Français des mathématiques - Plate

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École Centrale de Pékin Deuxième semestre du cycle préparatoire
Français des mathématiques
Travaux dirigés n°4
Semaine du 26 mars 2007
Thème : nombres complexes
Exercice 1.
Calculer
Exercice 2.
Résoudre l'équation z 2 + (i − 5)z + 26 + 2i = 0.
Exercice 3.
Résoudre l'équation z 4 + 6z 3 + 9z 2 = 0, puis z 4 + 6z 3 + 9z 2 + 100 = 0.
3+4i
1−i ,
(2 + i)3 , i2006 , i + 1i .
√
On pose j = − 21 + i 23 .
a) Montrer que j 2 = j .
b) Calculer 1 + j + j 2 . En déduire que j 3 = 1.
c) On prend un nombre entier positif n ∈ N.
Calculer les expressions (1 + 1)n , (1 + j)n , (1 + j 2 )n avec la formule du binôme de Newton.
d) Démontrer que
2n + 2 · (−1)n · Re j n
0
3
6
3k
Exercice 4.
Cn + Cn + Cn + · · · + Cn + · · · =
3
.
e) Trouver tous les entiers n ∈ N pour lesquels Cn0 + Cn3 + Cn6 + · · · + Cn3k + · · · est l'entier le plus proche de
2n
3 .
a) Démontrer que pour tout nombre complexe z , on a |z + iz| 6 2|z|.
b) Existe-t-il z non nul où on a l'égalité ?
Exercice 5.
On prend quatre réels a, b, c, d vériant ad − bc > 0.
Montrer que si z est un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive, alors
nombre complexe de partie imaginaire strictement positive.
Exercice 6.
az+b
cz+d
est aussi un
On suppose que a, b, c, d sont quatre nombres complexes, avec a, b, c deux à deux distincts.
On considère les trois réels
d−a
d−b
d−c
X = Re
, Y = Re
, Z = Re
.
Exercice 7.
b−c
c−a
a−b
Montrer que si deux des trois nombres X, Y, Z sont nuls, alors le troisième est nul aussi.
(Indication : Si X = Y = 0 on peut écrire d − a = ik(b − c) et d − b = il(c − a) avec k et l réels.)
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École Centrale de Pékin Deuxième semestre du cycle préparatoire
Français des mathématiques
Travaux dirigés n°5
Semaine du 2 avril 2007
Thème : nombres complexes
o
Exercice n 1
Quel est le module, le conjugué et l'inverse de eiθ ? (où θ est réel)
o
Exercice n 2
On prend un entier naturel non nul n.
a) Combien y a-t-il de nombres complexes z tels que z n = 1 ?
Les nombres complexes z tels que z n = 1 sont appelés les racines n-èmes de l'unité.
b) Pour n = 6, dessiner les racines n-èmes de l'unité dans le plan complexe.
c) Montrer que si α et β sont deux racines n-èmes de l'unité, alors α · β , α et α1 sont aussi des racines n-èmes
de l'unité.
d) Pour n xé, quel est le produit de toutes les racines n-èmes de l'unité ?
o
Exercice n 3
Quelle est l'image du point 1 + i par la similitude de centre −1 − 2i, d'angle orienté
π
3
et de rapport 2 ?
o
Exercice n 4
A l'aide des formules d'Euler, exprimer cos3 θ en fonction de cos 3θ, cos θ, puis sin3 θ en fonction de sin 3θ, sin θ
(on dit alors qu'on linéarise cos3 θ et sin3 θ).
o
Exercice n 5
Dessiner l'ensemble de tous les points du plan complexe tels que
a) z + 2z + i = 0
b) eiθ z + e−iθ z = 1
c) |z − i| < 1
d) ez = 1
o
Exercice n 6
A l'aide de la formule de Moivre, exprimer cos 5θ en fonction de cos θ.
o
Exercice n 7
Trouver tous les nombres complexes z tels que les points d'axes z, z 2 , z 5 soient alignés.
o
Exercice n 8
Si z = a + ib, quel est le module, l'argument, le conjugué et l'inverse de ez ?
o
Exercice n 9
a) Montrer que pour tout w ∈ C non nul, il existe un nombre complexe z avec ez = w.
Si z1 et z2 sont deux tels nombres, que peut-on dire de z1 − z2 ?
b) Pourquoi n'existe-t-il aucun nombre complexe z avec ez = 0 ?