C ORRIGÉ E XERCICE 1 (barème sur 10 points) Partie A 1. L’algorithme no 1 calcule tous les termes de v 1 à v n à partir de v 0 mais n’affiche que le dernier v n car l’affichage est à l’extérieur de la boucle. Cet algorithme ne convient pas. L’algorithme no 2 affiche v 0 et calcule v 1 n fois de suite à chaque passage dans la boucle : il n’affiche pas tous les termes de 0 à v n . Cet algorithme ne convient pas. L’algorithme no 3 est donc celui qui convient. En effet, ilaffiche v 0 , calcule v 1 et l’affiche, il fait de meme jusqu’à v n−1 puis il calcule v n lors du dernier passage dans la boucle et l’affiche à la sortie de la boucle. Il affiche donc bien tous les termes de v 0 à v n . (1,5 points) 2. D’après la représentation des cinq premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses, il semble que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3 (abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite). (1 point pour la construction et 0,5 point pour les conjectures) 3. a. Montrons par récurrence que la propriété P n : 0 < v n < 3 est vraie pour tout entier naturel n. Initialisation : n = 0, on a bien 0 < v 0 < 3 vraie, puisque v 0 = 1 ; ainsi P 0 est vraie. Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n, P n est vraie et montrons alors que P n+1 est vraie. Par hypothèse de récurrence, on a : 0 < v n < 3. On multiplie par (-1) qui est strictement négatif, donc : −3 < −v n < 0. On ajoute 6, donc 6 − 3 < 6 − v n < 6 c’est à dire 3 < −v n < 6. Par stricte décroissance de la fonction inverse, les inverses de ces nombres strictement positifs sont rangés dans l’ordre contraire : 1 1 1 < . < 6 6 − vn 3 Enfin on multiplie par 9 (9>0) : 1 1 1 3 9 9× < 9× < 9 × , soit < < 3. 6 6 − vn 3 2 6 − vn 9 3 Or 0 < et v n+1 = 2 6 − vn Donc : 0 < v n+1 < 3 et la propriété est bien héréditaire. Conclusion : Par le principe de récurrence, on a démontré que la propriété P n : 0 < v n < 3 est vraie pour tout entier naturel n. (2 points) 9 9 − v n (6 − v n ) 9 − 6v n + v n2 (v n − 3)2 − vn = = = . 6 − vn 6 − vn 6 − vn 6 − vn Or, d’après la question précédente, pour tout entier naturel n, 0 < v n < 3, d’où b. Pour tout entier naturel n, v n+1 − v n = • v n − 3 > 0, donc (v n − 3)2 > 0 • v n < 3 < 6, donc 6 − v n > 0, (v n − 3)2 > 0, ainsi pour tout entier naturel n, v n+1 > v n . donc v n+1 − v n = 6 − vn La suite (v n ) est strictement croissante. (1,5 points) 1 Partie B 1. Méthode : on montre que la différence de deux termes consécutifs quelconques est égale à − ou on montre que w n+1 et w n − 1 sont égaux. 3 Pour tout entier naturel n, 1 1 w n+1 − w n = − = v n+1 − 3 v n − 3 1 vn − 3 =− . − 3 (v n − 3) 3 1 9 6−v n − −3 1 6 − vn 1 6 − vn − 3 −v n + 3 = − = = = vn − 3 3v n − 9 v n − 3 3v n − 9 3v n − 9 1 Ainsi la suite (w n ) est arithmétique de raison r = − .(1,5 points) 3 1 1 1 1 2. Pour tout entier naturel n, w n = w 0 + nr = − n = − − n. 1−3 3 2 3 6 1 1 1 , on a v n = +3 = 1 1 +3 = + 3. (1,5 points) Comme w n = vn − 3 wn −3 − 2n −2 − 3n 3. 1 3 lim −3 − 2n = −∞ car −2 < 0 n→+∞ 6 = 0 et par somme lim v n = 3.(0,5 point) n→+∞ n→+∞ −3 − 2n donc par quotient lim 2