IUP MIAGE MATHEMATIQUES FINANCIERES Laurent DUCAU. Mai

IUP MIAGE
MATHEMATIQUES FINANCIERES
Laurent DUCAU. Mai 2002
Exercice 1
Vous achetez en bourse 1500 euros d'une valeur dont les performances sur 3 jours sont +1.3 : -2.1 ; +
0,7. Vous revendez cette valeur au bout des 3 jours.
a) Quel gain ou quelle perte avez vous réalisé (en euros puis en pourcentage)
b) A quel taux annuel correspond cette opération ?
Exercice 2
Combien de groupes-projet (différents) de 2 à 4 étudiants peut on constituer dans une promotion de
21 étudiants ?
Exercice 3
Au poker, une « main » comporte 5 cartes tirées dans un jeu de 52 cartes
Calculer la Probabilité d'obtenir :
a) un carré
b) un carré de valets
c) 2 paires et un as
d) une suite (5 cartes de hauteurs successives)
e) une 'quinte flush' (5 cartes de hauteurs successives, toutes les cartes étant de la même couleur :
cœur, carreau, trèfle ou pique)
Exercice 4
Vous achetez un véhicule neuf dont la valeur est 8900 euros. On vous propose les financements
suivants : un crédit total sur 24 mois au taux de 8.95 ou un financement moyennant un apport de 10
au taux de 11.25 l'an sur une durée de 36 mois.
1 °) calculez les mensualités des 2 financements et analysez
2) On suppose que la valeur vénale d'un véhicule baisse de 20 par an. Vous envisagez de changer
votre véhicule au bout d'un an. La revente de ce véhicule aux conditions du marché un an après son
achat est elle en mesure de couvrir le montant restant dû au titre de votre emprunt ?
Exercice 5
.Vous disposez d'un plan d'épargne dont la valeur est 20210 euros aujourd'hui (21 mai 2002).
Le taux de ce placement était de 3,25 l'an. Sachant que vous aviez déposé 100 000 F à l'ouverture du
plan d'épargne, déterminez la date de son ouverture.
Donnée : 1 euro = 6,55957 F
Exercice 6
Expliquer ce que l'on désigne par 'effets de cavalerie'. Donnez un exemple chiffré.
Exercice 7
La variable aléatoire .X suit la loi normale N(20 ;5)
Déterminer le nombre réel a tel que :
a)
P(X<=a) = 0.99
b)
P(X<=a) = 0.01
c)
P(X>=a) = 0.05
d)
P(X>=a) = 0.90
e)
P(20-a<=X<=20+a) = 0.95
Exercice 8
Loi binomiale, approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
A - On dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On jette le dé 10 fois de suite. Soit X la
variable aléatoire mesurant le nombre de 6 obtenus lors des 10 lancers.
On suppose que X suit une loi binomiale.
1 : Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
2 : Calculer les probabilités suivantes : P(X =0) : P(X = I) : P{X s- 2).
On donnera les valeurs exactes, puis des valeurs décima-les approchées à 10" près.
B - On dispose maintenant d'un jeu de deux dés bien équilibrés et de couleurs différentes. On suppose qu'on lance n fois le
couple de dés, où n est inconnu.
On note Z la variable aléatoire mesurant le nombre de double six obtenus lors de n lancers.
On admet que Z suit une loi de Poisson de paramètre µ. . (Cette loi de Poisson est en fait l'approximation de la loi binomiale
suivie par Z : ces deux lois ont même espérance mathématique.)
1° Montrer que µ = n/36
2calculer la probabilité P(Z = 0) .
3° Pour quelles valeurs de n a-t-on P(Z>= 1 ) > 0.95 ?
Exercice 9
Une compagnie de transport, dont la clientèle est composée d'usagers réguliers effectuant 40 trajets par mois (un le matin,
un le soir sur 20 jours), étudie un projet offrant à ces usagers le choix entre :
- un titre de transport (noté C dans ce qui suit) de 400 F pour l'ensemble des trajets mensuels ;
- pour les voyageurs ne voulant pas se procurer le titre de transporte, le paiement d'une taxe de M francs en cas de
contrôle.
La compagnie prévoit d'organiser les contrôles de façon que la probabilité d'un tel contrôle soit pour chaque trajet égale à
1/10, avec indépendance d'un trajet par rapport à l'autre.
Le but de l'exercice est de déterminer le montant M de la taxe pour que. du point de vue du calcul des probabilités, les deux
choix proposés aux voyageurs soient financièrement équivalents pour la compagnie. Soit A un voyageur pris au hasard. On
note X la variable aléatoire qui. à un mois tiré au hasard, associe le nombre de trajets de A contrôlés pendant ce mois.
1° a) Donner la loi de probabilité de X. c'est-à-dire l'expression en fonction de k (entier compris entre 0 et 40) de la
probabilité P(X = k).
b) Calculer le nombre moyen de trajets contrôlés, c'est-à-dire l'espérance mathématique de.X.
c) Quel sera, en fonction de M. le coût moyen mensuel des trajets pour un usager qui ne se procurera pas le titre de
transport C ?
En déduire la valeur M pour laquelle, en moyenne, les deux choix proposés aux usagers sont financièrement équivalents
pour la compagnie.
2° Dans cette question on pose M = 100
a) Donner des valeurs décimales approchées à KF'' près des probabilités P(X = 0). P(X = 1 ) . P(X = 2) et P(X =3)
b) Si A ne s'est pas procuré le titre de transport C. quelle est la probabilité que le coût de ses trajets mensuels soit i au
moins égal à 400 F ?