Relation entre loi binomiale et loi normale centrée réduite Exercices

Relation entre loi binomiale et loi normale centrée réduite
Exercices corrigés
Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)







Exercice 1 : reconnaitre la loi binomiale
Exercice 2 : calculer la probabilité d’un événement avec la loi binomiale
Exercice 3 : effectuer un changement de variable pour calculer l’espérance et la variance d’une variable
Exercice 4 : passer d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale à une variable aléatoire suivant la
loi normale centrée réduite (théorème de De Moivre – Laplace)
Exercice 5 : calculer la probabilité d’un événement avec la loi normale centrée réduite
Exercice 6 : établir quelques propriétés de la loi normale centrée réduite
Exercice 7 : calculer un seuil
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Loi binomiale et approche de la loi normale centrée réduite – Probabilités / Lois normales – Exercices corrigés
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1
Exercice corrigé 1 (3 questions)
Niveau : facile
On lance 10 fois de suite un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On associe à la
variable aléatoire le nombre d’occurrences du chiffre 3.
1) Préciser la loi suivie par la variable aléatoire .
2) Calculer l’espérance puis l’écart-type de .
Correction de l’exercice 1
Retour au menu
1) Montrons que la loi suivie par la variable aléatoire
est la loi binomiale.
Rappel : Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès
(notée ) et l’autre appelée échec (notée
ou plus communément ).
Le lancer d’un dé peut être modélisé par une épreuve de Bernoulli ayant pour succès
l’événement « la face du
dé est le chiffre 3 », de probabilité , et pour échec l’événement « la face du dé n’est pas le chiffre 3 », de
probabilité
. Comme le dé est équilibré, chaque face est équiprobable. De plus, le dé étant cubique, à
chaque lancer correspondent 6 issues, dont 1 seule favorable à la réalisation de l’événement , si bien que
( )
.
Rappel : Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli d’ordre
est une répétition de
épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On lance 10 fois de suite ce dé donc il y a répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Autrement dit, l’expérience décrite est un schéma de Bernoulli d’ordre
.
Rappel : Loi binomiale de paramètres
et
Soit un schéma de Bernoulli d’ordre , répétition de
même paramètre , et soit
épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de
la variable aléatoire qui associe à cette répétition de
succès. La loi de probabilité de
est alors appelée loi binomiale de paramètres
et
épreuves le nombre de
et est notée (
).
prend pour valeur le nombre d’occurrences du chiffre 3, c’est-à-dire comptabilise le
La variable aléatoire
nombre de succès.
suit donc la loi binomiale de paramètres
On note alors
(
et
.
).
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2
2) Calculons l’espérance, la variance puis l’écart-type de .
Rappel : Espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale
Si
est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres
est donnée par ( )
Comme
et , alors l’espérance de , notée ( ),
.
suit la loi binomiale de paramètres
, l’espérance de
et
est égale à
.
Rappel : Variance et écart-type d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale
Si
est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres
est donnée par ( )
est donc donnée par ( )
et , alors la variance de , notée ( ),
). L’écart-type de , noté ( ) est la racine carrée de la variance de
(
√
(
Il vient en outre que la variance de
; elle
).
est égale à
(
est la racine carrée de la variance, il s’ensuit que l’écart-type de
)
est égal à √
. Enfin, comme l’écart-type
, c’est-à-dire à
√
.
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3
Exercice corrigé 2 (3 questions)
Une variable aléatoire
Niveau : facile
suit la loi binomiale de paramètres
et
.
1) Afficher avec un tableur la loi de probabilité de .
2) Donner la probabilité de l’évènement
proposée par le tableur et affichée par une calculatrice.
3) Donner la probabilité de l’évènement
proposée par le tableur et affichée par une calculatrice.
Correction de l’exercice 2
Retour au menu
1) Utilisons le tableur Excel pour afficher la loi de probabilité de la variable aléatoire .
A
1
2
(
B
C
D
E
F
G
H
0
1
2
3
4
5
6
0,186624
0,31104
0,27648
0,13824
0,036864
0,004096
) 0,046656
Dans la cellule B2 (en jaune dans le tableau ci-dessus), la formule « =LOI.BINOMIALE(B1; ;0,4;FAUX) » a
été renseignée.
Dans cette formule,
 « B1 » correspond au nombre de succès indiqués dans la cellule B1, à savoir 0 succès
 « » correspond au nombre de tirages dans des conditions identiques et indépendantes, à savoir au
paramètre
 « 0,4 » correspond à la probabilité du succès, à savoir au paramètre
 « FAUX » permet de ne pas afficher les probabilités cumulées croissantes
Cette formule a été copiée puis collée de la cellule C2 à la cellule H2, si bien que dans la cellule H2 est
renseignée la formule « =LOI.BINOMIALE(H1;6;0,4;FAUX) ».
Remarque : Les valeurs données par le tableur sont des valeurs arrondies.
2) D’après le tableur, (
)
. Retrouvons ce résultat en utilisant une calculatrice.
Si une variable
suit la loi binomiale
manipulations suivantes :
(
), pour calculer
(
), il convient d’effectuer les
 Avec une calculatrice Casio (Casio Graph 35+, Graph 65 +, Graph 75, Graph 85…):
MENU 2 pour accéder au menu STAT (statistiques)
F5 pour accéder à DIST (distribution)
F5 pour accéder à BINM (binomiale)
F1 pour accéder à Bpd (binomial probability distribution)
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4
Renseigner les différents champs :




