Fonctions trigonométriques A. Définition des fonctions cosinus et sinus. Définitions : O; i; j un repère du plan. On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1. ( ) Le sens positif, est par convention le sens inverse des aiguilles d’une montre. M un point du cercle trigonométrique. On mesure la longueur de l'arc orienté IM par exemple en faisant rouler le cercle sur l’axe (∆ ). Le périmètre du cercle est 2π . I' Donc par exemple l’arc orienté IJ mesure : J' (∆ ) π 2 x étant la mesure de l’arc orienté IM , on pose cos x l’abscisse de M et sin x l’ordonnée de M. On a donc : M ( cos x ; sin x ) Exercice 1 : En utilisant la définition, déterminer cos x et sin x pour x = 0 ; x = x 0 π π Point cos x sin x I 1 0 2 J 0 1 I’ -1 0 π π ; x=π; x=− 2 2 − π 2 J’ 0 -1 Relation fondamentale de la trigonométrie : Comme OM = 1 on a : cos ² x + sin ² x = 1 Exercice 2 : Soit (D ) la droite d’équation y = x On note A et B les points d’intersection de (D ) avec l’axe des abscisses. Déterminer α la mesure de IA : α = π / 4 Déterminer β la mesure de IB : β = π / 4 + π = 5π / 4 Déterminer en utilisant la relation fondamentale de la trigonométrie les valeurs exactes de cos α ; sin α ; cos β et sinβ . cos ²α + sin ²α = 1 ⇒ 2 cos ²α = 1 ⇒ cos α = ± Ici c’est + car selon le cercle cos α > 0 On trouve : cos π 4 = sin π 4 = 1 2 1 2 5π 5π 1 2 = et cos = sin =− =− 2 4 4 2 2 2 B. Parité et périodicité des fonctions cosinus et sinus. Etude de la parité. On considère M un point du cercle trigonométrique On note : IM = x Placer le point M’ du cercle trigonométrique tel que IM ' = − x En déduire une relation entre cos(x) et cos(-x) et une relation entre sin(x) et sin(-x) Théorème : La fonction cosinus est une fonction paire. On a en effet pour tout x, cos ( − x ) = cos ( x ) Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction sinus est une fonction impaire. On a en effet pour tout x, sin(− x) = − sin( x) Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport au point O origine du repère Etude de la périodicité. On considère M un point du cercle trigonométrique. On note : IM = x Le point M’’ du cercle trigonométrique tel que IM '' = x + 2π est tel que M’’ = M cos( x + 2π ) = cos x On a donc : sin( x + 2π ) = sin x Définition : On dira que les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions de période 2π . Par exemple pour la fonction sinus si A ( x;sin x ) alors le point B de la courbe d’abscisse x + 2π a aussi pour ordonnées sin x . On observe que B est l’image du point A par la translation de vecteur 2π i . Ainsi, il suffira d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur des intervalles de longueur 2π. Exercice 3 : On considère M un point du cercle trigonométrique. On note : IM = x Placer le point M’ du cercle trigonométrique tel que IM ' = x + π cos( x + π ) = − cos x En déduire deux relations. sin( x + π ) = − sin x C. Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus. Résultats admis : sin x lim =1 x →0 x Pour tout a réel : lim cos( x) = cos(a ) (Ce qui revient à admettre la continuité de la fonction cosinus) x →a lim sin( x) = sin(a ) (Ce qui revient à admettre la continuité de la fonction sinus) x →a Formules d’addition : cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b donc : cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a donc : sin ( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a Lemme : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en 0. De plus sin'(0) = 1 et cos'(0) = 0 Démonstration : sin x − sin 0 sin x lim = lim = 1 donc sinus est dérivable en 0 et sin'(0) = 1 x →0 x →0 x−0 x cos x − cos 0 cos x − 1 cos x + 1 − sin ² x sin x − sin x lim = lim × = lim = lim × = 0 donc cosinus est x →0 x →0 x−0 x cos x + 1 x →0 x ( cos x + 1) x →0 x cos x + 1 dérivable en 0 et cos'(0) = 0 . Théorème fondamental : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et : cos'( x) = − sin( x) sin'( x) = cos( x) Démonstration : cos( x) − cos(a ) cos(a + h) − cos a lim = lim en posant x – a = h. x →a h →0 x−a h cos(a + h) − cos a cos(a ) cosh − sin(a ) sin(h) − cos a cos(h) − 1 sin(h) Puis : = = cos a × − sin(a ) × h h h h cos(h) − 1 sin(h) D’après le lemme comme cos est dérivable en 0 lim = cos'(0) = 0 et lim = 1 on obtient alors h →0 h → 0 h h cos(a + h) − cos a lim = − sin a . Donc cosinus est dérivable en a et cos'(a ) = − sin(a ) . h →0 h Même démonstration pour la fonction sinus… Autres dérivées à connaitre. Soit f définie sur ℝ par : f ( x) = cos ( ax + b ) . Alors f est dérivable sur ℝ et f '( x) = − a sin ( ax + b ) Soit g définie sur ℝ par : g ( x) = sin ( ax + b ) . Alors g est dérivable sur ℝ et g '( x) = a cos ( ax + b ) D. Calculs de Primitives : Théorème Une primitive sur ℝ de f ( x) = sin x est F ( x) = − cos x Une primitive sur ℝ de f ( x) = cos x est F ( x) = sin x Théorème Fonction f Primitive F f ( x) = u 'sin(u ) F ( x) = − cos(u ) f ( x) = u 'cos(u ) F ( x) = sin(u ) Théorème : Cas particulier 1 Une primitive sur ℝ de f ( x) = sin ( ax + b ) est F ( x) = − cos ( ax + b ) a 1 Une primitive sur ℝ de f ( x) = cos ( ax + b ) est F ( x) = sin ( ax + b ) a Démonstration : Un exercice classique…. Exercice 4 : Déterminer les primitives des fonctions suivantes : f ( x) = sin x.cos 2 x sin x π g ( x) = sur 0; cos x 4 E. Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus. Etude de la fonction cosinus Comme la fonction cos est de période 2π il suffit de l’étudier sur [ −π ; π ] Comme elle est paire par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées il suffit de l’étudier sur [ 0; π ] cos’(x)= - sin(x) Sur [ 0; π ] , sin ( x ) ≥ 0 (Voir cercle trigo) x cos’(x) = -sin(x) cos(x) π 0 0 - 0 1 -1 x cos(x) 0 1 π /6 3 2 π /4 2 2 π /3 1 2 π /2 0 Etude de la fonction sinus Comme la fonction sinus est de période 2π il suffit de l’étudier sur [ −π ; π ] Comme elle est impaire par symétrie par rapport à l’origine il suffit de l’étudier sur [ 0; π ] sin’(x)= cos(x) π π Sur 0; , cos ( x ) ≥ 0 et sur ; π , cos ( x ) ≤ 0 (Voir cercle trigo) 2 2 x 0 π /2 π sin’(x) = cos(x) 1 + 0 -1 1 sin (x) 0 0 x sin (x) 0 0 π /6 1 2 π /4 2 2 F. Rappels sur les équations cosx = cosa et sinx = sina. Equation : cos x = cos a Solutions sur ℝ : x = a + 2 kπ ou x = − a + 2k ' π Equation : sin x =sin a Solutions sur ℝ : x = a + 2k π ou x = π − a + 2k ' π Exercice 5 : 1° Résoudre sur [ 0; 2π ] 2 sin x + 1 = 0 π 2° a. Montrer que pour tout reel x, sin x + = cos x 2 b. Résoudre sur [ −π ; π ] , sin ( 2 x ) = cos( x) π /3 3 2 π /2 1