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Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof . R.Tadili
1ère partie
Chapitre II
Champ électrostatique dans le vide
I. Définition
On dit qu’en une région de l’espace existe un champ électrostatique
r
E
si une
charge électrique q placée en un point de cette région est soumise à une force
r
r
r
F
F = q×E → E =
q
r
r
Si q > 0 E et F ont même direction et même
r r
sens, si q < 0
E
et
F ont même direction et
de sens opposés.
II. Champ électrostatique crée par des charges ponctuelles
E
M
II.1 Champ crée par une charge ponctuelle
r
r
E.
Une charge q placé en A crée un champ
Plaçons en M
r une charge q’. Elle est soumise
à une force F :
A
q
r
r
1 q r
1 qq' r
E=
u
u = q' E
d’où :
champ crée en M par q
4πε0 r ²
4πε 0 r ²
r
r
q < 0 E dirigé vers q, q > 0 E s’éloigne de q
r
si r Æ ∞ , E Æ 0, si r Æ 0, la charge n’est plus considérer ponctuelle.
r
F=
II.2 Champ crée par plusieurs charges ponctuelles
r
Chaque charge qi placée en Ai, crée en M un champ E i :
avec ri = AiM. Le champ résultant en M sera:
r
E=
r
r
∑Ei → E =
i
1
4πε0
∑
i
qi
ri2
r
ui
r
Ei =
1 qi r
ui
4πε 0 ri ²
III. Champ électrostatique crée par une distribution de charges
Pour calculer le champ crée par une distribution de charges, on se ramène au
calcul du champ crée par des charges ponctuelles en considérant des charges
élémentaires dq.
III.1 Cas d’une distribution de charges linéïque
r
dE =
Un élément de longueur dl en A porte
la charge dq = λ.dl assimilable à une
charge ponctuelle. dq crée en M un champ :
Le champ crée en M par toutes les charges du fil sera :
III.2 Cas d’une distribution de charges surfacique
L’élément de charge dq crée en M un champ :
Le champ crée par toutes les charges
de la surface sera :
r
E =
λ.dl r
u
r²
r
λ.dl r
E = 4 πε1
u
r²
c
1
4 πε 0
0
r
dE =
1
4πε0
∫
σ ×ds
1
r2
4πε0
∫∫
s
σ ×ds
r2
r
u
r
u
III.3 Cas d’une distribution de charges volumique
De même, dans ce cas le champ crée par toutes
les charges répartis dans le volume V, sera :
Remarque :
•
o
r
Méthodologie de calcul de E :
r
E =
1
4πε0
∫∫∫
v
ρ×dv
r2
décomposer la distribution en éléments de distribution ponctuels".
o
calculer
o
Calculer
r
En fait E
.
r
r
E = ∫ dE
est défini par ses 3 composantes qu'il faut calculer séparément. plutôt
r
que de calculer les 3 composantes de E , il peut être plus facile de rechercher la
r
direction de E puis de calculer simplement son module ; ceci est possible du
r
fait que le champ E "a la symétrie" de la distribution de charge.
r
u
IV. Lignes et tube de champ
- Lignes de champ : Une ligne de champ est une courbe tangente au champ
électrostatique.
Equation des lignes de champ : si dl est un élément d’une ligne de champ, on a :
r r
r r
r
d l // E → E ∧ d l = 0 , cette équation permet d’obtenir les lignes de champ.
- Tube de champ : La surface formée par l’ensemble des lignes de champ
s’appuyant sur un contour fermé s’appelle tube de champ.
V. Théorème de Gauss
V.1 Flux du champ électrique.