Data : Variable
x:5
Numtrial : 6
p : 0,4
EXE pour exécuter la commande
La calculatrice affiche : « p=0.036864 », résultat également obtenu avec le tableur.
 Avec une calculatrice Texas Instruments (TI 82, TI 83 Stats, TI 84 Plus…) :
2nde VARS pour accéder à distrib (distribution)
sélectionner « A :binomFdp( » (binomiale Fonction de probabilité) (ou sélectionner « A :binompdf » si la
calculatrice est en anglais) puis valider par ENTER
compléter par les informations « 6, 0.4, 5 » pour renseigner successivement le nombre d’essais , la probabilité
de succès et la valeur de , puis valider par ENTER
L’affichage de la calculatrice confirme le résultat donné dans le tableur.
3) Le tableur ne donne pas directement le résultat de (
). Deux méthodes s’offrent toutefois à nous.
La première méthode consiste à exploiter le tableur en additionnant les probabilités contenues dans les cellules
)
(
)
(
)
(
)
(
). Cette méthode
B2, C2, D2 et E2. En effet, (
)
conduit au résultat (
.
La seconde méthode consiste à modifier quelque peu la formule renseignée dans le tableur. En l’occurrence, il
convient de saisir la formule « =LOI.BINOMIALE(B1;6;0,4 ;VRAI) » dans la cellule B2 puis de la copier dans
les cellules C2 à H2, si bien que dans la cellule H2 (par exemple) est renseignée la
formule « =LOI.BINOMIALE(H1;6;0,4 ;VRAI) ». Ainsi, on obtient les probabilités cumulées croissantes.
).
Dans le tableau ci-dessous, la cellule E2 contient donc la probabilité (
A
1
2
(
B
C
D
E
F
G
H
0
1
2
3
4
5
6
0,23328
0,54432
0,8208
0,95904
0,995904
1
) 0,046656
Retrouvons ce résultat en utilisant une calculatrice.
Si une variable
suit la loi binomiale
manipulations suivantes :
(
), pour calculer
(
), il convient d’effectuer les
 Avec une calculatrice Casio :
MENU 2 pour accéder au menu STAT (statistiques)
F5 pour accéder à DIST (distribution)
F5 pour accéder à BINM (binomiale)
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5
F2 pour accéder à Bcd (binomial cumulative distribution)
Renseigner les différents champs :




