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EM3.7. Etude d’une distribution sphérique inhomogène.
co
m
1. Expression du champ électrostatique.
Tous les plans contenant le centre O de la sphère et le point P sont des plans de symétrie de la distribution
des charges. Le champ électrique doit simultanément appartenir à l’ensemble de ces plans, il est donc porté
par leur intersection qui est la droite OM. On obtient :


E  P   Er  r ,  ,   u r
Ce résultat ne dépend pas de la position de ce point P.
eb
.
Comme cette distribution présente une invariance par rotation autour du point O, le champ électrique ne
dépend pas alors des variables angulaires.


E  P   Er  r  u r
On choisit alors une surface de Gauss centrée en O et de rayon r. Le théorème de Gauss s’écrit :
 
Q

 E.dSu r  into

 E  r  dS  E  r  
 dS  E  r  4 r
r
r
2
r
aw
On distingue alors deux régions de l’espace :
● Pour r  R (on peut mettre ici le signe égal car la distribution est volumique ce qui assure la continuité de
la composante normale (ici radiale) du champ électrostatique).
Pour la charge intérieure :
r 2 
r 2 
r

2

r2  2
2

dV


r
sin

d

d



1

k
r
dr
sin

d


o

0 0 0
0
0 d
R2 
0 0 0
o
r
r 2
r3 
Qint  4o   r dr   k 2 dr 
R
0
0

kh
ol
Qint  
 r3 k r5 
Qint  4o  
2 
3 5R 
On obtient par application du théorème de Gauss :
4o  r 3 k r 5 
Er  r  4 r 
 

 o  3 5 R2 
ww
w.
2
Le champ électrique a pour expression dans cette région :
Er  r  
o  r k r 3 
 

 o  3 5 R2 
● Pour r  R , La charge intérieure à la surface de Gauss s’écrit :
R 2 
R 2 
R

2

r2  2
2

dV


r
sin

d

d



1

k
r
dr
sin

d

d
o
2 







R

0 0 0
0 0 0
o
0
0
R
r
3


r
Qint  4o   r 2 dr   k 2 dr 
R
0
0

Qint  
1 k 
Qint  4o R 3   
3 5
On obtient par application du théorème de Gauss :
4 o 3  1 k 
R   
o
3 5
Le champ électrique a pour expression dans cette région :
Er  r  
o R3  1 k 

 o r 2  3 5 
2. Maximum du champ.
co
m
Er  r  4 r 2 
Le champ a une valeur extrémale que l’on supposera maximale lorsque :
eb
.
dEr  r 
  r k r3 
 0 avec Er  r   o  

dr
o  3 5 R2 
D’où :
r 1 5

R 3 k
Le coefficient k a pour expression :
Dans le où
r 1
 on obtient :
R 2
20
 2, 2
9
ww
w.
k
2
kh
ol
5 r 
k  
9 R
aw
dEr  r  o  1 3k r 2 

 
0
dr
o  3 5 R2 
r2
5

2
R
9k