Exercice type Enoncé 1 Champ créé par un fil chargé On considère un fil infini uniformément chargé avec une densité linéique de charge λ. On s’intéresse au calcul du champ créé en tout point M de l’espace. ~ 1. Montrer que le champ est de la forme E(M ) = E(r)~ur . z M r 2. Déterminer l’expression de E(r). 3. Déterminer le potentiel électrostatique créé par le fil. ∼ Corrigé 2 Champ créé par un fil chargé 1. Dans le cas général, le champ électrique est donné par : − → → − − E (r, θ, z) = Er (r, θ, z)− u r + Eθ (r, θ, z)→ u θ + Ez (r, θ, z)→ uz • Symétries : Tout plan passant par M et contenant le fil est plan de symétrie de la distribution de − → charge. Le vecteur E étant un vecteur vrai, il doit appartenir à tous ces plans de symétrie, → → ~ qui sont définis par (M, − u r, − u z . On en déduit que E(M ) n’est pas suivant ~uθ , et donc : − → → → − + E (r, θ, z)→ − E (r, θ, z) = Er (r, θ, z)− ur +E uz z θ (r, ///// ///θ, ////z) ///u ///θ De plus, tout plan passant par M, perpendiculaire au fil est plan de symétrie de la distribution de charge. Le champ électrique doit appartenir aux plans de symétrie, et on en ~ déduit que E(M ) n’est pas suivant ~uz : − → → → − + E (r, θ, z)→ − E (r, θ, z) = Er (r, θ, z)− ur +E θ (r, ///// ///θ, ////z) ///u ///θ ///z/////////////u//z/ • Invariances : La distribution de charge est invariante par rotation de θ autour du fil, et par translation ~ de z le long du fil. E(M ) ne dépend donc ni de θ, ni de z : − → − → → − + E (r, θ, z)→ − E (r, θ, z) = Er (r, θ, ////z ) u r + E θ (r, ///// ///θ, ////z) ///u ///θ ///z/////////////u//z/ Finalement, on en déduit que : → − → E (M ) = E(r)− ur PSI 1 2010-2011 Exercice type z r M h Σ O 2. Afin de déterminer l’expression du champ électrique en un point M quelconque de l’espace, appliquons le théorème de Gauss en utilisant la surface de Gauss (Σ) représentée sur la figure ci-dessous, c’est à dire un cylindre de hauteur h d’axe (Oz), de rayon r, et passant par le point M . Le théorème de Gauss s’écrit : {− → Qint → − E · dS = E0 Σ Le champ électrique étant radial, les flux à travers les faces perpendiculaires à l’axe z sont nuls. De plus, le champ ne dépendant que de r, le champ est constant sur toute la surface latérale de surface 2πrh. Par ailleurs, la charge intérieure à (Σ) s’écrit : Qint = λh, d’où : 2πrhE(r) = − → Finalement, on obtient : E = λh E0 soit E(r) = λ 2πE0 r λ − → ur . 2πε0 r −−→ − 3. Le potentiel électrique est défini par la relation : → e = −grad V . On en déduit dans le cas de l’exercice : λ ∂V =− 2πε0 r ∂r 1 ∂V =0 r ∂θ ∂V =0 soit V =− λ ln(r) + cste 2πE0 ∂z En posant arbitrairement V (M ) = 0 en r = d (on rappelle que le potentiel est défini à une constante près, et le choix d’un potentiel nul en r = 0 ou r → ∞ est impossible ici), on obtient : λ d V (r) = ln 2πε0 r PSI 2 2010-2011