitre 2
Logique et raisonnements
Contents
2.1 Unpeudelogique.............................. 1
2.2 Élémentsdelogique............................. 2
2.3 Techniques élémentaires de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.1 Démonstration par disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.2 Démonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.3 Démonstration par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.4 Démonstration par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Entiers naturels et raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Entiersnaturels................................ 10
2.4.2 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Programme
•Connecteurs logiques : disjonction (ou), conjonction (et), implication, équivalence.
•Quantificateurs :
Passer du langage naturel au langage formalisé en utilisant les quantificateurs.
•Formuler une négation
•L’emploi des quantificateurs en guise d’abréviations est exclu.
•Raisonnement par contraposition, par l’absurde.
•Principe d’analyse/synthèse.
•Distinguer condition nécessaire et condition suffisante.
•Propriétés de l’ensemble N.
•Toute partie non vide de Na un plus petit élément. Application au principe de récurrence.
•Mener un raisonnement par récurrence simple ou avec prédécesseurs.
2.1 Un peu de logique
Les lois de la pensée (1854) - G. Boole (1815-1864) « Le but de ce traité est d’étudier
les lois fondamentales des opérations de l’esprit par lesquelles s’effectue le raisonnement ; de les
exprimer dans le langage symbolique d’un calcul, puis, sur un tel fondement, d’établir la science
de la logique et de constituer sa méthode[. . . ] »
1

TSI 1 Lycée Heinrich-Nessel 2016/2017
« De fait, dans sa forme ancienne et scolastique, la logique se rattache presque exclusivement au
grand nom d’Aristote. C’est sous l’aspect où elle fut exposée à la Grèce antique par la démarche,
en partie technique et en partie métaphysique de l’Organon, qu’elle a continué, presque sans au-
cun changement essentiel, de se présenter jusqu’à nos jours. Le mouvement de recherche original
s’est plutôt dirigé vers des questions de philosophie générale qui, quoiqu’issues de controverses
entre logiciens, ont débordé de leur lieu d’origine pour conférer aux âges successifs de la pensée
leur tour et leur caractère particuliers. »
« [. . . ] la science a pour rôle de dégager des lois [. . . ] »
« On examinera dans la Proposition suivante, l’analyse et la classification des signes dans lesquels
sont menées les opérations du raisonnement.
Proposition 2.1. Toutes les opérations du langage en tant qu’instrument du raisonnement se
peuvent conduire dans un système de signes composé des éléments suivants
1. Des symboles littéraux tels que x,y, etc. représentent les choses en tant qu’objets de nos
conceptions.
2. Des signes d’opération tels que +,−,×, qui traduisent les opérations de l’esprit par
lesquelles les conceptions des choses sont combinées ou séparées de manière à former de
nouvelles conceptions comprenant les mêmes éléments.
3. Le signe d’identité =.
Et ces symboles logiques voient leur usage soumis à des lois déterminées, qui en partie s’accordent
et en partie ne s’accordent pas avec les lois des symboles correspondants dans la science de
l’algèbre. »
2.2 Éléments de logique
En mathématique, on s’attache à établir la vérité ou la fausseté d’assertions (énoncés, propo-
sitions,. . . ) sur la base de règles de bon sens (plus techniquement des axiomes). Nous allons
approfondir sur le langage mathématique, c’est-à-dire un langage formel construit à partir de
connecteurs logiques, de quantificateurs et de symboles introduits au gré des théories, pour
proposer progressivement une approche plus rigoureuse des mathématiques que vous pratiquez
depuis votre enfance.
Pour nous, un énoncé mathématique sera toujours supposé soit vrai (V) soit faux (F).
Comme en informatique, il y a trois connecteurs logiques « élémentaires » que nous utilisons
fréquemment en mathématiques : NON, ET, OU.
Définition 2.2. Le connecteur de négation NON permet d’écrire le contraire d’une phrase.
Ainsi, si Pest une assertion, NON Pest son contraire. Ainsi, si Pest vraie, alors NON P
est fausse et réciproquement. On peut résumer cela dans une table de vérité :
PNON P
VF
FV
La double négation :NON ( NON P)est la même chose que P.
2

TSI 1 Logique et raisonnements 2016/2017
Définition 2.3. Le connecteur de conjonction ET : L’assertion PET Qest vraie uniquement
dans le cas où à la fois Pet Qsont vraies. Sa table de vérité est :
P Q P ET Q
V V V
V F F
F V F
F F F
Définition 2.4. Le connecteur de disjonction OU : L’assertion POU Qest vraie dès que
Pou Q(ou les deux) est vraie. Sa table de vérité est :
P Q P OU Q
V V V
V F V
F V V
F F F
Remarque.
•Symétrie : Notons que l’assertion PET Qest la même chose que l’assertion QET P. De
même, l’assertion POU Qest la même chose que l’assertion QOU P.
•Pour montrer que l’assertion PET Qest fausse, il suffit de montrer que l’une des deux
assertions est fausse.
•Pour montrer que l’affirmation POU Qest vraie, il suffit de montrer qu’au moins une
des deux affirmation est vraie.
Proposition 2.5 (lois de Morgan).Soit Pet Qdeux affirmations.
•NON (PET Q)est la même chose que ( NON P) OU ( NON Q)
•NON (POU Q)est la même chose que ( NON P) ET ( NON Q)
Une assertion peut dépendre d’une autre. Par exemple, pour résoudre une équation du second
degré donné, considérons l’assertion P=« Le discriminant ∆du polynôme est positif » et Q=
« le polynôme admet au moins une racine ». Il est bien connu maintenant que Pimplique Q.
L’implication traduit la phrase « Si Pest vraie, alors Qi est vraie ».
L’affirmation Pimplique Qsignifie que si Pest vraie alors nécessairement Qest vraie mais on
ne dit rien si Pest fausse !
Plus formellement,
3

