Exercice 7
La variable aléatoire .X suit la loi normale N(20 ;5)
Déterminer le nombre réel a tel que :
a) P(X<=a) = 0.99
b) P(X<=a) = 0.01
c) P(X>=a) = 0.05
d) P(X>=a) = 0.90
e) P(20-a<=X<=20+a) = 0.95
Exercice 8
Loi binomiale, approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
A - On dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On jette le dé 10 fois de suite. Soit X la
variable aléatoire mesurant le nombre de 6 obtenus lors des 10 lancers.
On suppose que X suit une loi binomiale.
1 : Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
2 : Calculer les probabilités suivantes : P(X =0) : P(X = I) : P{X s- 2).
On donnera les valeurs exactes, puis des valeurs décima-les approchées à 10" près.
B - On dispose maintenant d'un jeu de deux dés bien équilibrés et de couleurs différentes. On suppose qu'on lance n fois le
couple de dés, où n est inconnu.
On note Z la variable aléatoire mesurant le nombre de double six obtenus lors de n lancers.
On admet que Z suit une loi de Poisson de paramètre µ. . (Cette loi de Poisson est en fait l'approximation de la loi binomiale
suivie par Z : ces deux lois ont même espérance mathématique.)
1° Montrer que µ = n/36
2calculer la probabilité P(Z = 0) .
3° Pour quelles valeurs de n a-t-on P(Z>= 1 ) > 0.95 ?
Exercice 9
Une compagnie de transport, dont la clientèle est composée d'usagers réguliers effectuant 40 trajets par mois (un le matin,
un le soir sur 20 jours), étudie un projet offrant à ces usagers le choix entre :
- un titre de transport (noté C dans ce qui suit) de 400 F pour l'ensemble des trajets mensuels ;
- pour les voyageurs ne voulant pas se procurer le titre de transporte, le paiement d'une taxe de M francs en cas de
contrôle.
La compagnie prévoit d'organiser les contrôles de façon que la probabilité d'un tel contrôle soit pour chaque trajet égale à
1/10, avec indépendance d'un trajet par rapport à l'autre.
Le but de l'exercice est de déterminer le montant M de la taxe pour que. du point de vue du calcul des probabilités, les deux
choix proposés aux voyageurs soient financièrement équivalents pour la compagnie. Soit A un voyageur pris au hasard. On
note X la variable aléatoire qui. à un mois tiré au hasard, associe le nombre de trajets de A contrôlés pendant ce mois.
1° a) Donner la loi de probabilité de X. c'est-à-dire l'expression en fonction de k (entier compris entre 0 et 40) de la
probabilité P(X = k).
b) Calculer le nombre moyen de trajets contrôlés, c'est-à-dire l'espérance mathématique de.X.
c) Quel sera, en fonction de M. le coût moyen mensuel des trajets pour un usager qui ne se procurera pas le titre de
transport C ?
En déduire la valeur M pour laquelle, en moyenne, les deux choix proposés aux usagers sont financièrement équivalents
pour la compagnie.
2° Dans cette question on pose M = 100
a) Donner des valeurs décimales approchées à KF'' près des probabilités P(X = 0). P(X = 1 ) . P(X = 2) et P(X =3)
b) Si A ne s'est pas procuré le titre de transport C. quelle est la probabilité que le coût de ses trajets mensuels soit i au
moins égal à 400 F ?