LOIS COURANTES DE PROBABILITES La Loi Binomiale

LOIS COURANTES DE PROBABILITES
La Loi Binomiale
Jean-Marc Petit 1

PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
La loi Binomiale.
Elle part de l’épreuve de Bernoulli, c’est-à-dire une épreuve
au résultat alternatif.
Avec p : probabilité de succès à une épreuve
Et q=1-p : probabilité de l’échec à une épreuve.
La loi binomiale, s’applique au cas où l’on reproduit n fois
cette épreuve au résultat alternatif de manière
indépendante.
Elle répond à la question de la probabilité d’obtenir k succès
sur ces n épreuves.
Par exemple : Habituellement 30% clients d’un hyper-
marché y dépensent plus de 150€, quelle est la probabilité
que sur 8 clients 3 dépensent plus de 150€
Jean-Marc Petit 2

PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
La loi Binomiale.
Elle s’écrit : ici
Avec p : probabilité de succès à une épreuve,
ici p = 0,3
q=1-p : probabilité de l’échec à une épreuve,
ici q =0,7
Et n le nombre d’épreuves ,
ici n=8
La formule permettant de calculer la probabilité de k succès
est :
Ici
Jean-Marc Petit 3
( , )x n p
835
3
( 3) 0.3 0.7 0.2541 25.41%Px 
!
() !( )!
nk n k k n k
k
n
P x k p q p q
k n k

PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
La loi Binomiale.
C’est une loi discrète, entre k et k+1, il n’y a rien.
On ne peut avoir 2,1 clients
Il s’agit également d’évènements disjoints,
On ne peut avoir 3 et 4 clients
Donc , dans ce cas :
Par exemple :
Soit
Et
Jean-Marc Petit 4
( ) 0P A B
( ) ( ) ( )P A B P A P B  
(3 5) ( 3) ( 4) ( 5)P x P x P x P x       
( 0) 1 ( 0) 1 0.0576 0.9424 94.24%P x P x       
(3 5) 0.2541 0.1361 0.0467Px    
(3 5) 0.4369 43.69%Px   

PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
La loi Binomiale.
Elle s’écrit : ici
Son espérance est :
ici clients
sa variance est
ici
Son Ecart-type est
ici clients
Ces paramètres seront utilisés lorsqu’il s’agira d’approximer
La loi binomiale par une loi normale.
Jean-Marc Petit 5
( , )x n p
()E x n p
( ) 8 0.3 2.4Ex  
()V x n p q  
( ) 8 0.3 0.7 1.68Vx   
xn p q
1.68 1.2961x
(8,0.3)x