Exercice type Enoncé 1 Champ créé par un fil chargé ∼ Corrigé 2

Exercice type
Enoncé
1 Champ créé par un fil chargé
On considère un fil infini uniformément chargé avec une densité linéique
de charge λ. On s’intéresse au calcul du champ créé en tout point M de
l’espace.
1. Montrer que le champ est de la forme ~ E(M) = E(r)~ur.
2. Déterminer l’expression de E(r).
3. Déterminer le potentiel électrostatique créé par le fil.
z
r
M
∼
Corrigé
2 Champ créé par un fil chargé
1. Dans le cas général, le champ électrique est donné par :
−→
E(r, θ, z) = Er(r, θ, z)−→ ur+Eθ(r, θ, z)−→ uθ+Ez(r, θ, z)−→ uz
•Symétries :
Tout plan passant par M et contenant le fil est plan de symétrie de la distribution de
charge. Le vecteur −→ Eétant un vecteur vrai, il doit appartenir à tous ces plans de symétrie,
qui sont définis par (M, −→ ur,−→ uz. On en déduit que ~ E(M)n’est pas suivant ~uθ, et donc :
−→
E(r, θ, z) = Er(r, θ, z)−→ ur+Eθ(r, θ, z)−→ uθ
////////////////// +Ez(r, θ, z)−→
uz
De plus, tout plan passant par M, perpendiculaire au fil est plan de symétrie de la dis-
tribution de charge. Le champ électrique doit appartenir aux plans de symétrie, et on en
déduit que ~ E(M)n’est pas suivant ~uz:
−→
E(r, θ, z) = Er(r, θ, z)−→ ur+Eθ(r, θ, z)−→ uθ
////////////////// +Ez(r, θ, z)−→
uz
///////////////////
•Invariances :
La distribution de charge est invariante par rotation de θautour du fil, et par translation
de zle long du fil. ~ E(M)ne dépend donc ni de θ, ni de z:
−→
E(r, θ, z) = Er(r, θ, z
////)−→
ur+Eθ(r, θ, z)−→ uθ
////////////////// +Ez(r, θ, z)−→
uz
///////////////////
Finalement, on en déduit que :
−→
E(M) = E(r)−→ ur
PSI 12010-2011

Exercice type
z
O
r
h
M
Σ
2. Afin de déterminer l’expression du champ électrique en un point Mquelconque de l’espace,
appliquons le théorème de Gauss en utilisant la surface de Gauss (Σ) représentée sur la
figure ci-dessous, c’est à dire un cylindre de hauteur hd’axe (Oz), de rayon r, et passant
par le point M.
Le théorème de Gauss s’écrit :
{
Σ
−→
E·−→ dS =Qint
E0
Le champ électrique étant radial, les flux à travers les faces perpendiculaires à l’axe zsont
nuls. De plus, le champ ne dépendant que de r, le champ est constant sur toute la surface
latérale de surface 2πrh.
Par ailleurs, la charge intérieure à (Σ) s’écrit : Qint =λh, d’où :
2πrhE(r) = λh
E0
soit E(r) = λ
2πE0r
Finalement, on obtient : −→ E=λ
2πε0r
−→
ur.
3. Le potentiel électrique est défini par la relation : −→ e=−−−→ grad V . On en déduit dans le cas
de l’exercice :
∂V
∂r =−λ 2πε0r
1
r
∂V
∂θ = 0
∂V
∂z = 0
soit V=−λ
2πE0
ln(r) + cste
En posant arbitrairement V(M) = 0 en r=d(on rappelle que le potentiel est défini à une
constante près, et le choix d’un potentiel nul en r= 0 ou r→ ∞ est impossible ici), on
obtient :
V(r) = λ
2πε0
ln d
r
PSI 22010-2011