Correction D` Examen Mécanique Rationnelle 2015/2016

Université H.B.B. – Chlef
Faculté de Génie Civil et d’Architecture
Département de Génie Civil
M écanique
R ationnelle
Mécanique Rationnelle
S3 _ Génie Civil et TP
Solution de l’examen de Rattrapage
Année Universitaire 2015/ 2016
EXERCICE N°1-1 : (5 POINTS)
Solution:
Figure 1.a
Figure 1.b
Le corps solide est la poutre ABC en acier,
Les liaisons sont : l’appui double en A et l’appui
simple en B,
Le système de forces est plan.
On supprime les liaisons dans la Figure 2.a, et on
les remplace par les réactions qui leurs correspondent dans
la Figure 2.b. D'après l'axiome des liaisons, la poutre
devient libre sous l'action du système de forces en plan.
Pour la détermination des réactions RAy, RAx et
RBy, on écrit la condition d’équilibre statique du corps
solide qui est le torseur des forces extérieures en A nul, où
bien la projection de ces éléments sur les axes est nulle:
0F
n
1i ix 
, 0F
n
1i iy 
, 0)F(M
n
1i i
A
0F
n
1i ix 
0
Ax
R(1)
0F
n
1i iy 
0
2
3 ql
RqlR ByAy (2)
0)F(M
n
1i i
A
04
2
3
2
3
3 lx
ql
lxR
l
xql By (3)
La solution des équations d'équilibres (1), (2) et (3) donne :
RAx = 0, RAy = 4ql/3 = 1,33ql, RBy =13ql/6=
2,17ql
EXERCICE N°1-2 : (5 POINTS)
Soit l’arc AB en béton armé, de rayon R, représenté dans la
Figure 2.
Figure 2.a
Figure 2.b
Solution:
-Le corps solide est le portique ABC en béton armé,
-Les liaisons est l’encastrement en point C,
-Le système de forces est plan.
-On supprime les liaisons dans la Figure 2.a, et on les
remplace par les réactions qui leurs correspondent dans la
Figure 2.b. D'après l'axiome des liaisons, le portique ABC
devient libre sous l'action du système de forces en plan.
-Pour la détermination des réactions RCy, RCx et MC, on
écrit la condition d’équilibre statique du corps solide qui
est le torseur des forces extérieures en C nul, où bien la
projection de ces éléments sur les axes est nulle:
0F
n
1i ix 
, 0F
n
1i iy 
, 0
1
n
ii
C)F(M
0F
n
1i ix 
060 cosFFRCx (1)
0F
n
1i iy 
060 sinFRR ByAy (2)
0
1
n
ii
C)F(M
0602603 xlcosFlxsinF/FxlMC(3)
La solution des équations d'équilibres (1), (2) et (3) donne :
RCx = - 0,5 F, RCy = 0.87 F, MC= 1,57Fl
y
+M
x
P = q
l
/2
q
3l C
A
B
l
P = q
l
/2
q
3l C
A
B
l
RBy
RAy
R
Ax
F
A
B
l
/3
F
2l
C
60°
2
l
/3
60°
F
A
B
l
/3
F
2l
C
2
l
/3
RCy
R
C
x
MC

