Partie A 1. L`algorithme no 1 calcule tous les termes de v1 à vn à

CORRIGÉ EXERCICE 1(barème sur 10 points)
Partie A
1. L’algorithme no1 calcule tous les termes de v1àvnà partir de v0mais n’affiche que le dernier vn
car l’affichage est à l’extérieur de la boucle. Cet algorithme ne convient pas.
L’algorithme no2 affiche v0et calcule v1nfois de suite à chaque passage dans la boucle : il n’af-
fiche pas tous les termes de 0 à vn. Cet algorithme ne convient pas.
L’algorithme no3 est donc celui qui convient. En effet, ilaffiche v0, calcule v1et l’affiche, il fait de
meme jusqu’à vn−1puis il calcule vnlors du dernier passage dans la boucle et l’affiche à la sortie
de la boucle. Il affiche donc bien tous les termes de v0àvn. (1,5 points)
2. D’après la représentation des cinq premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses, il semble
que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3 (abscisse du point d’intersec-
tion de la courbe et de la droite). (1 point pour la construction et 0,5 point pour les conjectures)
3. a. Montrons par récurrence que la propriété Pn: 0 <vn<3 est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :n=0, on a bien 0 <v0<3 vraie, puisque v0=1 ; ainsi P0est vraie.
Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n,Pnest vraie et montrons alors que Pn+1
est vraie.
Par hypothèse de récurrence, on a : 0 <vn<3.
On multiplie par (-1) qui est strictement négatif, donc :
−3< −vn<0.
On ajoute 6, donc
6−3<6−vn<6 c’est à dire 3 < −vn<6.
Par stricte décroissance de la fonction inverse, les inverses de ces nombres strictement positifs
sont rangés dans l’ordre contraire :
1
6<1 6−vn
<1
3.
Enfin on multiplie par 9 (9>0) :
9×1
6<9×1 6−vn
<9×1
3, soit 3 2<9 6−vn
<3.
Or 0 <3
2et vn+1=9 6−vn
Donc : 0 <vn+1<3 et la propriété est bien héréditaire.
Conclusion : Par le principe de récurrence, on a démontré que la propriété Pn: 0 <vn<3 est
vraie pour tout entier naturel n. (2 points)
b. Pour tout entier naturel n,vn+1−vn=9
6−vn
−vn=9−vn(6−vn)
6−vn
=9−6vn+v2
n
6−vn
=(vn−3)2
6−vn
.
Or, d’après la question précédente, pour tout entier naturel n, 0 <vn<3, d’où
•vn−3>0, donc (vn−3)2>0
•vn<3<6, donc 6 −vn>0,
donc vn+1−vn=(vn−3)2
6−vn
>0, ainsi pour tout entier naturel n,vn+1>vn.
La suite (vn)est strictement croissante. (1,5 points)
1

Partie B
1. Méthode : on montre que la différence de deux termes consécutifs quelconques est égale à −1
3
ou on montre que wn+1et wn−1
3sont égaux.
Pour tout entier naturel n,
wn+1−wn=1
vn+1−3−1 vn−3=1
9
6−vn
−3
−1
vn−3=6−vn 3vn−9−1 vn−3=6−vn−3 3vn−9=
−vn+3
3vn−9=
−
vn−3
3(vn−3)= − 1 3.
Ainsi la suite (wn)est arithmétique de raison r= − 1
3.(1,5 points)
2. Pour tout entier naturel n,wn=w0+nr =1
1−3−1 3n= − 1 2−1 3n.
Comme wn=1
vn−3, on a vn=1 wn
+3=1
−1
2−1 3n
+3=6
−3−2n+3. (1,5 points)
3. lim
n→+∞
−3−2n= −∞ car −2<0
donc par quotient lim
n→+∞
6
−3−2n=0 et par somme lim
n→+∞
vn=3.(0,5 point)
2