Ch. 8 Équations

CHAPITRE 8
CHAPITRE 8
Équations et nombres complexes
L’équation du second degré ax2  bx c  0 a pour racines, comme chacun sait,
b  b2  4ac
2a
b  b2  4ac
. Nous supposons ici que a, b, c sont des nombres réels, avec a 0, et que
2a
  b2  4ac 0 , afin qu’on puisse prendre la racine carrée de  .
et
Que se passe-t-il lorsque   0?  n’a alors pas de racine carrée dans R. On introduit alors les
nombres complexes, dont l’ensemble est noté C. Ils sont faits de telle façon que la racine d’un
nombre réel négatif  existe : elle vaut i  , où i est un nombre complexe particulier dont le

carré vaut 1 (on a alors bien i 
  i   ). Nous rappelons dans ce chapitre
2
2
l’essentiel de la construction des nombres complexes.
Un nombre complexe est une expression de forme z  a  bi , où a, b sont des nombres réels, et
i un symbole spécial. La partie réelle de z est a, et sa partie imaginaire est b (ou parfois bi). Si
z a bi est un autre nombre complexe, on dira que z  z si et seulement si a a et b  b.
Tout nombre réel a est identifié au nombre complexe a 0i ; ainsi R est contenu dans C,
l’ensemble des nombres complexes. On définit l’addition et la multiplication dans C par
z z (a  a)  (b  b)i et z.z (aa bb)  (ab ba)i . C’est un exercice de routine, laissé à
l’étudiant amateur (d’exercices), de vérifier que C devient ainsi un anneau, ayant R comme sousanneau. En fait, C est un corps : on définit d’abord le conjugué z de z par z  a bi . Alors
2
2
2
2
z.z  (a  b )  0i  a  b est un nombre réel. Le module de z est
a2  b2  z.z ; on le
note | z |. Si z est non nul, i.e. z  0 0i  0 , alors a et b ne sont pas nuls tous deux, et z admet
pour inverse
z
a2  b2

a
a2  b

2
z.z
a2  b2
. En effet 2 2  2 2  1.
i
a b
a b
a2  b2
b
Les nombres complexes admettent une interprétation géométrique : z  a  bi est représenté par
le point M de coordonnés (a, b) dans le plan cartésien, comme l’on voit dans la figure 8.1. La
longueur r du segment OM est le module de z. L’argument de z est l’angle orienté  (en radians),
comme indiqué sur la figure; on le note arg z  . On a donc z  a  bi  r (cos  i sin) , car
a r cos , b  r sin , comme nous le savons par définition du cosinus et du sinus. Un nombre
complexe de module 1 (i.e. dont le point M correspondant se trouve sur le cercle de centre 0 et de
rayon 1) est donc de la forme cos i sin , et tout nombre de cette forme est de module 1, car
73
CHAPITRE 8
Figure 8.1
cos2  sin2   1. Les nombres complexes de cette forme se multiplient de manière très agréable;
on a en effet la formule de De Moivre
(cos  i sin)(cos i sin)
  cos(  )
  i sin(  )
 .
On écrit souvent ei pour cos i sin (ceci reçoit sa justification dans un cours d’analyse), et la
i + 
i i
formule s’écrit alors plus simplement e e  e
.
Un nombre complexe général s’écrit alors sous la forme z  r ei  , où r est son module et  est son
  
i 
argument. Deux nombres se multiplient selon la formule rei   r ei  rr e
.
Donc, dans la multiplication des nombres complexes, les modules se multiplient, et les arguments
s’additionnent. Attention : pour l’addition, c’est plus compliqué, et c’est la représentation a bi
qui permet d’additionner facilement; géométriquement, si M, M , M  sont les points qui


correspondent à z, z, z et si z  z z, alors le vecteur OM est la somme des vecteurs OM 

