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EM3.7. Etude d’une distribution sphérique inhomogène.
1. Expression du champ électrostatique.
Tous les plans contenant le centre
O
de la sphère et le point
P
sont des plans de symétrie de la distribution
des charges. Le champ électrique
doit simultanément appartenir à l’ensemble de ces plans, il est donc porté
par leur intersection qui est la droite
OM.
On obtient
:
, ,
r
r
E P E r u
Comme cette distribution présente une invariance par rotation autour du point
O
, le champ élect
rique ne
dépend pas alors des variables angulaires.
r
r
E P E r u
Ce résultat ne dépend pas de la position de ce point
P
.
On choisit alors une surface de Gauss centrée en
O
et de rayon
r
. Le théorème de
Gauss
s’écrit
:
int
2
.
4
r
o
r r r
Q
E dSu
E r dS E r dS E r r
On distingue alors deux régions de l’espace
:
● Pour
r R
(on peut mettre ici le signe égal car la distribution est
volumique
ce qui assure la continuité de
la composante normale (ici radiale) du champ électrostatique).
Pour la charge intérieure
:
2 2 2
2
2 2
int
2
0 0 0 0 0 0 0 0
3
2
int
2
0 0
3 5
int
2
sin 1 sin
4
4
3 5
r r r
o
o
r r
o
o
r
Q dV r d d k r dr d d
R
r
Q r dr k dr
R
r k r
Q
R
On
obtient par application du théorème de Gauss
:
3 5
2
2
4
4
3 5
o
r
o
r k r
E r r
R
Le champ électrique a pour expression dans
cette région
:
3
2
3 5
o
r
o
r k r
E r
R
● Pour
r R
, La charge intérieure à la surface de Gauss s’écrit
:
2 2 2
2
2 2
int
2
0 0 0 0 0 0 0 0
3
2
int
2
0 0
3
int
sin 1 sin
4
1
4
3 5
R R R
o
o
R r
o
o
r
Q dV r d d k r dr d d
R
r
Q r dr k dr
R
k
Q R
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On obtient par application du théorème de Gauss
:
2 3
4
1
4
3 5
o
r
o
k
E r r R
Le champ électrique a pour expression dans cette région
:
3
2
1
3 5
o
r
o
R k
E r
r
2. Maximum du champ.
Le champ
a une valeur extrémale que l’on supp
osera maximale lorsque
:
3
2
0 avec
3 5
r
o
r
o
dE r
r k r
E r
dr R
D’où
:
2
2
2
2
1 3
0
3 5
5
9
1 5
3
r
o
o
dE r
k r
dr R
r
R k
r
R k
Le coefficient
k
a pour expression
:
2
5
9
r
k
R
Dans le où
1
2
r
R
on obtient
:
20
2,2
9
k
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