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Université Abdelhamid Ben Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AlgébreI
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N1
(27 Septembre 2015)
Notions de Logique
Exercice 1 Montrer la transitivité de l’implication logique, c’est-à-dire que :
((P)Q)^(Q)R)) )(P)R)
avec P,Qet Rtrois propositions.
Exercice 2 Exprimer l’équivalence logique en termes d’implication logique, en
établissant que :
(P,Q),(P)Q)^(Q)P)
avec Pet Qdeux propositions.
Exercice 3 Montrer que l’implication logique suivante :
(10n+ 1 est divisible par 9) )(10n+1 + 1 est divisible par 9)
est vraie. Que pensez vous de ces propositions ?
Exercice 4 Donner la négation des propositions suivantes:
P^Q ; P _(Q^R); P )Q ; P )(Q)R); P ,Q:
Exercice 5 1. Caracteriser les suites non convergentes à l’aide de quanti…-
cateurs.
Rappel: Une suite réelle (un)n2Nconverge si et seulement si
8 > 0;9n02N;8nn0jnn0j< :
2. Soient fet fn; n 2Ndes fonctions de [0;1] Rdans R. Ecrire la négation
des propositions suivantes:
(a) 8 > 0;9 > 0;8x2[0;1];8y2[0;1];jxyj<  ) jf(x)f(y)j< :
(b) 8 > 0;8x2[0;1];9 > 0;8y2[0;1];jxyj<  ) jf(x)f(y)j< :
(c) 8 > 0;8x2[0;1];9n02N; n n0) jfn(x)f(x)j< :
(d) 8 > 0;9n02N;8x2[0;1]; n n0) jfn(x)f(x)j< :
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Exercice 6 La condition
(m et n sont deux entiers pairs)
est-elle une condition nécessaire ou une condition su¢ sante ou une condition
nécessaire et su¢ sante, pour que l’on ait
(m+n est un entier pair):
Exercice 7 Voici deux phrases :
1. Si a= 0 ou b= 0 alors ab = 0.
2. Si ab = 0 alors a= 0 ou b= 0.
Parmi les phrases suivantes écrites sous forme de condition nécessaire ou de
condition su¢ sante, indiquer à quelle phrase elles sont équivalentes.
1. Pour que a= 0 ou b= 0;il su¢ t que ab = 0.
2. Pour que ab = 0;il su¢ t que a= 0 ou b= 0:
3. Pour que a= 0 ou b= 0;il faut que ab = 0.
Exercice 8 En utilisant le raisonnement cas par cas, démontrer que si net p
sont des entiers relatifs alors np est pair ou n2p2est un multiple de 8.
Exercice 9 En utilisant le raisonnement par contraposée, démontrer que si x
et ysont deux nombres réels di¤érents alors les nombres (x+ 1)(y1) et (x
1)(y+ 1) sont di¤érents.
Exercice 10 Démontrer, en raisonnant par l’absurde, que si nest un entier
strictement positif alors n2+ 1 n’est pas le carré d’un entier naturel.
Exercice 11 Trouver l’erreur dans la preuve de la proposition suivante: “ Tout
groupe de personnes qui contient (au moins) une femme ne contient que des
femmes".
Preuve.
1. P(1) est vraie.
2. Supposons que P(n)est vraie et montrons qu’alors P(n+ 1) est vraie.
Soit un groupe de (n+ 1) personnes qui contient une femme. Notons
(e1; e2; : : : ; en; en+1)ce groupe, e1désignant une femme. Le groupe (e1; e2; : : : ; en)
de npersonnes contient une femme: e1;P(n)étant supposée vraie, ce
groupe ne contient que des femmes.
On en déduit que le groupe (e2; : : : ; en; en+1)est un groupe de npersonnes
qui contient au moins une femme (en, par exemple). Il ne contient donc
que des femmes (puisque P(n)est vraie). Par suite en+1 est une femme
et donc P(n+ 1) est vraie.
Conclusion : Par récurrence, P(n)est vraie pour tout n2N.
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