Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny --
Nombres complexes
1 D´efinitions
efinition 1 On appelle ensemble des nombres complexes et on note Cl’ensemble des nombres qui
s’´ecrivent sous la forme a+ib avec aR, b Ret o`u iest un nombre tel que i2=1.
aest la partie r´eelle de zet se note <(z)
best la partie imaginaire et se note =(z)
a+ib est la forme alg´ebrique de z.
Remarque 1 Si un nombre complexe a une partie r´eelle nulle, il s’´ecrit z=ib.
On dit alors que c’est un nombre imaginaire pur.
On note iRl’ensemble des nombres imaginaires purs.
Si un nombre complexe a une partie imaginaire nulle, il s’´ecrit z=a. C’est un nombre r´eel.
aR:a=a+ 0.i C. Donc RC
Egalit´e de deux complexes :a+ib =a0+ib0a=a0et b=b0
efinition 2 Le complexe conjugu´e de z=a+ib est ¯z=aib
Proposition 1 z+ ¯z= 2<(z) et z¯z= 2=(z) d’o`u : zR¯z=z z iR¯z=z
Proposition 2 ¯
¯z=z;z1+z2= ¯z1+ ¯z2;z1.z2= ¯z1¯z2; si z26= 0 : µz1
z2=¯z1
¯z2
Exercice 1 Calculer z¯zdans chacun des cas suivants : z= 1i;z= 2+3i;z=2i3 ; z=a+ib
Exercice 2 Mettre sous forme alg´ebrique z1=1
1 + i;z2=1i
1 + 2i;z3=1i
i
Indication : multiplier num´erateur et d´enominateur par le complexe conjugu´e du d´enominateur
Exercice 3 Montrer que zC:z+ ¯z
1 + z¯zRet z¯z
1 + z¯ziR
1.1 Interpr´etation g´eom´etrique
On se place dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal (O;~u, ~v) qu’on appelle dans cette situation plan
complexe.
Si z=a+ib, on appelle image de zle point Md’abscisse aet d’ordonn´ee b.
On dit aussi que Ma pour affixe z.
Si ~
V=x~u +y~v , le complexe z=x+iy est appel´e affixe de ~
V .
Remarque 2 L’affixe du point Mest ´egale `a l’affixe du vecteur
OM.
Remarque 3 Deux points sont confondus si et seulement si ils ont mˆeme affixe.
Deux vecteurs sont ´egaux si et seulement si ils ont mˆeme affixe.
Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny --
Nombres complexes 2
Th´eor`eme 1 Si Aa pour affixe zAet si Ba pour affixe zBalors :
1.
AB a pour affixe z
AB =zBzA.
2. Le milieu Ide [AB] a pour affixe zI=1
2(zA+zB)
1.2 Module et Argument
a
b
O~u
~v
M(z)
ρ
θ
z=a+ib
ρ=|z|=OM =°
°
°
OM°
°
°=pa2+b2
Si z6= 0 : θ= arg (z) = ³~u,
OM´
a=ρcos θ
b=ρsin θ
Remarque 4
1. arg (z) est d´efini `a 2kπ pr`es avec kZ
2. z¯z=|z|2
3. zRarg (z) = kπ et ziRarg (z) = π
2+kπ (kZ)
4. z1=z2⇔ |z1|=|z2|et arg(z1) = arg(z2) + 2kπ (kZ)
5. |−z|=|z|et, si z6= 0 : arg (z) = π+ arg (z)
6. |¯z|=|z|et, si z6= 0 : arg (¯z) = arg (z)
Th´eor`eme 2 Si Aet Bont pour affixes respectives zAet zB:
AB =°
°
°
AB°
°
°=|zBzA|et (~u,
AB) = arg(zBzA)
emonstration. Soit Mle point du plan tel que
OM =
AB.
Si zest l’affixe de M, on a z=zBzA.D’o`u AB =°
°
°
AB°
°
°=°
°
°
OM°
°
°=|z|=|zBzA|et
³~u,
AB´=³~u,
OM´= arg (z) = arg (zBzA)
Remarque 5 On a z=a+ib =ρcos θ+sin θ=ρ(cos θ+isin θ)
Cette derni`ere forme d’´ecriture de zest appel´ee forme trigonom´etrique .
Elle se note aussi sous forme condens´ee : [ρ;θ].Donc z=a+ib =ρ(cos θ+isin θ) = [ρ;θ]
Exercice 4 D´eterminer module et argument des complexes z1=1 + iet z2=3 + i
Exercice 5 Le plan complexe est rapport´e au rep`ere orthonormal direct (O;~u, ~v).
Soient A, B, C les points d’affixes respectives 23,3 + 3iet 33i.
1. Faire une figure
2. Calculer les longueurs AB, BC et AC. Conclusion
3. Donner une mesure de ³
AB,
AC´
Indication : ³
AB,
AC´=³
AB, ~u´+³~u,
AC´=³~u,
AC´³~u,
AB´
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