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Université Abdelhamid Ben Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AlgébreI
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 1
(27 Septembre 2015)
Notions de Logique
Exercice 1 Montrer la transitivité de l’implication logique, c’est-à-dire que :
((P ) Q) ^ (Q ) R)) ) (P ) R)
avec P , Q et R trois propositions.
Exercice 2 Exprimer l’équivalence logique en termes d’implication logique, en
établissant que :
(P , Q) , (P ) Q) ^ (Q ) P )
avec P et Q deux propositions.
Exercice 3 Montrer que l’implication logique suivante :
(10n + 1 est divisible par 9) ) (10n+1 + 1 est divisible par 9)
est vraie. Que pensez vous de ces propositions ?
Exercice 4 Donner la négation des propositions suivantes:
P ^ Q ; P _ (Q ^ R) ; P ) Q ; P ) (Q ) R) ; P , Q:
Exercice 5
1. Caracteriser les suites non convergentes à l’aide de quanti…cateurs.
Rappel: Une suite réelle (un )n2N converge si et seulement si
8
> 0; 9n0 2 N; 8n
n0 j n
2. Soient f et fn ; n 2 N des fonctions de [0; 1]
des propositions suivantes:
n0 j< :
R dans R. Ecrire la négation
(a) 8 > 0; 9 > 0; 8x 2 [0; 1]; 8y 2 [0; 1]; jx yj <
(b) 8 > 0; 8x 2 [0; 1]; 9 > 0; 8y 2 [0; 1]; jx yj <
(c) 8 > 0; 8x 2 [0; 1]; 9n0 2 N; n
(d) 8 > 0; 9n0 2 N; 8x 2 [0; 1]; n
1
n0 ) jfn (x)
n0 ) jfn (x)
) jf (x) f (y)j < :
) jf (x) f (y)j < :
f (x)j < :
f (x)j < :
Exercice 6 La condition
(m et n sont deux entiers pairs)
est-elle une condition nécessaire ou une condition su¢ sante ou une condition
nécessaire et su¢ sante, pour que l’on ait
(m + n est un entier pair):
Exercice 7 Voici deux phrases :
1. Si a = 0 ou b = 0 alors ab = 0.
2. Si ab = 0 alors a = 0 ou b = 0.
Parmi les phrases suivantes écrites sous forme de condition nécessaire ou de
condition su¢ sante, indiquer à quelle phrase elles sont équivalentes.
1. Pour que a = 0 ou b = 0; il su¢ t que ab = 0.
2. Pour que ab = 0; il su¢ t que a = 0 ou b = 0:
3. Pour que a = 0 ou b = 0; il faut que ab = 0.
Exercice 8 En utilisant le raisonnement cas par cas, démontrer que si n et p
sont des entiers relatifs alors np est pair ou n2 p2 est un multiple de 8.
Exercice 9 En utilisant le raisonnement par contraposée, démontrer que si x
et y sont deux nombres réels di¤ érents alors les nombres (x + 1)(y 1) et (x
1)(y + 1) sont di¤ érents.
Exercice 10 Démontrer, en raisonnant par l’absurde, que si n est un entier
strictement positif alors n2 + 1 n’est pas le carré d’un entier naturel.
Exercice 11 Trouver l’erreur dans la preuve de la proposition suivante: “ Tout
groupe de personnes qui contient (au moins) une femme ne contient que des
femmes".
Preuve.
1. P(1) est vraie.
2. Supposons que P (n) est vraie et montrons qu’alors P (n + 1) est vraie.
Soit un groupe de (n + 1) personnes qui contient une femme. Notons
(e1 ; e2 ; : : : ; en ; en+1 ) ce groupe, e1 désignant une femme. Le groupe (e1 ; e2 ; : : : ; en )
de n personnes contient une femme: e1 ; P (n) étant supposée vraie, ce
groupe ne contient que des femmes.
On en déduit que le groupe (e2 ; : : : ; en ; en+1 ) est un groupe de n personnes
qui contient au moins une femme (en , par exemple). Il ne contient donc
que des femmes (puisque P (n) est vraie). Par suite en+1 est une femme
et donc P (n + 1) est vraie.
Conclusion : Par récurrence, P (n) est vraie pour tout n 2 N .
2