Considérons un élément de surface dS traversé par un champ
. Par
définition le flux élémentaire est donné par :
r
dφ = E. dS = E. ndS
•
A travers la surface entière S :
r
r
φ = ∫∫ E . dS
S
V.2 Flux du champ E créé par une charge ponctuelle
V.2.1 à travers un élément de surface
r r rr
dφ = E.dS = E.ndS = E × dS × cos θ
dφ =
q
4 πε 0
dS×cos θ
r²
dS×cosθ
Par définition,
est l’angle solide dΩ sous lequel, depuis le point O, on
r²
voit la surface dS. D’où :
dφ =
q
4πε 0
dΩ
Remarque :
r
- Si dS appartient à une
r surface S fermé, n est orienté vers l’extérieur de la
surface S, le flux de E est appelé flux sortant.
dφ = −
r
- Si n est orienté en sens inverse, nous aurions
q
dΩ
4πε0
V.2.2 Flux du champ E à travers une surface fermée
•
Cas ou la charge q est à l’intérieur à la surface
r
Comme la surface est fermée, n est orienté vers l’extérieur, et le flux
r
de E crée par la charge q placé en O est un flux sortant. On a :
φ =
dφ =
4πε0
∫∫dφ =
∫∫
S
dΩ
q
q
4πε0
φ=
q
4 πε 0
Ω =
q
ε0
Cas où la charge q est à l’extérieure de la surface
La charge q est à l'extérieur de la
surface fermée S. Le même angle solide
d Ω de sommet O, découpe sur S deux
éléments de surface dS et dS' , dont les
normales, toutes deux orientées vers
l'extérieur de la surface fermée S, sont
q
4πε0
Ω
S
Ω est l’angle solide, sous lequel de O, on voit la surface S.
d’où :
dΩ =
Ω = 4π stéradians
dφ '
D'où :
dφ = −
q
4πε0
Le flux total du champ
dΩ
et
dφ ' =
q
4πε0
dΩ
dû à q en O est : dØ + dØ' = O
Pour l'ensemble des couples d'éléments associés (dS, dS') constituant la surface
S on a des flux élémentaires qui s’annulent deux à deux. Donc, au total, le flux de
à travers S est nul.
Résultat : Enoncé du théorème de Gauss
Considérons un ensemble de charges (ponctuelles ou non ) et une surface fermée
S. Les charges qext, situées à l’extérieur de S, créent un champ électrostatique
dont le flux à travers S est nul. Les charges qint, à l’intérieur de S, créent un
champ dont le flux est égal à
q int
.
ε0
D’une manière générale, on écrit :
Application du théorème de Gauss
φ =
∫∫
S fermée
r
E
r ∑qint
r
E . dS = ε
0
Le théorème de Gauss permet le calcul du champ
plus rapidement que la
méthode directe. Pour cela Il faut :
- déterminer la symétrie de la distribution de charge,
- choisir une surface fermée,
- calculer le flux à travers la surface fermée,
r
- appliquer le théorème de Gauss et en déduire le champ E .
V.3 Expression locale du théorème de Gauss
Pour une distribution volumique de charge contenue dans un volume V, et ayant
une densité volumique ρ le théorème de Gauss devient :
r
r r
r
φ( E ) = ∫∫
E.dS = ∫∫∫
div ( E )dv
- Flux de :
Green Ostrogradsky,
- Somme des charges :
∑q
int
= ∫∫∫
ρ.dv
r
r r
q int
∑
devient
φ(E) = ∫∫
E.dS =
ε0
On en déduit :
d’après le théorème de
r
ρ
∫∫∫
div(E)dv = ∫∫∫dv
ε0
r
ρ
div(E ) =
ε0
VI. Symétries de distributions de charges : Règles de symétrie
Symétrie plane Une distribution est symétrique par rapport à un plan P, si pour
deux points M et M’ symétriques par rapport à P, la densité de charge
vérifie : ρ ( M )
= ρ( M ' ) .
Dans ce cas le champ électrostatique
r
E
est parallèle au plan P.
Antisymétrie plane Une distribution est antisymétrique par rapport à un plan P, si
pour deux points M et M’ symétriques par rapport à P, la densité de charge
vérifie : ρ( M )
= − ρ( M ' ) .
Dans ce cas le champ électrostatique
r
E
est perpendiculaire au plan P.
Invariance par translation Si la distribution de charge est
invariante dans toute
r
translation parallèle à Oz alors le champ électrostatique E ne dépend pas de z (il
dépend des autres coordonnées).
