Nombres complexes

Chapitre 1
Nombres complexes
IConstrution du corps des nombres complexes
Dans R, l’´equation x2+1=0n’a pas de solution. Le but de ce chapitre est de construire un ensemble :
– o`ucette ´equation ait une solution,
–qui contienne tous les nombres r´eels,
–qui soit muni des op´erations d’addition etde multiplication ayantles mˆemes propri´et´es que sur R,`a
savoir associativit´e,commutativit´eet distributivit´ede la multiplication par rapport `a l’addition et
inversibilit´ede tout nombre non nul.
Notons iun ´el´ementde cet ensemble tel que i2+1=0et ´etudions les propri´et´es que doit avoir un tel
ensemble.
Comme in’est pas r´eel, pour tout a, a′∈R,nous avons
a+ia′=0⇒a=a′=0.(1.1)
Ensuite, vue lacommutativit´ede l’addition et de la multiplication que nous voulons avoir etvu que
i2=−1:
(a+ia′)+(b+ib′)=(a+b)+i(a′+b′),(1.2)
(a+ia′)(b+ib′)=(ab −a′b′)+i(ab′+a′b).(1.3)
Notre ensemble devra donc v´erifier les propri´et´es (1.1,1.2, 1.3).Remarquons qu’en identifianta+ia′
avec le vecteur ~v=(a, a′), (1.1) est ´equivalent`a dire que le vecteur ~v=(a, a′)est nul et (1.2) correspond
`a l’addition de deux vecteurs ~v=(a, a′),~w=(b, b′)car ~v+~w=(a+a′,b+b′).
On munit R2de l’addition
(a, a′)+(b, b′)=(a+b, a′+b′) (1.4)
et on d´efinit sur R2la multiplication suivante :
(a, a′)(b, b′)=(ab −a′b′,ab′+a′b)(1.5)
Th´eor`eme I.1 On appelle corps desnombres complexes et on note Cl’ensemble R2muni de l’addi-
tion (1.4) et (1.5). Cest tel que l’´equation z2+1=0 a une solution et v´erifie
1. L’addition et la multiplication sontassociatives et commutatives,
2. la multiplication est distributivepar rapport `a l’addition,
3. (0,0) +(a, a′)=(a, a′)+(0,0) =(a, a′)(on dit que (0,0) est l’´el´ementneutre pour l’addition),
4. (1,0)(a, a′)=(a, a′)(1,0) =(a, a′)(on dit que (1,0) est l’´el´ementneutre pour la multiplication),
5. Tout ´el´ementnon nul est inversible.
3

II Repr´esentation des nombres complexes
II.1 Formes alg´ebrique, trigonom´etrique, parties r´eelle, imaginaire, con-
jugu´e
Notation II.1 Soit θ∈R.On noteeiθ := cos θ+isin θ.
Comme nous l’avons vu, un nombre complexe z=x+iy est identifi´eau pointMde coordonn´ees (x, y)
dans le plan rapport´eau rep`ere orthonorm´e(O,~ i,~ j).
D´efinition II.2 Soit z=x+iy ∈C,x, y∈Ret soit Mle pointdu plan de coordonn´ees (x, y).
–La repr´esentation z=x+iy avec x, y∈Rest appel´ee repr´esentation alg´ebrique de z.
–xest appell´epartie r´eellede z.On le note Re (z). LorsqueRe (z)=0, on dit que zest un imaginaire
pur.
–yest appell´epartie imaginairede z.On le note Im (z).
–zest appel´eaffixe de M.
–Si M6=0, l’angle (
~
i, ~ OM)est appel´eargumentde z.On le note arg z.Le nombre arg zest donc
d´efini `a 2πpr`es.
–On appelle module de zet on note |z|le nombre r´eel |z|=OM=k~ OMk=px2+y2.
–Soit r=|z|et θun argumentde z.La repr´esentation z=r(cos θ+isin θ)=reiθ est appel´ee
repr´esentation trigonom´etrique.
–le nombre complexe x−iy est appel´econjugu´ede z.On le note z.
Exemple II.3 Soit z=1+i.Alors Re z=1, Im z=1, |z|=√2, arg z=π
4,z=1−i,z=√2eiπ
4.
Proposition II.4 Soientz,z′∈C,z=reiθ et z′=reiθ′.Alors
z=z′⇔r=r′
θ=θ′+2kπ,k∈Z
Proposition II.5 Soit z,z′∈C.Alors
1. Re (z+z′)=Re(z)+Re (z′)et Im (z+z′)=Im (z)+Im (z′),
2. Re z=z+z
2et Im z=z−z 2i,
3. Re (z)≤|z|et Im (z)≤|z|.
4. Soit θ=arg z.Alors cos θ=Re z
|z|et sin θ=Im z |z|.
Proposition II.6 Soit z=reiθ,z′=r′eiθ′∈C,n∈N.Alors
4

