Nombres complexes

Chapitre 1
Nombres complexes
I
Constrution du corps des nombres complexes
Dans R, l’équation x2 + 1 = 0 n’a pas de solution. Le but de ce chapitre est de construire un ensemble :
– où cette équation ait une solution,
– qui contienne tous les nombres réels,
– qui soit muni des opérations d’addition et de multiplication ayant les mêmes propriétés que sur R, à
savoir associativité, commutativité et distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et
inversibilité de tout nombre non nul.
Notons i un élément de cet ensemble tel que i2 + 1 = 0 et étudions les propriétés que doit avoir un tel
ensemble.
Comme i n’est pas réel, pour tout a, a′ ∈ R, nous avons
a + ia′ = 0 ⇒
a = a′ = 0.
(1.1)
Ensuite, vue la commutativité de l’addition et de la multiplication que nous voulons avoir et vu que
i2 = −1 :
(a + ia′ ) + (b + ib′ )
′
′
(a + ia )(b + ib )
=
=
(a + b) + i(a′ + b′ ),
′ ′
′
(1.2)
′
(ab − a b ) + i(ab + a b).
(1.3)
Notre ensemble devra donc vérifier les propriétés (1.1,1.2, 1.3). Remarquons qu’en identifiant a + ia′
avec le vecteur ~v = (a, a′ ), (1.1) est équivalent à dire que le vecteur ~v = (a, a′ ) est nul et (1.2) correspond
à l’addition de deux vecteurs ~v = (a, a′ ), w
~ = (b, b′ ) car ~v + w
~ = (a + a′ , b + b′ ).
2
On munit R de l’addition
(a, a′ ) + (b, b′ )
=
(a + b, a′ + b′ )
(1.4)
et on définit sur R2 la multiplication suivante :
(a, a′ )(b, b′ ) = (ab − a′ b′ , ab′ + a′ b)
(1.5)
Théorème I.1 On appelle corps des nombres complexes et on note C l’ensemble R2 muni de l’addition (1.4) et (1.5). C est tel que l’équation z 2 + 1 = 0 a une solution et vérifie
1. L’addition et la multiplication sont associatives et commutatives,
2. la multiplication est distributive par rapport à l’addition,
3. (0, 0) + (a, a′ ) = (a, a′ ) + (0, 0) = (a, a′ ) (on dit que (0, 0) est l’élément neutre pour l’addition),
4. (1, 0)(a, a′ ) = (a, a′ )(1, 0) = (a, a′ ) (on dit que (1, 0) est l’élément neutre pour la multiplication),
5. Tout élément non nul est inversible.
3
II
II.1
Représentation des nombres complexes
Formes algébrique, trigonométrique, parties réelle, imaginaire, conjugué
Notation II.1 Soit θ ∈ R. On note eiθ := cos θ + i sin θ.
Comme nous l’avons vu, un nombre complexe z = x + iy est identifié au point M de coordonnées (x, y)
dans le plan rapporté au repère orthonormé (O,~i, ~j).
Définition II.2 Soit z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R et soit M le point du plan de coordonnées (x, y).
– La représentation z = x + iy avec x, y ∈ R est appelée représentation algébrique de z.
– x est appellé partie réelle de z. On le note Re (z). Lorsque Re (z) = 0, on dit que z est un imaginaire
pur.
– y est appellé partie imaginaire de z. On le note Im (z).
– z est appelé affixe de M .
~ ) est appelé argument de z. On le note arg z. Le nombre arg z est donc
– Si M 6= 0, l’angle (~i, OM
défini à 2π près.
p
~ k = x2 + y 2 .
– On appelle module de z et on note |z| le nombre réel |z| = OM = kOM
– Soit r = |z| et θ un argument de z. La représentation z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ est appelée
représentation trigonométrique.
– le nombre complexe x − iy est appelé conjugué de z. On le note z.
Exemple II.3 Soit z = 1 + i. Alors Re z = 1, Im z = 1, |z| =
√
2, arg z =
′
Proposition II.4 Soient z, z ′ ∈ C, z = reiθ et z ′ = reiθ . Alors
r = r′
′
z=z ⇔
θ = θ′ + 2kπ, k ∈ Z
Proposition II.5 Soit z, z ′ ∈ C. Alors
1. Re (z + z ′ ) = Re (z) + Re (z ′ ) et Im (z + z ′ ) = Im (z) + Im (z ′ ),
z−z
2. Re z = z+z
2 et Im z = 2i ,
3. Re (z) ≤ |z| et Im (z) ≤ |z|.
z
Im z
4. Soit θ = arg z. Alors cos θ = Re
|z| et sin θ = |z| .
′
Proposition II.6 Soit z = reiθ , z ′ = r′ eiθ ∈ C, n ∈ N. Alors
4
π
4,
z = 1 − i, z =
√
π
2ei 4 .
′
1. zz ′ = rr′ ei(θ+θ ) ,
2. si r 6= 0, z −1 = 1r e−iθ ,
3. z n = rn einθ .
Proposition II.7 Soient z, z ′ ∈ C, n ∈ Z. Alors
1. |zz ′ | = |z| · |z ′ |,
2. arg(zz ′ ) = arg z + arg z ′ [2π],
3. si z 6= 0, arg
1
z
= − arg(z) [2π] et z1 =
1
|z| .
4. |z n | = |z|n et arg(z n ) = n arg(z) [2π].
Proposition II.8 (Formules d’Euler)
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
Proposition II.9 (Formules de Moivre) Soit θ ∈ R, n ∈ Z. Alors :
cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos(θ) + i sin(θ))n .
Applications : On cherche à linéariser cos3 θ, c’est à dire à l’écrire comme somme de cosinus et de
sinus sans puissance. Nous avons
cos3 θ
=
=
=
eiθ + e−iθ
2
3
e3iθ + e−3iθ + 3eiθ + 3e−iθ
8
1
3
cos(3θ) + cos θ.
4
4
On cherche maintenant à factoriser sin(3θ), c’est à dire exprimer sin(3θ) en fonction de puissance de
sin θ et cos θ. Nous avons
sin(3θ)
=
Im (e3iθ )
=
Im (cos θ + i sin θ)3
=
Im cos3 θ + 3i cos2 θ sin θ − 3 cos θ sin2 θ − i sin3 θ
=
3 cos2 θ sin θ − sin3 θ.
Proposition II.10 Soient z, z ′ ∈ C. Nous avons
1. si z = reiθ alors z = re−iθ ,
2. z + z ′ = z + z ′ et zz ′ = zz ′ ,
3. z = z,
4. |z| = |z|, et arg z = − arg z,
5. |z|2 = zz,
Proposition II.11 Soient z, z ′ ∈ C.
|z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |.
5
II.2
Interprêtation géométrique
Proposition II.12 Soit z = reiθ , a = eiα et z ′ = az Le point M ′ de R2 d’affixe z ′ est l’image de M
d’affixe z par la rotation de centre O et d’angle α.
Proposition II.13 Soient A, B, C et D 4 points du plan d’affixe a, b, c et d. Alors
d−c
~
~
(AB, CD) = arg
b−a
et
~ = AB = |b − a|.
kABk
Proposition II.14 (Inégalité triangulaire) Soient A, B, C 3 points du plan d’affixe a, b, c. Alors
~ ≤ kACk
~ + kCBk.
~
kABk
III
III.1
Equations Polynômiales
Racines carrées d’un nombre complexe
Définition III.1 Soit a ∈ C. On appelle racine carrée de a tout nombre complexe z ∈ C tel que
z 2 = a.
Soit z = x + iy ∈ C. On cherche a = α + iβ ∈ C tel que z 2 = a.
2
(x − y 2 ) + 2ixy = α + iβ
z2 = a ⇔
|z|2 = |a|