Data : Variable
x:3
Numtrial : 6
p : 0,4
EXE pour exécuter la commande
La calculatrice affiche le même résultat que celui contenu dans le tableur.
 Avec une calculatrice Texas Instruments (TI) :
2nde VARS pour accéder à distrib (distribution)
sélectionner « B:binomFRép( » (binomiale Fonction de répartition) puis valider par ENTER
compléter par les informations « 6, 0.4, 3 » pour renseigner successivement le nombre d’essais , la probabilité
de succès et la valeur de , puis valider par ENTER
L’affichage de la calculatrice confirme également le résultat donné dans le tableur.
Rappel : Formules à saisir avec la calculatrice et astuces pour calculer certaines probabilités
Formule
Calculatrice Casio
Calculatrice TI
(
)
Bpd(k,n,p)
BinomFdp(n,p,k)
(
)
Bcd(k,n,p)
BinomFRép(n,p,k)
(
)
(
)
(
)
(
) 1 Bcd(k-1,n,p)
(
(
(
)
Bcd(k-1,n,p)
BinomFRép(n,p,k-1)
)
1 Bcd(k,n,p)
1 BinomFRép(n,p,k)
Bcd(b,n,p)
BinomFRép(n,p,b)
)
(
(
)
(
)
Bcd(a-1,n,p)
)
(
)
(
1 BinomFRép(n,p,k-1)
)
BinomFRép(n,p,a-1)
Bcd(b-1,n,p)
BinomFRép(n,p,b-1)
Bcd(a,n,p)
BinomFRép(n,p,a)
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6
Exercice corrigé 3 (2 questions)
Une variable aléatoire
Niveau : facile
suit la loi binomiale de paramètres
√
(
et . On effectue les changements de variables :
1) Calculer l’espérance de la variable aléatoire .
2) Calculer la variance de la variable aléatoire .
)
Correction de l’exercice 3
Retour au menu
1) Calculons l’espérance de la variable aléatoire .
Rappel : Propriété de l’espérance mathématique
Soient
réels
et
deux variables aléatoires définies sur un même univers
et , on a : (
)
( )
et soit
une probabilité sur . Pour tous
( ).
Remarque : Cette propriété est celle de la double linéarité (linéarité additive et linéarité multiplicative).
( )
Or,
(
)
( )
suit la loi binomiale de paramètres
et
donc ( )
d’où :
( )
2) Calculons désormais la variance de la variable aléatoire .
Rappel : Propriété de la variance
Soit
a: (
une variable aléatoire définie sur un univers
)
et soit
une probabilité sur . Pour tous réels
et , on
( ).
Remarque : Autrement dit, le déplacement d’une distribution par ajout d’une constante réelle
ne modifie pas
la variance de la variable aléatoire. En revanche, le changement d’une distribution par multiplication d’une
constante réelle
( )
Or,
(
√
(non nulle) modifie quadratiquement la variance de la variable aléatoire.
(
)
)
(
√
(
)
suit la loi binomiale de paramètres
)
( )
(
)
et
donc ( )
(
(
)
(
)
( )
) d’où :
( )
(
)
(
)
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Remarque importante : ( ) et ( ) ne dépendent pas des paramètres et . On dit que est la variable
aléatoire centrée réduite associée à ou encore que la variable aléatoire suit la loi normale centrée
).
réduite notée (
Autre remarque importante : Lorsqu’on réalise une représentation graphique de la loi de probabilité de , on
obtient une courbe en forme de cloche, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Cette courbe reste très
stable, même en faisant varier les valeurs des paramètres et . D’autre part, lorsque est suffisamment grand,
cette courbe est la représentation graphique de la fonction définie sur par :
( )
√
Courbe verte représentative de la fonction
dans un repère orthonormé (
⃗ ⃗).
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8
Exercice corrigé 4 (3 questions)
Niveau : facile
(
est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale
On pose enfin
). On note
son espérance et
son écart-type.
.
1) Calculer puis .
2) Sachant que (
la probabilité (
)
, déterminer sans calculatrice ni tableur une valeur approchée de
).
Correction de l’exercice 4
Retour au menu
1) Calculons l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire .
suit la loi binomiale (

( )

√ ( )
). Par conséquent, il vient que :
(
√
)
2) Déterminons une valeur approchée de la probabilité (
Si
, alors
Il en résulte que (
et si
)
).
, alors
(
.
)
.
Rappel : Théorème de De Moivre - Laplace
Soit
un nombre entier naturel.
Soit
une variable aléatoire suivant la loi binomiale (
Soit
la variable aléatoire centrée réduite associée à
Alors, pour tous nombres réels
et
tels que
, définie par
√
(
)
.
, on a :
(
Remarque : Dans cet exercice, le paramètre
de variable. Par conséquent, la probabilité (
).
)
∫
√
est suffisamment grand (
) tend vers :
∫
) pour justifier le changement
√
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9
(
)
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Exercice corrigé 5 (4 questions)
Niveau : facile
est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
1)
2)
3)
4)
Donner un arrondi au millième de la probabilité
Donner un arrondi au millième de la probabilité
Donner un arrondi au millième de la probabilité
Donner un arrondi au millième de la probabilité
(
(
(
(
).
).
).
).
Correction de l’exercice 5
Retour au menu
1) Donnons un arrondi au millième de la probabilité (
(
Rappel : Loi normale centrée réduite
Toute variable aléatoire
).
)
continue dont la loi a pour densité la fonction
(
suit la loi normale centrée réduite notée
Alors, pour tous nombres réels
et
tels que
(
définie sur
par ( )
√
).
, la probabilité (
)
∫
) est donnée par :
√
 Avec un tableur de type Excel :
On saisit la formule « =LOI.NORMALE(2;0;1;VRAI)–LOI.NORMALE(0,5;0;1;VRAI) » dans l’une des
cellules du tableur. Le résultat affiché après exécution de la commande est alors « 0,285787407 ».
Autrement dit, (
)
(arrondi au millième près par excès).
Quelques explications :



