TD 5 - lpthe

Année universitaire 2016/2017.
U.E. 2P021
TD no5. Théorème de Gauss
Éléments de correction
Johannes Braathen (LPTHE), Cédric Enesa (LKB), Andrea Mogini (LPNHE)
Exercice IV. Potentiel de Yukawa
On se propose de déterminer la distribution de charge qui est à l’origine du potentiel électrostatique
V(r) = q
4πε0re−r/a, q > 0.
1. Quelle équation relie le potentiel électrostatique à la densité volumique de charge ?
En partant des relations
~
∇ · ~ E=ρ
ε0
,~ E=−~ ∇V
on obtient l’équation de Poisson
~
∇ · (−~ ∇V) = ρ
ε0
⇒∆V +ρ
ε0
= 0.
2. Donner les symétries et invariances vérifiées par V(r). En déduire la dépendence spatiale de la
densité volumique de charge en tout point.
V(r)est à symétrie sphérique (pas de dépendence en φet θ) et ceci doit être vrai pour la
densité volumique de charge aussi. Donc ρ=ρ(r).
3. Quelle est l’expression du champ électrique ?
~
E=−~ ∇V
=−dV
dr êr
=q
4πε0r2e−r
a1 + r
aêr.
4. Déterminer la charge Qint contenue par une sphère de centre Oet rayon R.
1

En appliquant le théorème de Gauss, on trouve
ΦS(~ E) = S
~
E·d~s
=S
q
4πε0r2e−r
a1 + r
aêr·êrr2sin θdθdφ
=q
4πε0
e−r
a1 + r
aS
sin θdθdφ
=q
ε0
e−r
a1 + r
a
=Qint
ε0
⇒Qint =qe−r
a1 + r
a>0.
5. À partir de l’équation de Poisson, déterminer la densité volumique de charge à l’origine du potentiel
de Yukawa.
∆V =1
r2sin θ∂ ∂r r2sin θ∂V ∂r +∂ ∂θ sin θ∂V ∂θ +∂ ∂φ 1 sin θ
∂V
∂φ 
=1
r2sin θ∂ ∂r r2sin θ∂V ∂r 
=1
r2∂ ∂r r2∂ ∂r q 4πε0re−r/a
=1
r2∂ ∂r −q 4πε0
e−r
a1 + r
a
=−q
4πε0r2ae−r
a−r
a
=q
4πε0ra2e−r
a.
∆V =−ρ
ε0
⇒ρ(r) = −q
4πra2e−r
a<0,∀r,0.
6. Que se passe-t-il en r= 0 ?
La densité de charge est négative partout sauf en zéro. Pourtant, la charge Qint contenue
dans une sphère de centre Oet rayon Rest toujours positive (cfr. 4). La charge en l’origine
doit donc être positive, elle vaut
lim
R→0Qint = lim R→0qe−r
a1 + r
a=q.
Par ailleurs,
lim
R→+∞Qint = 0.
Donc la charge positive en l’origine est compensée exactement par le reste de la distribution.
2

Exercice V. Plan infini uniformément chargé
On considère un plan Pde densité surfacique de charge uniforme σet normal au verseur êz.
1. Donner les symétries et invariances de la distribution de charge et en déduire l’orientation et
la dépendance du champ électrique en tout point.
On utilise les coordonnées cartésiennes et on pose z= 0 pour le plan chargé. La distribution
de charges est invariante par toute translation de vecteur ~v=aêx+bêy,∀(a,b)∈R2. Il
s’ensuit que le champ électrique est en tout point indépendant des coordonnées xet y:
~
E=~ E(z).
Par ailleurs, le plan Painsi que tout plan normal à ce dernier est un plan de symétrie de la
distribution de charges étudiée. Ainsi, toute droite contenue dans Pou normal à ce plan est
un axe de symétrie et porte par conséquent le champ électrique. On a donc :
~
E=E(z) êz
~
E(~p ∈ P) = ~ 0
~
E(z) = −~ E(−z).
2. Déterminer le champ électrique dans tout l’espace.
On considère comme surface de Gauss Scelle d’un cube de coté 2z, dont le centre est C∈ P
et tel que ses bases B1et B2soient contenues dans deux plans parallèles à P. À l’exclusion
de ces bases, donc, le champ électrique ~ Eest normal à l’élément infinitésimal de surface d~s.
Soit B=B1∪ B2, alors le flux du champ électrique à travers la surface Sdu cube est :
ΦS(~ E) = S
~
E·d~s ="B
~
E·d~s ="B1 E(z)dxdy +"B2 E(−z)(−dxdy)=8E(z)z2.
Par le théorème de Gauss :
ΦS(~ E) = Qint
0
=4σz2
0
.
Donc, on trouve :
~
E(z) = sgn(z)σ
20
êz.
3. Montrez que la relation de discontinuité de la composante normale du champ électrique à la
traversée de la surface chargée est vérifiée.
La relation évoquée est :
~n12 ·(~ E2−~ E1) = σ
0
.
Si la région 1 est celle des z < 0et la région 2 sa complémentaire :
~n12 = êz,~ E2−~ E1= 2 ~ E2=σ
0
êz.
La relation de discontinuité est bien vérifiée.
3

Exercice VI. Boules imbriquées
On considère deux boules de rayons Ret centres O1et O2tels que d=k−−−→ O1O2k<2R. Les boules
ont des densités volumiques de charge uniformes ρ1et ρ2respectivement, avec ρ1=−ρ2.
1. Que vaut la densité de charge volumique dans l’intersection des boules ? Est-il possible d’utiliser
le théorème de Gauss pour cette distribution de charge ?
À l’intersection on a une densité ρtot =ρ1+ρ2= 0. On ne peut pas utiliser le théorème de
Gauss car il n’y a aucune symétrie remarquable à exploiter.
2. Calculer le champ électrique dans l’intersection des deux boules.
Soient ~ E1(P)et ~ E2(P)les champs générés par les deux boules en P, point quelconque de leur
intersection. On utilise le résultat obtenu à l’exercice II de ce TD pour le champ électrique
à l’intérieur d’une boule de densité volumique de charge uniforme ainsi que le principe de
superposition :
~
E1(P) = ρ1
30
−−→
O1P
~
E2(P) = ρ2
30
−−→
O2P=−ρ1
30
(−−→ O1P−−−−→ O1O2)
~
Etot(P) = ~ E1(P) + ~ E2(P) = ρ1
30
−−−→
O1O2.
4