TD 5 - lpthe

Année universitaire 2016/2017.
U.E. 2P021
TD no 5. Théorème de Gauss
Éléments de correction
Johannes Braathen (LPTHE), Cédric Enesa (LKB), Andrea Mogini (LPNHE)
Exercice IV. Potentiel de Yukawa
On se propose de déterminer la distribution de charge qui est à l’origine du potentiel électrostatique
V (r) =
q
e−r/a , q > 0.
4πε0 r
1. Quelle équation relie le potentiel électrostatique à la densité volumique de charge ?
En partant des relations
~ = −∇V
~
~ ·E
~ = ρ , E
∇
ε0
on obtient l’équation de Poisson
~ · (−∇V
~ ) = ρ ⇒ ∆V + ρ = 0.
∇
ε0
ε0
2. Donner les symétries et invariances vérifiées par V (r). En déduire la dépendence spatiale de la
densité volumique de charge en tout point.
V (r) est à symétrie sphérique (pas de dépendence en φ et θ) et ceci doit être vrai pour la
densité volumique de charge aussi. Donc ρ = ρ(r).
3. Quelle est l’expression du champ électrique ?
~ = −∇V
~
E
dV
=−
êr
dr
q
r
− ar
=
e
1+
êr .
4πε0 r2
a
4. Déterminer la charge Qint contenue par une sphère de centre O et rayon R.
1
En appliquant le théorème de Gauss, on trouve
~
~ · d~s
ΦS (E) =
E
S
q
r
− ar
=
e
êr · êr r2 sin θdθdφ
1
+
2
4πε
r
a
0
S
q
r
− ar
=
e
1+
sin θdθdφ
4πε0
a
S
q −r
r
e a 1+
=
ε0
a
Qint
=
ε0
r
− ar
> 0.
⇒ Qint = qe
1+
a
5. À partir de l’équation de Poisson, déterminer la densité volumique de charge à l’origine du potentiel
de Yukawa.
1
∂V
∂
∂V
∂
∆V = 2
r2 sin θ
+
sin θ
r sin θ
∂r
∂r
∂θ
∂θ
1
∂
∂V
= 2
r2 sin θ
r sin θ
∂r
∂r
1
∂
q
2 ∂
−r/a
= 2
r
e
r
∂r
∂r
4πε0 r
r
∂
q
r
1
−
e− a 1 +
= 2
r
∂r
4πε0
a
r
q
r
=−
e− a −
2
4πε0 r a
a
q
− ar
=
e .
4πε0 ra2
r
ρ
q
∆V = −
⇒ ρ(r) = −
e− a < 0, ∀ r , 0.
2
ε0
4πra
∂
+
∂φ
1 ∂V
sin θ ∂φ
6. Que se passe-t-il en r = 0 ?
La densité de charge est négative partout sauf en zéro. Pourtant, la charge Qint contenue
dans une sphère de centre O et rayon R est toujours positive (cfr. 4). La charge en l’origine
doit donc être positive, elle vaut
r
lim Qint = lim qe− a 1 +
R→0
R→0
r
a
= q.
Par ailleurs,
lim Qint = 0.
R→+∞
Donc la charge positive en l’origine est compensée exactement par le reste de la distribution.
2
Exercice V. Plan infini uniformément chargé
On considère un plan P de densité surfacique de charge uniforme σ et normal au verseur êz .
1. Donner les symétries et invariances de la distribution de charge et en déduire l’orientation et
la dépendance du champ électrique en tout point.
On utilise les coordonnées cartésiennes et on pose z = 0 pour le plan chargé. La distribution
de charges est invariante par toute translation de vecteur ~v = a êx + b êy , ∀(a,b) ∈ R2 . Il
s’ensuit que le champ électrique est en tout point indépendant des coordonnées x et y :
~ = E(z).
~
E
Par ailleurs, le plan P ainsi que tout plan normal à ce dernier est un plan de symétrie de la
distribution de charges étudiée. Ainsi, toute droite contenue dans P ou normal à ce plan est
un axe de symétrie et porte par conséquent le champ électrique. On a donc :
~ = E(z) êz
E
~ p ∈ P) = ~0
E(~
~
~
E(z)
= −E(−z).
2. Déterminer le champ électrique dans tout l’espace.
On considère comme surface de Gauss S celle d’un cube de coté 2z, dont le centre est C ∈ P
et tel que ses bases B1 et B2 soient contenues dans deux plans parallèles à P. À l’exclusion
~ est normal à l’élément infinitésimal de surface d~s.
de ces bases, donc, le champ électrique E
Soit B = B1 ∪ B2 , alors le flux du champ électrique à travers la surface S du cube est :
"
"
"
~
~
~
E · d~s =
E(z)dxdy +
E(−z)(−dxdy) = 8E(z)z 2 .
E · d~s =
ΦS (E) =
S
Par le théorème de Gauss :
Donc, on trouve :
B
B1
B2
2
~ = Qint = 4σz .
ΦS (E)
0
0
σ
~
E(z)
= sgn(z)
êz .
20
3. Montrez que la relation de discontinuité de la composante normale du champ électrique à la
traversée de la surface chargée est vérifiée.
La relation évoquée est :
~2 − E
~ 1) =
~n12 · (E
σ
.
0
Si la région 1 est celle des z < 0 et la région 2 sa complémentaire :
~2 − E
~ 1 = 2E
~ 2 = σ êz .
~n12 = êz , E
0
La relation de discontinuité est bien vérifiée.
3
Exercice VI. Boules imbriquées
−−−→
On considère deux boules de rayons R et centres O1 et O2 tels que d = kO1 O2 k < 2R. Les boules
ont des densités volumiques de charge uniformes ρ1 et ρ2 respectivement, avec ρ1 = −ρ2 .
1. Que vaut la densité de charge volumique dans l’intersection des boules ? Est-il possible d’utiliser
le théorème de Gauss pour cette distribution de charge ?
À l’intersection on a une densité ρtot = ρ1 + ρ2 = 0. On ne peut pas utiliser le théorème de
Gauss car il n’y a aucune symétrie remarquable à exploiter.
2. Calculer le champ électrique dans l’intersection des deux boules.
~ 1 (P ) et E
~ 2 (P ) les champs générés par les deux boules en P , point quelconque de leur
Soient E
intersection. On utilise le résultat obtenu à l’exercice II de ce TD pour le champ électrique
à l’intérieur d’une boule de densité volumique de charge uniforme ainsi que le principe de
superposition :
−→
~ 1 (P ) = ρ1 −
E
O1 P
30
−→
ρ1 −−→ −−−→
~ 2 (P ) = ρ2 −
E
O2 P = −
(O1 P − O1 O2 )
30
30
−−→
~ tot (P ) = E
~ 1 (P ) + E
~ 2 (P ) = ρ1 −
E
O1 O2 .
30
4