IFIPS-Optronique 2004-2005 TD 5 : Thorme de Gauss 1. Angle solide a) Donner l'angle solide dΩ sous lequel on voit un élément de surface dS d'une sphère depuis son centre O. En déduire l'angle solide sous lequel on voit une calotte sphérique depuis O. b) Donner l'angle solide dΩ sous lequel on voit une couronne élémentaire d'un disque depuis un point O de son axe. En déduire l'angle solide sous lequel on voit la totalité du disque depuis O. Comparer le résultat à celui obtenu dans le cas de la calotte sphérique de l'exercice précédent. Conclure. c) Calculer l'angle solide sous lequel on voit une face d'un cube depuis son centre. d) Une charge Q est uniformément répartie sur la surface d'un carré de côté 2a. Donner, avec un minimum de calculs, l'expression du champ électrique créé par le carré au point de l'axe Oz situé à la distance a du carré. 2. Flux du champ électrique et relation avec les angles solides a) On place une charge ponctuelle q au centre d'un cube. Calculer le ux du champ électrique à travers l'une des faces du cube, puis le ux du champ électrique à travers le cube. Retrouver le théorème de Gauss. b) On place une charge ponctuelle q au centre d'un cylindre de hauteur H et de rayon R. Calculer le ux du champ électrique à travers la surface latérale du cylindre. 3. Théorème de Gauss Dans chacun des exercices proposés, il est possible d'utiliser la forme intégrale et/ou la forme locale du théorème de Gauss. On pourra s'essayer à la forme locale par exemple dans l'exercice (c). a) Une sphère de rayon R est chargée en volume avec la densité ρ(r) = ρ0 r/R. Calculer le champ électrique créé en tout point de l'espace. Donner ensuite le potentiel V (r) pour tout r. b) Un cylindre de longueur innie et de rayon R porte la densité surfacique de charges uniforme σ . Calculer le champ électrique puis le potentiel créés en tout point de l'espace. c) Une plaque plane d'extension innie et d'épaisseur e est chargée uniformément en volume avec la densité ρ. Calculer le champ électrique puis le potentiel créés en tout point de l'espace. 1 d) Même question pour une plaque d'extension innie et inniment mince portant la densité surfacique de charges σ . Vérier que l'on obtient les mêmes résultats en faisant tendre l'épaisseur de la plaque de la question précédente vers 0. e) On considère deux plaques planes innies et inniment minces parallèles. L'une porte la densité surfacique de charges σ et l'autre la densité surfacique de charges −σ . Déduire de l'exercice (d) le champ électrique en tout point. 4. Actions exercées par un l inni chargé sur un dipôle Déterminer les actions mécaniques (moment des forces et force) exercées par le champ d'un l rectiligne inni portant la charge linéique uniforme λ, sur un dipôle placé en M dans un plan perpendiculaire au l comme indiqué ci dessous. y P z eq a er q O x Rappel : opérateur divergence ~ = En cartésiennes : div(E) ∂Ex ∂x ~ = En cylindriques : div(E) 1 ∂(rEr ) r ∂r + 1 ∂Eθ r ∂θ 1 ∂(r2 Er ) r2 ∂r + 1 ∂(sin θEθ ) r sin θ ∂θ ~ = En sphériques : div(E) + ∂Ey ∂y + 2 ∂Ez ∂z + ∂Ez ∂z + 1 ∂Eφ r sin θ ∂φ