CHAPITRE 8
CHAPITRE 8 Équations et nombres complexes
L’équation du second degré
a pour racines, comme chacun sait,
et
. Nous supposons ici que a, b, c sont des nombres réels, avec
, et que
, afin qu’on puisse prendre la racine carrée de
.
Que se passe-t-il lorsque
?
n’a alors pas de racine carrée dans R. On introduit alors les
nombres complexes, dont l’ensemble est noté C. Ils sont faits de telle façon que la racine d’un
nombre réel négatif
existe : elle vaut
, où i est un nombre complexe particulier dont le
carré vaut 1 (on a alors bien
). Nous rappelons dans ce chapitre
l’essentiel de la construction des nombres complexes.
Un nombre complexe est une expression de forme
, où a, b sont des nombres réels, et
i un symbole spécial. La partie réelle de z est a, et sa partie imaginaire est b (ou parfois bi). Si
est un autre nombre complexe, on dira que
si et seulement si
.
Tout nombre réel a est identifié au nombre complexe
; ainsi R est contenu dans C,
l’ensemble des nombres complexes. On définit l’addition et la multiplication dans C par
zz (aa )(bb )i
et
z.z (aa bb )(ab ba )i
. C’est un exercice de routine, laissé à
l’étudiant amateur (d’exercices), de vérifier que C devient ainsi un anneau, ayant R comme sous-
anneau. En fait, C est un corps : on définit d’abord le conjugué
de z par
. Alors
est un nombre réel. Le module de z est
; on le
note
. Si z est non nul, i.e.
, alors a et b ne sont pas nuls tous deux, et z admet
pour inverse
. En effet
.
Les nombres complexes admettent une interprétation géométrique :
est représenté par
le point M de coordonnés (a, b) dans le plan cartésien, comme l’on voit dans la figure 8.1. La
longueur r du segment OM est le module de z. L’argument de z est l’angle orienté (en radians),
comme indiqué sur la figure; on le note arg
. On a donc
, car
,
, comme nous le savons par définition du cosinus et du sinus. Un nombre
complexe de module 1 (i.e. dont le point M correspondant se trouve sur le cercle de centre 0 et de
rayon 1) est donc de la forme
, et tout nombre de cette forme est de module 1, car