1. zz′=rr′ei(θ+θ′),
2. si r6=0, z−1=1
re−iθ,
3. zn=rneinθ.
Proposition II.7 Soientz,z′∈C,n∈Z.Alors
1. |zz′|=|z|·|z′|,
2. arg(zz′)=argz+arg z′[2π],
3. si z6=0, arg 1
z=−arg(z)[2π]et 1 z=1 |z|.
4. |zn|=|z|net arg(zn)=narg(z)[2π].
Proposition II.8 (Formules d’Euler)
cos θ=eiθ +e−iθ
2sin θ=eiθ −e−iθ 2i
Proposition II.9 (Formules de Moivre) Soit θ∈R,n∈Z.Alors :
cos(nθ)+isin(nθ)=(cos(θ)+isin(θ))n.
Applications :On cherche `a lin´eariser cos3θ,c’est `a dire `a l’´ecrire comme somme de cosinus et de
sinus sans puissance. Nous avons
cos3θ=eiθ +e−iθ
23
=e3iθ +e−3iθ +3eiθ +3e−iθ
8
=1
4cos(3θ)+3 4cos θ.
On cherche maintenant`a factoriser sin(3θ), c’est `a dire exprimer sin(3θ)en fonction de puissance de
sin θet cos θ.Nous avons
sin(3θ)=Im (e3iθ)
=Im (cos θ+isin θ)3
=Im cos3θ+3icos2θsin θ−3cos θsin2θ−isin3θ
=3cos2θsin θ−sin3θ.
Proposition II.10 Soientz,z′∈C.Nous avons
1. si z=reiθ alors z=re−iθ,
2. z+z′=z+z′et zz′=zz′,
3. z=z,
4. |z|=|z|,et arg z=−arg z,
5. |z|2=zz,
Proposition II.11 Soientz,z′∈C.
|z+z′|≤|z|+|z′|.
5

II.2 Interprˆetation g´eom´etrique
Proposition II.12 Soit z=reiθ,a=eiα et z′=az Le pointM′de R2d’affixe z′est l’image de M
d’affixe zpar la rotation de centre Oet d’angle α.
Proposition II.13 SoientA,B,Cet D4points du plan d’affixe a,b,cet d.Alors
(~ AB,~ CD)=arg d−c
b−a
et
k~ ABk=AB =|b−a|.
Proposition II.14 (In´egalit´etriangulaire) SoientA,B,C3points du plan d’affixe a,b,c.Alors
k~ ABk≤k~ ACk+k~ CBk.
III Equations Polynˆomiales
III.1 Racines carr´ees d’un nombre complexe
D´efinition III.1 Soit a∈C.Onappelle racine carr´ee de atout nombre complexe z∈Ctel que
z2=a.
Soit z=x+iy ∈C.On cherche a=α+iβ ∈Ctel que z2=a.
z2=a⇔(x2−y2)+2ixy =α+iβ
|z|2=|a|
⇔
α=x2−y2
β=2xy
x2+y2=pα2+β2
⇔
x2=α+√α2+β2
2
y2=√α2+β2−α
2
2xy =β
Soit ε=1si β>0, ε=−1sinon. On adonc
z2=a⇔z=spα2+β2+α
2+εspα2+β2−α 2ou −
spα2+β2+α
2+εspα2+β2−α 2
.
Proposition III.2 Soit a=α+iβ ∈C.Alors aadeux racines :
z1=spα2+β2+α
2+εspα2+β2−α 2
z2=−z1.
III.2 Racines ni`eme d’un nombre complexe
D´efinition III.3 Soit a∈C,n∈N.On appelle racine ni`eme de atout nombre complexe z∈Ctel
que zn=a.
On appelle racine ni`eme de l’unit´etout nombre complexe z∈Ctel que zn=1.
6

Nous allons d´eterminer les racines de a∈C.Soit z∈Ctel que zn=a.
On ´ecrit z=reiθ et a=ρeiα.Alors
zn=a⇔rn=ρ
nθ =α+2kπ,k∈Z
⇔r=ρ1
n
θ=1
nα+2k nπ,k∈Z
Nous venons donc de d´emontrer la proposition suivante :
Proposition III.4 Soit a=ρeiα ∈C∗,n∈N∗.aadmet nracine ni`eme qui sontdonn´ees par
ρ1
ne1 nα+2kiπ n,k=0,...,n−1.
III.3 Equation polynˆomiale de degr´e2
On cherche `a r´esuodre l’´equation az2+bz +c=0, a6=0.
az2+bz +c=az2+b
az+c a
=a z+b
2a2
−b2−4ac
4a2!
Soit ∆=b2−4ac et δ∈Ctel que δ2=∆. Alors
az2+bz +c=a z+b
2a2
−δ
2a2!
=az+b+δ
2az+b−δ 2a).
Nous avons donc d´emontr´ela proposition suivante
Proposition III.5 Soienta, b, c∈C,a6=0. Soit δ∈Ctel que δ2=b2−4ac.
Alors l’´equation az2+bz +c=0 a deux solutions :−b+δ
2aet −b−δ 2a.
7