TSI 1 Lycée Heinrich-Nessel 2016/2017
Définition 2.6. L’implication, notée P ⇒ Q, correspond par définition à l’assertion ( NON P) OU Q.
Sa table de vérité est :
P Q P ⇒ Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Exemple. Soit fune fonction dérivable sur [0; +∞[, considérons les trois assertions suivantes :
• P =«f(0) ≥0» ;
• Q =«fest croissante » ;
• R =«fest positive ».
On note alors que R⇒ P par contre Pn’implique pas Qni R. À l’aide des deux premières
assertions, on a
(PET Q)⇒ R
Exercice 2.1. Pendant le repas, un mathématicien dit à son fils :
- Si tu ne manges pas tes légumes, tu n’auras pas de crème glacée.
Le fils mange donc ses légumes, et son père ne lui donne pas de crème glacée.
Est-ce que le père a tenu sa parole ? Oui
Proposition 2.7. Pour montrer que P ⇒ Q est fausse, il suffit de montrer que Pest vraie
et Qest fausse.
En général, pour contredire une implication, on suppose l’hypothèse Pest on démontre que la
conclusion Qest fausse.
La réciproque de l’implication P ⇒ Q est par définition l’implication Q⇒P. Bien entendu,
il se peut que l’implication P ⇒ Q soit vraie mais que la réciproque soit fausse. Par exemple,
l’implication (concernant la variable réelle x)x= 1 ⇒x2= 1 est vraie mais sa réciproque
x2= 1 ⇒x= 1 est fausse.
Définition 2.8. On dit qu’une proposition Pest équivalente à une proposition Q, et on note
P ⇐⇒ Q, si on a P ⇒ Q ET Q⇒P.
L’équivalence est vraie lorsque les deux propositions Pet Qsont simultanément vraies ou si-
multanément fausses. On la lit aussi « Psi et seulement si Q».
Vocabulaire.
•Une proposition Pest une condition suffisante pour une proposition Qsi l’implication
P ⇒ Q est vraie.
Il suffit que Psoit vraie pour que Qsoit vraie.
•Une proposition Qest une condition nécessaire pour une proposition Psi l’implication
P ⇒ Q est vraie.
Pour que Psoit vraie, il faut nécessairement que Qsoit vraie.
4

TSI 1 Logique et raisonnements 2016/2017
•Une proposition Pest une condition nécessaire et suffisante pour une proposition Qsi
l’équivalence P ⇐⇒ Q est vraie.
Les implications jouent un rôle prépondérant dans les démonstrations mathématiques en vertu
du principe de déduction (ou syllogisme) suivant :
Si Pest vraie et si P ⇒ Q est vraie, alors Qest vraie.
Proposition 2.9. La négation d’une implication NON (P ⇒ Q)correspond à PET ( NON Q).
Définition 2.10. La contraposée de l’implication P ⇒ Q est l’implication ( NON Q)⇒
( NON P).
Exercice 2.2. Compléter la table suivante :
P Q NON (P) NON (Q)P ⇒ Q NON (Q)⇒NON (P)
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
Ainsi, une implication et sa contraposée ont même valeur de vérité : si l’une est vraie alors l’autre
aussi.
Remarque. Il ne faut pas confondre la contraposée avec la négation.
Il est important lorsqu’on écrit une phrase mathématique complexe d’utiliser des parenthèses
pour lever toute ambiguïté. Ainsi, il ne faut pas écrire quelque chose du genre PET QOU R
mais selon le cas (PET Q) OU Rou PET (QOU R). Ces deux propositions étant différentes.
Pour la clarté de la rédaction, il est impératif d’utiliser le symbole d’implication à bon escient :
en aucun cas il ne peut être utilisé comme abréviation de « j’en déduis ». Ainsi, la phrase
2x+ 3 = 5 ⇒x= 1 est vraie mais ne dit pas que x= 1. Elle dit « s’il est vrai que 2x+ 3 = 5,
alors il est vrai que x= 1 ».
Logique modale du premier ordre Les mathématiques s’attachent à démontrer les résultats
les plus généraux possibles. C’est pour cela que l’on utilise souvent les expressions « pour tout »
et « il existe ». On les appelle des quantificateurs. Quelques notations :
Vocabulaire.
•L’expression « pour tout » s’appelle le quantificateur universel et se note ∀. Ainsi, l’ex-
pression ∀x∈Rse lit « pour tout réel x» ou encore « quelque soit le réel x» ou encore
« pour un réel xquelconque » ou encore « pour n’importe quel réel x». . .
•L’expression « il existe » s’appelle le quantificateur existentiel et se note ∃. Ainsi, l’expres-
sion ∃x∈Rse lit « il existe un réel x» ou encore « on peut trouver un réel x» ou encore
« pour un certain réel x». . .
5