LOIS COURANTES DE PROBABILITES La Loi Binomiale

LOIS COURANTES DE PROBABILITES
La Loi Binomiale
Jean-Marc Petit
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PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
La loi Binomiale.
Elle part de l’épreuve de Bernoulli, c’est-à-dire une épreuve
au résultat alternatif.
Avec p : probabilité de succès à une épreuve
Et q=1-p : probabilité de l’échec à une épreuve.
La loi binomiale, s’applique au cas où l’on reproduit n fois
cette épreuve au résultat alternatif de manière
indépendante.
Elle répond à la question de la probabilité d’obtenir k succès
sur ces n épreuves.
Par exemple : Habituellement 30% clients d’un hypermarché y dépensent plus de 150€, quelle est la probabilité
Jean-Marc
Petit de 150€
que sur 8 clients 3 dépensent
plus
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PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
La loi Binomiale.
x (n, p) ici
Elle s’écrit :
Avec p : probabilité de succès à une épreuve,
ici p = 0,3
q=1-p : probabilité de l’échec à une épreuve,
ici q =0,7
Et n le nombre d’épreuves ,
ici n=8
La formule permettant de calculer la probabilité de k succès
est :
Ici
n!
 n  k nk
P( x  k )     p  q 
 p k  q n k
k !(n  k )!
k
8
P( x  3)     0.33  0.75  0.2541  25.41%
3
Jean-Marc Petit
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PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
La loi Binomiale.
C’est une loi discrète, entre k et k+1, il n’y a rien.
On ne peut avoir 2,1 clients
Il s’agit également d’évènements disjoints, P( A  B)  0
On ne peut avoir 3 et 4 clients
Donc , dans ce cas : P( A  B)  P( A)  P( B)
Par exemple :
Soit
P(3  x  5)  P( x  3)  P( x  4)  P( x  5)
P(3  x  5)  0.2541  0.1361  0.0467
P(3  x  5)  0.4369  43.69%
Et
P( x  0)  1  P( x  0)  1  0.0576  0.9424  94.24%
Jean-Marc Petit
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PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITÉS
La loi Binomiale.
x (8,0.3)
Elle s’écrit : x (n, p) ici
Son espérance est : E ( x)  n  p
ici E( x)  8  0.3  2.4clients
sa variance est
V ( x)  n  p  q
ici V ( x)  8  0.3  0.7  1.68
Son Ecart-type est
 x  n p q
ici  x  1.68  1.2961 clients
Ces paramètres seront utilisés lorsqu’il s’agira d’approximer
La loi binomiale par une loiJean-Marc
normale.
Petit
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