et OM , obtenu par la construction du parallélogramme (voir figure 8.2).
Les n points dans le plan correspondant aux n nombres complexes e2i k/n , pour k  0,1,..., n  1,
forment un polygône régulier à n côtés : voir figure 8.3 pour le cas n 5.
2ik / n
On a, d’après la formule de De Moivre : e
  e 2ik  cos2k   i sin2k   1. Donc ces n
n
nombres complexes sont tous racines de l’équation xn  1. On les appelle les racines n-èmes de
l’unité.
i
De manière analogue, si z  r e est un nombre complexe, l’équation xn  z a une solution, à
n
i /n
savoir x  r e
. De ceci, nous pouvons déduire que toute équation du second degré
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CHAPITRE 8
ax2  bx c , où a, b, c sont des nombres complexes avec a 0, a les racines
b  
, où  est
2a
une racine carrée de b2  4ac.
M
z
M"
z"
z'
M'
0
Figure 8.2
Figure 8.3
Ceci est un cas très particulier du théorème fondamental de l’algèbre : toute équation
n
n1
n2
a0 x  a1x  a2 x
 ... an1x  an  0 , où les ai sont dans C et a0  0, a une solution
dans C. La démonstration de ce théorème est au-delà du contenu de ce cours.
Exercices résolus
1.
Effectuer les opérations suivantes et exprimer le résultat sous la forme a  bi.
a)
14  3i   5  3i  2  3i  4i  15  2  3i  ;
b)
1  3i  9i  27i  81i  243i ;
c)
17  2i  4  7i  ;
d)
2i
e)
3i
f)
7  3i
;
1  5i
h)
7  2i
;
2  2i
2
3
4
5
3  3i 2 4i 3  5i 2 ;
g)
4  2i
;
4i
7  5i 2 3i 7  5i 2 ;
i)
7  3i
.
1  4i
2.
Trouver les modules et les arguments des nombres complexes suivants : 2  3i, 3  4i ,
2  4i
7  2i
, 7  2i , 2  2i ,
(on pourra utiliser une table, ou une calculette).
3  4i
2  2i
3.
Montrer que si z est un nombre complexe de module 1, son inverse est z .
75
CHAPITRE 8
4.
Montrer que si r  0, le nombre complexe r ei a n racines n-èmes distinctes, qui forment
les points d’un polygône régulier à n côtés.
*5.
On veut calculer les racines carrées dans C du nombre complexe a bi . Si z  x iy est
2
2
2
2
2
2
une telle racine carrée, montrer que x  y  a, x  y  a  b et 2xy  b. En déduire
2
2
x , y , puis x et y au signe près. Déterminer les deux racines cherchées en utilisant
l’équation 2xy  b . Appliquer cette méthode au calcul des racines carrées de 3 4i .
6.
Calculer dans C les racines des équations du second degré suivantes.
2
2
x 1  0 ;
x 1  0 ;
a)
b)
2
2
x  2  0;
x  2  0;
c)
d)
2
2
x  5x  6  0 ;
x  x 1  0;
e)
f)
g)
7.
8.
2
2x  7x  1  0 ;
h)
2
5x  3x  4  0 .
En utilisant la formule de De Moivre, trouver les formules trigonométriques donnant
cos(n et sin(n en fonction de cos, sin , pour n 2, 3, 4, 5.
Montrer que K  a  bi | a, b[Q  est un sous-corps de C.
Exercices non résolus
9.
Montrer que la fonction C C, z
z , satisfait à z z z z et z z z z. Montrer
que zR si et seulement si z  z. Montrer que z  z si et seulement si ziR .
10.
10
Calculer (1 i) ; a) à l'aide du binôme de Newton (cf. th. 10.7); b) à l'aide de la formule de
De Moivre.
11.
Trouver les 9 racines neuvièmes de i dans C, i.e résoudre z9  i  0 .
12.
Calculer dans C les racines des équations suivantes :
4
2
4
2
x  3x  2  0 ;
x  4x  4  0 ;
a)
b)
4
2
4
2
x  5x  6  0 ;
5x  3x  4  0 .
c)
d)
13.
Dans le corps C calculez le nombre complexe
a)
b)
1 3i 4  2i  1i ;
c)
1000
i
123
i
;
d)
76
1 i 4 ;
13
 2
2 



i .
 2
2 
CHAPITRE 8
14.
Vérifier que la fonction conjugaison C C , z z satisfait aux identités :
a)
b)
1 z 1 z;
z1 z2  z1 z2 .
15.
Écrire sous la forme a bi les 12 racines douzièmes de 1.
16.
Trouver les 6 racines de l’unité dans C et vérifier qu’avec la multiplication elles forment un
groupe isomorphe (cf. déf. 13.13) au groupe Z 6Z .
17.
Trouver les erreurs dans la « preuve » suivante : 1 1 
18.
Avec a, b, c  C, et a 0, trouver  et  tels que ax2  bx c  a(x  )2   . Retrouver
 
11
1 1  i  i  1.
ainsi les racines de l’équation du second degré, comme rappelées au début du chapitre.
19.
Soit L un sous-corps de R. Montrer que a  bi | a, b  L est un sous-corps de C.
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