EXERCICE N°2 : (10 POINTS)
Un point matériel M mobile par rapport au repère
R (O, z,y,x ) orthonormé, direct et mobile, par
rapport au repère fixe R1(O, 1
1
1z,y,x )
Figure 3
Solution :
Les données du problème sont :
Le repère R (O, z,y,x ) mobile (Repère relatif)
Le repère R1(O1, 1
1
1z,y,x ) fixe (Repère absolu)
Le vecteur de position d'entraînement de Oà O1:
L'angle de rotation de R/R1
)tetancons()x,y(  
1
Le vecteur taux de rotation de R/R0, 0
R/R
:
Le point matériel M défini par les coordonnées :
x = t, y = tet, z = 0 (cm)
Le vecteur de position relatif du point M s’écrit :
1-le vecteur de la position relative du point M
dans le repère mobile.
zytexzzyyxxOM t00 
Le vecteur de position absolu du point M est :
OMOOMO  11
2-Le vecteur taux de rotation de R/R1, 1
R/R
:
11
1zz
dt
d
R/R 
3- l’expression analytique du vecteur vitesse
absolue du point M,
Le vecteur vitesse absolue du point M dans le
repère R s’écrit :
dt
OMd
dt
OOd
dt
MOd
V)M(V RRR
R/MA
111
1
11 
La dérivée du vecteur mobile OM par rapport à
un repère fixe est :
OMVOM
dt
OMd
dt
OMd R/M
R
R
1
1
11R/O
RV
dt
OOd 
Donc, la formule du vecteur vitesse absolue du
point M, s'exprime :
OMVV
dt
MOd
V)M(V R/OR/M
R
R/MA  1
1
1
1
Avec
dt
OMd
VR
R/M : la vitesse relative du point M
OMV)M(V R/Oe  1: le vecteur vitesse
d'entraînement
dt
OOd
VR
R/O 1
1
1est la vitesse du point O par
rapport à R1.
4-On déduire les vecteurs vitesses relative,
d’entrainement et absolue du point M dans le
repère mobile.
Le vecteur vitesse relative du point M s’écrit :
sec)/cm(ye)t(
dt
OMd
Vt
R
R/M  1
le vecteur vitesses d’entrainement :
0
1
1
1
dt
OOd
VR
R/O O1Coïncide avec O
sec)/cm(xte)yte(zOM tt  
1
D'où :
sec)/cm(xte)M(V t
e 
Par conséquent, le vecteur vitesse absolue du
point M par rapport à R1est :
sec)/cm(ye)t(xteV)M(V tt
R/MA  1
1
- l’expression analytique du vecteur accélération
absolue du point M,
Le vecteur accélération absolue du point M par
rapport au repère fixe R1, s’écrit :
dt
OMVVd
dt
Vd
dt
MOd
a)M(a R/OR/M
R
R/M
RR
R/MA 
 1
1
1
11
121
2
x
O
y1
y
1
x
z
x
y
+

dt
OMd
OM
dt
d
dt
Vd
dt
Vd
)M(a RR
R/O
R
R/M
R
A
11
1
1
1
1
(1)
On applique la dérivation d'un vecteur mobile par
rapport à un repère fixe à la dérivée des vecteurs
mobiles OM et R/M
Vpar rapport au repère fixe
R0 :
OMV
dt
OMd R/M
R
1
R/M
R/M
R
R/M
RV
dt
Vd
dt
Vd 
1
Où :
R/MR/M
R/M
RVa
dt
Vd 
1
Avec :
dt
Vd
aR/M
R
R/M le vecteur accélération relative,
On remplace ces développements dans
l’expression (1), on obtient l’expresse du vecteur
accélération absolue :
OMOM
dt
d
aVaa)M(a R
R/OR/MR/MR/MA 
1
11 2
-On déduire les vecteurs accélérations relative,
complémentaire (Coriolis), d’entrainement et
absolue du point M dans le repère mobile.
Le vecteur accélération relative du point M, est :
)sec/cm(ye)t(
dt
Vd
a)M(a t
R/M
R
R/Mr 2
2
Le vecteur accélération complémentaire
(Coriolis) :
)ye)t((zV)M(a t
R/MC  122 1
xe)t()M(a t
C 12 
Le vecteur accélération d'entraînement :
OMOM
dt
d
a)M(a 1
1
R
R/Oe 
Avec
)sec/cm(
dt
Vd
aR/O
R
R/O 2
0
1
1
1
)tetancons(0OM
dt
d1
R
)sec/cm(yteOM t22
Donc, le vecteur accélération d'entraînement
s'écrit :
)sec/cm(yteOM)M(a t
e22
2 
Enfin, le vecteur accélération absolue du point M
est :
sec
/cm(ye)t)((xe)t(a)M(a tt
R/MA 2
1212  
(1)
OMOM
dt
d
aVaa)M(a R
R/OR/MR/MR/MA 
1
11 2