(
)
(
)
(
)
) tandis que la formule
La formule « =LOI.NORMALE(2;0;1;VRAI) » permet de calculer (
)
« LOI.NORMALE(0,5;0;1;VRAI) » permet de calculer (
Dans chacune de ces deux formules, « 0 » correspond à l’espérance de la variable aléatoire qui suit la loi
normale centrée réduite et « 1 » correspond à l’écart-type de cette variable aléatoire
 Avec une calculatrice Casio :
On réalise les manipulations ci-après.
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MENU 2 pour accéder au menu STAT (statistiques)
F5 pour accéder à DIST (distribution)
F1 pour accéder à NORM (normale)
F2 pour accéder à Ncd (normal cumulative distribution)
Renseigner les différents champs :




Lower : 0,5
Upper : 2
:1
:0
EXE pour exécuter la commande
La calculatrice affiche un résultat très proche de celui renvoyé par le tableur, à savoir « 0.2857874 ».
 Avec une calculatrice Texas Instruments (TI) :
On réalise les manipulations ci-après.
2nde VARS pour accéder à distrib (distribution)
sélectionner « 2:normalFRép( » (normal fonction de répartition) et valider par ENTER
compléter par les informations « 0.5,2,0,1) » pour renseigner successivement les bornes inférieure et supérieure,
l’espérance et l’écart-type
valider par ENTER
L’affichage de la calculatrice confirme également le résultat précédemment donné.
2) Donnons un arrondi au millième de la probabilité (
).
Avec un tableur, on saisit la formule « =LOI.NORMALE(4;0;1;VRAI)–LOI.NORMALE(-2;0;1;VRAI) ». Le
)
résultat suivant est retourné : 0,977218197. Par conséquent, (
(arrondi au millième
près par défaut).
Avec une calculatrice Casio, on accède à « Ncd » puis on renseigne les champs suivants :




Lower : -2
Upper : 4
:1
:0
Avec une calculatrice Texas Instruments, on sélectionne « 2:normalFRép( » et on renseigne : « -2,4,0,1) ».
3) Donner un arrondi au millième de la probabilité (
).
Avec un tableur, on saisit la formule « =LOI.NORMALE(1,5;0;1;VRAI) ». Le résultat suivant est retourné :
)
0,933192799. Par conséquent, (
(arrondi au millième près par défaut).
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Avec les calculatrices, on peut remplacer le calcul de la probabilité (
(
), l’erreur commise étant négligeable.
) par le calcul de la probabilité
Avec une calculatrice Casio, on accède à « Ncd » puis on renseigne les champs suivants :




Lower : -10^99
Upper : 1.5
:1
:0
Avec une calculatrice Texas Instruments, on sélectionne « 2:normalFRép( » et on saisit : « -10^99,1.5,0,1) ».
4) Donnons enfin un arrondi au millième de la probabilité (
).
Avec un tableur, on saisit la formule « =1–LOI.NORMALE(2,2;0;1;VRAI) ». Le résultat suivant est retourné :
)
0,013903448. Par conséquent, (
(arrondi au millième près par excès).
En effet, on utilise le fait que l’événement «
(
)
(
).
» est l’événement contraire de «
Avec les calculatrices, on peut remplacer le calcul de la probabilité (
(
), l’erreur commise étant négligeable.
», si bien que
) par le calcul de la probabilité
Avec une calculatrice Casio, on accède à « Ncd » puis on renseigne les champs suivants :




Lower : 2.2
Upper : 10^99
:1
:0
Avec une calculatrice Texas Instruments, on sélectionne « 2:normalFRép( » et on saisit : « 2.2,10^99,0,1) ».
Remarques :
) ou (
) mais
 Les calculatrices ne fournissent pas de valeurs approchées des probabilités (
). C’est pourquoi, comme on l’a vu dans les questions 3) et 4),
seulement de la probabilité (
on propose un encadrement valable de .
 D’autres calculs seraient envisageables, s’appuyant notamment sur les propriétés de la loi normale
centrée réduite (dont certaines sont données dans l’exercice corrigé suivant), mais les calculs de
probabilités proposés dans cet exercice sont très efficaces !
), on pourrait utiliser le fait que :
Par exemple, pour le calcul de (
)
(
)
Si
, (
)
(
)
Si
, (
 La plupart des calculs de probabilités avec la loi normale centrée réduite imposeront l’utilisation d’une
calculatrice ou d’un tableur, dans la mesure où l’élève ne dispose pas des outils lui permettant de trouver
une primitive de la fonction définie sur par :
( )
√
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Exercice corrigé 6 (3 questions)
Soit
un réel positif.
Niveau : moyen
est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
1) Justifier que (
2) Justifier que (
3) Démontrer que (
)
)
(
).
(
).
)
(
).
Correction de l’exercice 6
Retour au menu
Rappel : Fonction de densité de la loi normale centrée réduite
Dire qu’une variable aléatoire
suit la loi normale centrée réduite, ce que l’on note
sa densité de probabilité est la fonction
définie sur
et
tels que
√
,
(
Rappelons que, comme
), signifie que
par :
( )
Pour tous réels
(
)
∫
( )
∫
√
(
)
∫
( )
∫
(
)
∫ ( )
∫
√
√
est une fonction densité de probabilité sur , les 3 conditions suivantes sont réunies :