Exemples :
- Champ créé par un fil infini d’axe Oz,
- Champ créé par un cylindre infini d’axe Oz
Invariance par rotation Si la distribution de charge est invariante dans toute
r
E
ne dépend pas de θ. L’axe Oz est un
rotation θ autour de Oz alors le champ
axe de symétrie
(axe de révolution).Tout plan contenant cet axe est un plan de
r
symétrie. E est porté par l’axe de symétrie.
Symétrie cylindrique Dans une symétrie cylindrique, la distribution de charges
est invariante dans toute translation parallèle à Oz et dans toute rotation θ autour
de Oz.
r
E
En coordonnées cylindriques
(ρ,θ,z) le champ électrostatique
est parallèle à
r
r
r
e ρ ne dépend que de ρ : E = E(ρ)e ρ
Symétrie sphérique
La distribution de charges a symétrie sphérique est invariante par rotation autour
de tous les axes passant par un point O de la distribution : O est alors un centre
de symétrie.
r
E est radial et ne
En coordonnées sphériques
(r,θ,ϕ),
le
champ
électrostatique
r
r
dépend que de r : E = E(r )e r
Remarque : Le centre de symétrie O est l’intersection de tous les plans de
r
symétrie : le champ E est nul en O.
Exemples d’application du théorème de Gauss
r
Exemple 1: Calcul de E créé par une sphère chargée, en un point M.
dS
E
- Etude de la symétrie : une sphère chargée uniformément
r
E
présente une symétrie sphérique, est radial est ne dépend
M
que de r.
- Choix de la surface de Gauss : On choisit la surface
O
S
R
r
d’une sphère de centre O et de rayon r = OM .
r
r r
φ
(
E
)
=
E
- Calcul du flux :
∫∫ .dS = ∫∫ E.dS = E ∫∫ dS = E.S = E.4πr ²
S
S
s
r
∑ qi
φ
(
E
)
=
E
.
4
π
r
²
=
- Théorème de Gauss :
ε0
1er cas : r < R
∑ qi
4
= ρ. πr 3
3
r ρ.r r
→ E=
er
3ε 0
E
r
ρR
3ε
r
4
Q r
3
ème
q
.
R
Q
E
er
=
ρ
π
=
→
=
∑
i
2
cas : r > R
3
4πε 0 r ²
R
r
de la surface de la sphère
Remarque : le champ est continu àr la traversée
r
−
chargée en volume : E(r = R ) = E(r = R + ) .
r
Exemple 2: Calcul de E créé par une couche de charges comprise entre
deux sphères concentriques.
dS
E
M
- La distribution présente la symétrie sphérique
O
R
2
R
1
S
r
E est radial est ne dépend que de r.
- Surface de Gauss : On choisit
la surface S de la sphère de
r
centre O et de rayon r = OM .
r
r r
φ
(
E
)
=
E
- Calcul du flux :
∫∫ .dS = ∫∫ E.dS = E ∫∫ dS = E.S = E.4πr ²
S
S
s
r
φ(E) = E.4πr ² =
- Théorème de Gauss :
1er cas : r < R1
2
ème
∑ qi
ε0
r r
∑q = 0 → E = 0
i
4
3
cas : r > R2 ∑q i = ρ. π ( R 2
3
3ème cas : R1 < r < R2
r
R1 ) = Q E =
3
4
∑q = ρ. π ( r 3
i
3
ρ(R 2 3 R 1 3 ) r
Q r
e =
er
4 πε 0 r ² r
3ε 0 r ²
r ρ( r 3 R 1 3 ) r
R1 ) → E =
er
3ε 0 r ²
3
r
en R1 et en R2 il y’a continuité du champ E .
Remarque :
Si on néglige l’épaisseur de la couche de charges, elle devient chargée en
surface :
E
r
R 2 R1 → 0 , R 2 ≈ R1 = R
r r
r
Q r
pour r < R → E = 0 , pour r > R → E =
e
ρR
4πε 0 r ² r
3ε
r
E présente une discontinuité qui vient
Dans ce cas
du fait que l’on néglige l’épaisseur de la couche.
R
1
Exemple 3: Calcul de
Exemple 4: Calcul de
Exemple 5: Calcul de
R
2
r
E créé par une sphère chargée en surface.
r
E créé par un cylindre infini chargé en volume.
r
E créé par un plan chargé de dimensions infinies.
r