CHAPITRE 8
73
CHAPITRE 8 Équations et nombres complexes
L’équation du second degré
ax2bxc0
a pour racines, comme chacun sait,
bb24ac
2a
et
bb24ac
2a
. Nous supposons ici que a, b, c sont des nombres réels, avec
a0
, et que
b24ac0
, afin qu’on puisse prendre la racine carrée de
.
Que se passe-t-il lorsque
0
?
n’a alors pas de racine carrée dans R. On introduit alors les
nombres complexes, dont l’ensemble est noté C. Ils sont faits de telle façon que la racine d’un
nombre réel négatif
existe : elle vaut
i
, où i est un nombre complexe particulier dont le
carré vaut 1 (on a alors bien
i
 
2i2
  
). Nous rappelons dans ce chapitre
l’essentiel de la construction des nombres complexes.
Un nombre complexe est une expression de forme
, où a, b sont des nombres réels, et
i un symbole spécial. La partie réelle de z est a, et sa partie imaginaire est b (ou parfois bi). Si
z a b i
est un autre nombre complexe, on dira que
zz
si et seulement si
aa et bb
.
Tout nombre réel a est identif au nombre complexe
a0i
; ainsi R est contenu dans C,
l’ensemble des nombres complexes. On définit l’addition et la multiplication dans C par
zz (aa )(bb )i
et
z.z (aa bb )(ab ba )i
. C’est un exercice de routine, laissé à
l’étudiant amateur (d’exercices), de vérifier que C devient ainsi un anneau, ayant R comme sous-
anneau. En fait, C est un corps : on définit d’abord le conjugué
z
de z par
. Alors
z.z (a2b2)0ia2b2
est un nombre réel. Le module de z est
a2b2z.z
; on le
note
|z|
. Si z est non nul, i.e.
z00i0
, alors a et b ne sont pas nuls tous deux, et z admet
pour inverse
z
a2b2a
a2b2b
a2b2i
. En effet
z.z
a2b2a2b2
a2b21
.
Les nombres complexes admettent une interprétation géométrique :
est représenté par
le point M de coordonnés (a, b) dans le plan cartésien, comme l’on voit dans la figure 8.1. La
longueur r du segment OM est le module de z. L’argument de z est l’angle orienté (en radians),
comme indiqué sur la figure; on le note arg
z 
. On a donc
zabir(cosisin)
, car
arcos
,
brsin
, comme nous le savons par définition du cosinus et du sinus. Un nombre
complexe de module 1 (i.e. dont le point M correspondant se trouve sur le cercle de centre 0 et de
rayon 1) est donc de la forme
cos isin
, et tout nombre de cette forme est de module 1, car
CHAPITRE 8
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Figure 8.1
cos2 sin2 1
. Les nombres complexes de cette forme se multiplient de manière très agréable;
on a en effet la formule de De Moivre
(cos isin)(cos  isin )cos(  )isin( )
.
On écrit souvent
ei
pour
cos isin
(ceci reçoit sa justification dans un cours d’analyse), et la
formule s’écrit alors plus simplement
eiei ei+
 
.
Un nombre complexe général s’écrit alors sous la forme
zr ei
, où r est son module et est son
argument. Deux nombres se multiplient selon la formule
rei
 r ei
 rr
 ei 
 