est continue sur

est positive sur
 l’aire du domaine délimité par sa courbe représentative et l’axe des abscisses est égale à 1
1) Justifions la première égalité proposée.
D’après l’énoncé,
est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite donc sa densité de
probabilité est la fonction
Or,
définie sur
par ( )
est un intervalle centré en 0 et, pour tout
.
√
, (
)
(
√
)
√
( ). Autrement
dit, la fonction est paire. Graphiquement, ce résultat traduit que la courbe représentative de la fonction
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
est
)
(
).
Finalement, pour tout réel positif, (
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14
2) Justifions la deuxième égalité proposée.
Comme la fonction
est une densité de probabilité, l’aire totale sous la courbe est égale à 1.
De surcroît, comme les événements (
(
)
(
).
) et (
Or, par symétrie de la courbe représentative de , (
) sont deux événements contraires, il vient que
)
(
) et (
)
(
).
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15
Finalement, pour tout réel
positif, (
)
(
).
3) Démontrons la dernière égalité.
On a montré que la courbe représentative de la fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
)
(
). Or, est une densité de probabilité donc (
)
donc (
. Par conséquent, comme
(
)
(
)
(
), il s’ensuit que (
)
(
)
.
Or, (
)
(
)
(
), c’est-à-dire (
)
(
).
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)
De plus, d’après la première question, (
vient immédiatement que, pour tout réel positif, (
(
). En remplaçant dans la précédente égalité, il
)
(
).
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17
Exercice corrigé 7 (2 questions)
Niveau : moyen
La moyenne des notes au contrôle de maths d’un concours est 8. est la variable aléatoire qui donne l’écart
où est la note obtenue par un élève. suit la loi normale centrée réduite.
1) A combien le prof de maths doit-il fixer la note de réussite à ce contrôle pour que 30 % des élèves soient
reçus au concours ?
2) Dans quel intervalle de notes, centré en 8, se trouvent 80 % des notes des élèves ?
Correction de l’exercice 7
Retour au menu
1) Déterminons la note minimale que doivent obtenir les candidats pour être reçus au concours.
On cherche un nombre
tel que (
Or, les événements (
)
Ainsi, (
) et (
(
)
)
⏟.
) sont deux événements contraires donc (
.
)
(
).
 Avec un tableur de type Excel :
On saisit dans l’une des cellules du tableur la formule « =LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0.7) » où
« 0.7 » désigne la probabilité connue.
 Avec une calculatrice Casio :
On réalise les manipulations ci-après.
MENU 2 pour accéder au menu STAT (statistiques)
F5 pour accéder à DIST (distribution)
F1 pour accéder à NORM (normale)
F3 pour accéder à InvN (Inverse Normale)
Renseigner les différents champs :




Tail : Left
Area : 0.7
:1
:0
EXE pour exécuter la commande
 Avec une calculatrice Texas Instruments (TI) :
On réalise les manipulations ci-après.
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2nde VARS pour accéder à distrib (distribution)
sélectionner « 3:FracNormale( » et valider par ENTER
compléter par « 0.7) »
valider par ENTER
En utilisant un tableur ou une calculatrice, on trouve
(arrondi au centième près par défaut). Autrement
dit,
, c’est-à-dire
. On en déduit que
. Finalement, il faut que le prof de maths
fixe la note de réussite à ce contrôle à 8,52 pour que 30 % des élèves soient admis au concours.
2) Précisons dans quel intervalle de notes, centré en 8, se trouvent 80 % des notes.
On cherche un nombre
Or, (
(
)
)
(
tel que (
)
(
)
(
)
⏟.
d’une part et (
). Il en découle que (
Avec un tableur ou une calculatrice, on trouve alors
près par défaut). On a donc
, c’est-à-dire
[
]
recherché est donc
.
)
)
(
, c’est-à-dire
(
) d’autre part donc
)
.
(arrondi au centième
. L’intervalle de notes
Loi binomiale et approche de la loi normale centrée réduite – Probabilités / Lois normales – Exercices corrigés
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