Relation entre loi binomiale et loi normale centrée réduite Exercices

Loi binomiale et approche de la loi normale centrée réduite – Probabilités / Lois normales – Exercices corrigés
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Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
 Exercice 1 : reconnaitre la loi binomiale
 Exercice 2 : calculer la probabilité d’un événement avec la loi binomiale
 Exercice 3 : effectuer un changement de variable pour calculer l’espérance et la variance d’une variable
 Exercice 4 : passer d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale à une variable aléatoire suivant la
loi normale centrée réduite (théorème de De Moivre – Laplace)
 Exercice 5 : calculer la probabilité d’un événement avec la loi normale centrée réduite
 Exercice 6 : établir quelques propriétés de la loi normale centrée réduite
 Exercice 7 : calculer un seuil
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Relation entre loi binomiale et loi normale centrée réduite
Exercices corrigés

Loi binomiale et approche de la loi normale centrée réduite – Probabilités / Lois normales – Exercices corrigés
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On lance 10 fois de suite un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On associe à la
variable aléatoire  le nombre d’occurrences du chiffre 3.
1) Préciser la loi suivie par la variable aléatoire .
2) Calculer l’espérance puis l’écart-type de .
1) Montrons que la loi suivie par la variable aléatoire  est la loi binomiale.
Rappel : Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès
(notée ) et l’autre appelée échec (notée  ou plus communément ).
Le lancer d’un dé peut être modélisé par une épreuve de Bernoulli ayant pour succès  l’événement « la face du
dé est le chiffre 3 », de probabilité , et pour échec  l’événement « la face du dé n’est pas le chiffre 3 », de
probabilité . Comme le dé est équilibré, chaque face est équiprobable. De plus, le dé étant cubique, à
chaque lancer correspondent 6 issues, dont 1 seule favorable à la réalisation de l’événement , si bien que
.
Rappel : Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli d’ordre  est une répétition de  épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On lance 10 fois de suite ce dé donc il y a répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Autrement dit, l’expérience décrite est un schéma de Bernoulli d’ordre .
Rappel : Loi binomiale de paramètres  et 
Soit un schéma de Bernoulli d’ordre , répétition de  épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de
même paramètre , et soit  la variable aléatoire qui associe à cette répétition de  épreuves le nombre de
succès. La loi de probabilité de  est alors appelée loi binomiale de paramètres  et  et est notée .
La variable aléatoire  prend pour valeur le nombre d’occurrences du chiffre 3, c’est-à-dire comptabilise le
nombre de succès.  suit donc la loi binomiale de paramètres  et 
.
On note alors 
.
Exercice corrigé 1 (3 questions) Niveau : facile
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2) Calculons l’espérance, la variance puis l’écart-type de .
Rappel : Espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale
Si  est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres  et , alors l’espérance de , notée ,
est donnée par .
Comme  suit la loi binomiale de paramètres  et 
, l’espérance deest égale à  .
Rappel : Variance et écart-type d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale
Si  est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres  et , alors la variance de , notée ,
est donnée par . L’écart-type de , noté  est la racine carrée de la variance de  ; elle
est donc donnée par .
Il vient en outre que la variance de  est égale à 
. Enfin, comme l’écart-type
est la racine carrée de la variance, il s’ensuit que l’écart-type de  est égal à 
, c’est-à-dire à  .

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Une variable aléatoire  suit la loi binomiale de paramètres  et .
1) Afficher avec un tableur la loi de probabilité de .
2) Donner la probabilité de l’évènement  proposée par le tableur et affichée par une calculatrice.
3) Donner la probabilité de l’évènement  proposée par le tableur et affichée par une calculatrice.
1) Utilisons le tableur Excel pour afficher la loi de probabilité de la variable aléatoire .
A
B
C
D
E
F
G
H
1
0
1
2
3
4
5
6
2
0,046656
0,186624
0,31104
0,27648
0,13824
0,036864
0,004096
Dans la cellule B2 (en jaune dans le tableau ci-dessus), la formule « =LOI.BINOMIALE(B1;;0,4;FAUX) » a
été renseignée.
Dans cette formule,
 « B1 » correspond au nombre de succès indiqués dans la cellule B1, à savoir 0 succès
 «  » correspond au nombre de tirages dans des conditions identiques et indépendantes, à savoir au
paramètre 
 « 0,4 » correspond à la probabilité du succès, à savoir au paramètre 
 « FAUX » permet de ne pas afficher les probabilités cumulées croissantes
Cette formule a été copiée puis collée de la cellule C2 à la cellule H2, si bien que dans la cellule H2 est
renseignée la formule « =LOI.BINOMIALE(H1;6;0,4;FAUX) ».
Remarque : Les valeurs données par le tableur sont des valeurs arrondies.
2) D’après le tableur, . Retrouvons ce résultat en utilisant une calculatrice.
Si une variable  suit la loi binomiale , pour calculer , il convient d’effectuer les
manipulations suivantes :
 Avec une calculatrice Casio (Casio Graph 35+, Graph 65 +, Graph 75, Graph 85…):
MENU 2 pour accéder au menu STAT (statistiques)
F5 pour accéder à DIST (distribution)
F5 pour accéder à BINM (binomiale)
F1 pour accéder à Bpd (binomial probability distribution)
Exercice corrigé 2 (3 questions) Niveau : facile
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Renseigner les différents champs :
 Data : Variable
 x : 5
 Numtrial : 6
 p : 0,4
EXE pour exécuter la commande
La calculatrice affiche : « p=0.036864 », résultat également obtenu avec le tableur.
 Avec une calculatrice Texas Instruments (TI 82, TI 83 Stats, TI 84 Plus…) :
2nde VARS pour accéder à distrib (distribution)
sélectionner « A :binomFdp( » (binomiale Fonction de probabilité) (ou sélectionner « A :binompdf » si la
calculatrice est en anglais) puis valider par ENTER
compléter par les informations « 6, 0.4, 5 » pour renseigner successivement le nombre d’essais , la probabilité
 de succès et la valeur de , puis valider par ENTER
L’affichage de la calculatrice confirme le résultat donné dans le tableur.
3) Le tableur ne donne pas directement le résultat de . Deux méthodes s’offrent toutefois à nous.
La première méthode consiste à exploiter le tableur en additionnant les probabilités contenues dans les cellules
B2, C2, D2 et E2. En effet,   . Cette méthode
conduit au résultat .
La seconde méthode consiste à modifier quelque peu la formule renseignée dans le tableur. En l’occurrence, il
convient de saisir la formule « =LOI.BINOMIALE(B1;6;0,4 ;VRAI) » dans la cellule B2 puis de la copier dans
les cellules C2 à H2, si bien que dans la cellule H2 (par exemple) est renseignée la
formule « =LOI.BINOMIALE(H1;6;0,4 ;VRAI) ». Ainsi, on obtient les probabilités cumulées croissantes.
Dans le tableau ci-dessous, la cellule E2 contient donc la probabilité .
A
B
C
D
E
F
G
H
1
0
1
2
3
4
5
6
2
0,046656
0,23328
0,54432
0,8208
0,95904
0,995904
1
Retrouvons ce résultat en utilisant une calculatrice.
Si une variable  suit la loi binomiale , pour calculer , il convient d’effectuer les
manipulations suivantes :
 Avec une calculatrice Casio :
MENU 2 pour accéder au menu STAT (statistiques)
F5 pour accéder à DIST (distribution)
F5 pour accéder à BINM (binomiale)