.
Donc, dans la multiplication des nombres complexes, les modules se multiplient, et les arguments
s’additionnent. Attention : pour l’addition, c’est plus compliqué, et c’est la représentation
abi
qui permet d’additionner facilement; géométriquement, si
M,M ,M
sont les points qui
correspondent à
z,z ,z
et si
zz z
, alors le vecteur
OM
est la somme des vecteurs
OM
et
OM
, obtenu par la construction du parallogramme (voir figure 8.2).
Les n points dans le plan correspondant aux n nombres complexes
e2ik/n
, pour
k0,1,...,n1
,
forment un polyne régulier à n côtés : voir figure 8.3 pour le cas
n5
.
On a, d’après la formule de De Moivre :
e2ik
/n
 ne2ik
cos 2k
isin 2k
1
. Donc ces n
nombres complexes sont tous racines de l’équation
xn1
. On les appelle les racines n-èmes de
l’unité.
De manière analogue, si
zr ei
est un nombre complexe, l’équation
xnz
a une solution, à
savoir
xr
nei/n
. De ceci, nous pouvons déduire que toute équation du second degré
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ax2bxc
, où a, b, c sont des nombres complexes avec
a0
, a les racines
b 
2a
, est
une racine carrée de
b24ac
.
z"
M"
M
z
z' M'
0
Figure 8.2 Figure 8.3
Ceci est un cas très particulier du théorème fondamental de l’algèbre : toute équation
a0xna1xn1a2xn2...an1xan0
, les
ai
sont dans C et
a00
, a une solution
dans C. La démonstration de ce torème est au-delà du contenu de ce cours.
Exercices résolus
1. Effectuer les opérations suivantes et exprimer le résultat sous la forme a bi.
a)
14 3i  53i 23i 4i 15 23i 
;
b)
13i9i227i381i4243i5
; c)
17 2i 47i 
;
d)
2i33i2
 4i35i2
 
; e)
3i75i2
 3i75i2
 
;
f)
73i
15i
; g)
42i
4i
; h)
72i
22i
; i)
73i
14i
.
2. Trouver les modules et les arguments des nombres complexes suivants :
23i,34i
,
24i
34i
,
72i
,
22i
,
72i
22i
(on pourra utiliser une table, ou une calculette).
3. Montrer que si z est un nombre complexe de module 1, son inverse est
z
.
CHAPITRE 8
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4. Montrer que si
r0
, le nombre complexe
r ei
a n racines n-èmes distinctes, qui forment
les points d’un polyne régulier à ntés.
*5. On veut calculer les racines carrées dans C du nombre complexe
abi
. Si
zxiy
est
une telle racine carrée, montrer que
x2y2a,x2y2a2b2et 2xy b
. En déduire
x2, y2
, puis x et y au signe près. terminer les deux racines cherchées en utilisant
l’équation
2xy b
. Appliquer cette méthode au calcul des racines carrées de
34i
.
6. Calculer dans C les racines des équations du second degré suivantes.
a)
x210
; b)
x210
;
c)
x220
; d)
x220
;
e)
x25x60
; f)
x2x10
;
g)
2x27x10
; h)
5x23x40
.
7. En utilisant la formule de De Moivre, trouver les formules trigonométriques donnant
cos(n et sin(n
en fonction de
cos, sin
, pour
n2, 3, 4, 5
.
8. Montrer que
Kabi|a,b[Q
 
est un sous-corps de C.
Exercices non résolus
9. Montrer que la fonction
CC, zz
, satisfait à
zz zz et zz zz
. Montrer
que
zR
si et seulement si
zz
. Montrer que
zz
si et seulement si
ziR
.
10. Calculer
(1i)10
; a) à l'aide du bime de Newton (cf. th. 10.7); b) à l'aide de la formule de
De Moivre.
11. Trouver les 9 racines neuvièmes de i dans C, i.e résoudre
z9i0
.
12. Calculer dans C les racines des équations suivantes :
a)
x43x220
; b)
x44x240
;
c)
x45x260
; d)
5x43x240
.
13. Dans le corps C calculez le nombre complexe
a)
13i
 42i
 1
i
; b)
1i
 4
;
c)
i1000 i123
; d)
2
22
2
i


 


13
.
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14. Vérifier que la fonction conjugaison
CC
,
zz
satisfait aux identités :
a)
1z
 1z
; b)
z
1z2z
1z
2
.
15. Écrire sous la forme
abi
les 12 racines douzièmes de 1.
16. Trouver les 6 racines de l’unité dans C et vérifier qu’avec la multiplication elles forment un
groupe isomorphe (cf. déf. 13.13) au groupe
Z 6Z
.
17. Trouver les erreurs dans la « preuve » suivante :
11 1
 1
  1 1ii 1
.
18. Avec a, b, c C, et
a0
, trouver et tels que
ax2bxca(x )2 
. Retrouver
ainsi les racines de l’équation du second degré, comme rappelées au début du chapitre.
19. Soit L un sous-corps de R. Montrer que
abi|a,bL
 
est un sous-corps de C.
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