Correction D` Examen Mécanique Rationnelle 2015/2016

Université H.B.B. – Chlef
Mécanique Rationnelle
Mécanique
Rationnelle
Faculté de Génie Civil et d’Architecture
Département de Génie Civil
S3 _ Génie Civil et TP
Solution de l’examen de Rattrapage
Année Universitaire
2015/ 2016
EXERCICE N°1-1 : (5 POINTS)
F
Solution:
60°
B
P = ql/2
q
A
2l/3
F
C
B l
3l
A
l/3
C
Figure 1.a
2l
P = ql/2
q
F
RAx
A
RAy
RBy
3l
B
C
B
l
2l/3
F
Figure 1.b
n
n
i 1
n
F
i 1
ix
0
n
F
i 1
n
M
i 1
A
iy
ix
0,
F
i 1
iy
0,
n
M
i 1
A
(F i )  0
 R Ax  0 (1)
 0  R Ay 3ql  R By 
(F i )  0
y
M

Le corps solide est la poutre ABC en acier,

Les liaisons sont : l’appui double en A et l’appui
simple en B,

Le système de forces est plan.

On supprime les liaisons dans la Figure 2.a, et on
les remplace par les réactions qui leurs correspondent dans
la Figure 2.b. D'après l'axiome des liaisons, la poutre
devient libre sous l'action du système de forces en plan.

Pour la détermination des réactions RAy, RAx et
RBy, on écrit la condition d’équilibre statique du corps
solide qui est le torseur des forces extérieures en A nul, où
bien la projection de ces éléments sur les axes est nulle:
F
60°
A
Figure 2.a
ql
 0 (2)
2
3l
ql
  3ql x  R By x3l  x 4l  0 (3)
2
2
La solution des équations d'équilibres (1), (2) et (3) donne :
EXERCICE N°1-2 : (5 POINTS)
Soit l’arc AB en béton armé, de rayon R, représenté dans la
Figure 2.
C
RC x
x
2l
MC
RCy
Figure 2.b
Solution:
-Le corps solide est le portique ABC en béton armé,
-Les liaisons est l’encastrement en point C,
-Le système de forces est plan.
-On supprime les liaisons dans la Figure 2.a, et on les
remplace par les réactions qui leurs correspondent dans la
Figure 2.b. D'après l'axiome des liaisons, le portique ABC
devient libre sous l'action du système de forces en plan.
-Pour la détermination des réactions RCy, RCx et MC, on
écrit la condition d’équilibre statique du corps solide qui
est le torseur des forces extérieures en C nul, où bien la
projection de ces éléments sur les axes est nulle:
n
F
i 1
n
F
i 1
n
ix
F
i 1
RAx = 0, RAy = 4ql/3 = 1,33ql, RBy =13ql/6=
2,17ql
+
l/3
0
iy
0
ix
0,
n
F
i 1
iy
0,
n
 M C (F i )  0
i 1
 R Cx  F  F cos 60  0
(1)
 R Ay  R By  F sin 60  0 (2)
n
 M C (F i )  0
i 1
 M C  Fxl / 3  F sin 60 x 2l  F cos 60 xl  0 (3)
La solution des équations d'équilibres (1), (2) et (3) donne :
RCx = - 0,5 F,
RCy = 0.87 F,
MC = 1,57Fl
EXERCICE N°2 : (10 POINTS)
Un point matériel M mobile par rapport au repère
R (O, x , y , z ) orthonormé, direct et mobile, par
rapport au repère fixe R1(O, x1 , y1 , z1 )
y
La dérivée du vecteur mobile OM par rapport à
un repère fixe est :
d R 1 OM
dt
d R 1 O1O
y1
x
z
dt

