Fiche : Nombres complexes - H

 si b = 0 alors le nombre complexe est réel
 si a = 0 alors le nombre complexe est dit imaginaire pur
le nombre conjugué de z, noté
z
, est le nombre réel a – ib
le module de z, noté |z| est le réel positif
b²a² 
z est réel si z =
z
z est un imaginaire pur  z = –
z
Propriétés
Pour tous nombres complexes z et z’ :
 |z|² = z
z
z'z
=
z
+
z'
;
z
= z ;
zz'
=
z
×
z'
 pour z ≠ 0,
z
1
=
z
1
et
z
z'
=
z
z'
z
1
=
b²a² iba
 pour n Z,
n
z
=
n
z
 Re(z) =
2zz 
et Im(z) =
2izz 
Equations du second degré
L’équation az² + bz + c = 0 (a, b, c réels et a ≠ 0) de discriminant Δ = b² – 4ac, admet :
_ si Δ = 0, une solution unique : –
2a
b
_ si Δ > 0, 2 solutions réelles :
2a
Δ-b-
et
2a
Δb
_ si Δ < 0, 2 solutions complexes conjuguées :
2a
Δ-i-b-
et
2a
Δ-ib 
.
Représentation graphique
z = a + ib, avec a et b réels, M de coordonnées (a ; b)
M point image de z  z affixe de M
OM
vecteur image de z  z affixe de
OM
_ Tout point M(a ; b) est le point image d’un seul couple z = a + ib. On dit que z est l’affixe
du point M et du vecteur
OM
.
On note M(z) pour signifier que le point M a pour affixe z.
_ Le plan est alors appelé Plan complexe.
Définitions
noté C, contient R, tel que i² = -1
z = a + ib où a et b sont 2 nombres réels : écriture algébrique du nombre complexe z
a = Re(z) et b = Im(z)
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Fiche: Nombres complexes

Forme trigonométrique
Pour tout nombre complexe z non nul, d’image M de coordonnées cartésiennes (x ; y) et de
coordonnées polaires (r ; α), on a :
une forme trigonométrique :
z = r (cos α + i sin α)
avec r =
y²x² 
= |z| cos(α) =
r
x
et sin(α) =
r
y
α = arg(z) [2π].
Propriétés des modules
Soit z et z’ deux nombres complexes.
 |z| = 0  z = 0
 |
z
| = |z|
 |–z| = |z|
 |zz’| = |z| × |z’|
 pour z ≠ 0,
z
1
=
z
1
 pour z’ ≠ 0,
z'
z
=
z'
z
n Z, |zn| = |z|n
 |z + z’| ≤ |z| + |z’|
Propriété des arguments
Soit z et z’ 2 nombres complexes non nuls.
 arg(
z
) = – arg(z) [2π]
 arg(–z) = π + arg(z) [2π]
 arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2π]
 arg(
z
1
) = – arg(z) [2π]
 arg(
z'
z
) = arg(z) – arg(z’) [2π]
n Z, arg(zn) = n arg(z) [2π]
Forme exponentielle
z = r eiα : une forme exponentielle de z.
f(α) = cos α + i sin α : sous forme exponentielle eiα
zn  (rn ; nα)  z = rn einα
(cos α + i sin α)n = cos(nα) + i sin(nα)
Règles de calcul
Pour tous les réels α et α’, on a :
 ei α eiα’ = ei (α + α’) 
iα
e1
= e–iα =
iα
e
' iα
iα
e
e
= ei (α – α’)
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Distances et angles orientés
Soit A, B et C 3 points distincts 2 à 2, d’affixes respectives zA, zB et zC :
 |zB – zA| = AB et arg(zB – zA) = (
u
;
AB
) [2π]
CA
CB z - z z - z
=
CA
CB
et arg
CA
CB z - z z - z
= (
CA
;
CB
) [2π]
 A, B, C alignés  arg
CA
CB z - z z - z
= 0 [2π]
 (CA) (CB)  arg
CA
CB z - z z - z
=
2
[2π].
Translation
t
w
(b) : M(z)  M’(z’)
z’ = z + b
Homothétie
h(Ω ; k) : M(z)  M’(z)
z’– ω = k(z – ω)
Rotation
r(Ω ; θ) : M(z)  M’(z)
z’– ω = eiθ (z – ω)
Equation complexe du cercle
Cercle C de centre A(a) et de rayon r > 0 :
z = a + reiθ avec M(z) C et θ [ 0 ; 2π].
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