α = x2 − y 2

β =p
2xy
⇔
 2
x + y 2 = α2 + β 2
√

α+ α2 +β 2

 x2 =
2
√ 2 2
α +β −α
⇔
2
y
=

2

2xy = β
Soit ε = 1 si β > 0, ε = −1 sinon. On a donc
sp
sp
sp

s p
2 + β2 + α
2 + β2 − α
2 + β2 + α
2 + β2 − α
α
α
α
α
.
+ε
ou − 
+ε
z2 = a ⇔ z =
2
2
2
2
Proposition III.2 Soit a = α + iβ ∈ C. Alors a a deux racines :
sp
sp
α2 + β 2 + α
α2 + β 2 − α
z1 =
+ε
2
2
z2 = −z1 .
III.2
Racines nième d’un nombre complexe
Définition III.3 Soit a ∈ C, n ∈ N. On appelle racine nième de a tout nombre complexe z ∈ C tel
que z n = a.
On appelle racine nième de l’unité tout nombre complexe z ∈ C tel que z n = 1.
6
Nous allons déterminer les racines de a ∈ C. Soit z ∈ C tel que z n = a.
On écrit z = reiθ et a = ρeiα . Alors
n
r
=ρ
zn = a ⇔
nθ = α + 2kπ, k ∈ Z
1
r = ρn
⇔
θ = n1 α + 2 nk π, k ∈ Z
Nous venons donc de démontrer la proposition suivante :
Proposition III.4 Soit a = ρeiα ∈ C∗ , n ∈ N∗ . a admet n racine nième qui sont données par
1
1
2kiπ
ρ n e n α+ n , k = 0, . . . , n − 1.
III.3
Equation polynômiale de degré 2
On cherche à résuodre l’équation az 2 + bz + c = 0, a 6= 0.
c
b
2
2
az + bz + c = a z + z +
a
a
!
2
b2 − 4ac
b
−
z+
= a
2a
4a2
Soit ∆ = b2 − 4ac et δ ∈ C tel que δ 2 = ∆. Alors
2
az + bz + c
=
=
a
b
z+
2a
2
b+δ
a z+
2a
−
δ
2a
2 !
b−δ
z+
).
2a
Nous avons donc démontré la proposition suivante
Proposition III.5 Soient a, b, c ∈ C, a 6= 0. Soit δ ∈ C tel que δ 2 = b2 − 4ac.
−b−δ
Alors l’équation az 2 + bz + c = 0 a deux solutions : −b+δ
2a et 2a .
7