+

d R OM
dt
 V O / R1
Donc, la formule du vecteur vitesse absolue du
point M, s'exprime :
y
O
x
x1
   OM  V M / R    OM
d R 1 O1M
V A (M )  V M / R 1 
dt
 V M / R  V O / R 1    OM
Avec
Figure 3
Solution :
VM / R 
Les données du problème sont :
Le repère R (O, x , y , z ) mobile (Repère relatif)
d R OM
: la vitesse relative du point M
dt
V e ( M )  V O / R 1    OM
:
le
vecteur
vitesse
d'entraînement
Le repère R1(O1, x1 , y 1 , z1 ) fixe (Repère absolu)
V O / R1 
d R 1 O1O
est la vitesse du point O par
dt
Le vecteur de position d'entraînement de O à O1:
rapport à R1.
L'angle
4-On déduire les vecteurs vitesses relative,
d’entrainement et absolue du point M dans le
repère mobile.
de
rotation
de
R/R1
( y 1 , x )   (  cons tan te )
Le vecteur taux de rotation de R/R0,  R / R 0 :
Le vecteur vitesse relative du point M s’écrit :
Le point matériel M défini par les coordonnées :
VM / R 
t
x = t, y = te , z = 0 (cm)
Le vecteur de position relatif du point M s’écrit :
1-le vecteur de la position relative du point M
dans le repère mobile.
OM  x x  y y  z z  0 x  te t y  0 z
O1M  O1O  OM
dt
 (1  t )e t y (cm / sec)
le vecteur vitesses d’entrainement :
V O / R1 
d R 1 O1O
dt
 0 O1 Coïncide avec O
D'où :
 te t x
V e (M )   
2-Le vecteur taux de rotation de R/R1,  R / R1 :
d
dt
  OM   z1  (te t y )    te t x (cm / sec)
Le vecteur de position absolu du point M est :
 R / R1   
d R OM
z1   z1
(cm / sec)
Par conséquent, le vecteur vitesse absolue du
point M par rapport à R1 est :
V A (M )  V M / R1    te t x  (1  t )e t y (cm / sec)
3- l’expression analytique du vecteur vitesse
absolue du point M,
- l’expression analytique du vecteur accélération
absolue du point M,
Le vecteur vitesse absolue du point M dans le
repère R s’écrit :
Le vecteur accélération absolue du point M par
rapport au repère fixe R1, s’écrit :
V A (M )  V M / R 1 
d R 1 O1M
dt

d R 1 O1O
dt

d R 1 OM
dt
a A (M)  a M / R1 
d 2 R1 O1M
dt
2

d R1 V M / R1
dt


d R1 V M / R  V O / R1    OM
dt

a A (M ) 
d R1 V M / R1
dt
d R1 V O / R1

dt

d R1 
dt
 OM   
d R1 OM
d R1 
 OM  0
dt
dt

(1)
dt
dt
dR VM / R


d
(cm / sec 2 )
Enfin, le vecteur accélération absolue du point M
est
:
Où :
R1

a e (M )      OM   2 2 te t y
   VM / R
dt
(cm / sec 2 )
Donc, le vecteur accélération d'entraînement
s'écrit :
 V M / R    OM
d R1 V M / R

    OM    2 te t y
On applique la dérivation d'un vecteur mobile par
rapport à un repère fixe à la dérivée des vecteurs
mobiles OM et V M / R par rapport au repère fixe
R0 :
d R 1 OM
(  cons tan te )
a A (M )  a M / R   2 (1  t )e t x  ( 2  (1   2 )t )e t y (cm / s
VM / R
dt
 aM / R    V M / R
Avec :
aM / R 
dR VM / R
le vecteur accélération relative,
dt
(1)

On remplace ces développements dans
l’expression (1), on obtient l’expresse du vecteur
accélération absolue :


a A (M)  a M / R1  a M / R  2   V M / R  a O / R1 
d R1 
dt

 OM      OM

-On déduire les vecteurs accélérations relative,
complémentaire (Coriolis), d’entrainement et
absolue du point M dans le repère mobile.
Le vecteur accélération relative du point M, est :
a r (M )  a M / R 
Le
vecteur
(Coriolis) :
dR VM / R
dt
 (2  t )e t y (cm / sec 2 )
accélération

complémentaire
 
a C (M )  2   V M / R  2  z1  ( (1  t )e t y )
a C (M )   2 (1  t )e t x
Le vecteur accélération d'entraînement :
a e (M )  a O / R1 

d R1 
 OM      OM
dt
Avec
aO / R1 
d R1 V O / R1
dt
 0 (cm / sec2 )


a A (M)  a M / R1  a M / R  2   V M / R  a O / R1 

d R1 
dt


 OM      OM