12 Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques
A. Définition des fonctions cosinus et sinus.
Définitions :
O; i; j un repère du plan. On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1.
(
)
Le sens positif, est par convention le sens inverse des aiguilles d’une montre.
M un point du cercle trigonométrique.
On mesure la longueur de l'arc orienté IM par exemple en faisant
rouler le cercle sur l’axe (∆ ).
Le périmètre du cercle est 2π .
I'
Donc par exemple l’arc orienté IJ mesure :
J'
(∆ )
π
2
x étant la mesure de l’arc orienté IM , on pose cos x l’abscisse de M
et sin x l’ordonnée de M.
On a donc : M ( cos x ; sin x )
Exercice 1 : En utilisant la définition, déterminer cos x et sin x pour x = 0 ; x =
x
0
π
π
Point
cos x
sin x
I
1
0
2
J
0
1
I’
-1
0
π
π
; x=π; x=−
2
2
−
π
2
J’
0
-1
Relation fondamentale de la trigonométrie :
Comme OM = 1 on a : cos ² x + sin ² x = 1
Exercice 2 :
Soit (D ) la droite d’équation y = x
On note A et B les points d’intersection de (D ) avec l’axe
des abscisses.
Déterminer α la mesure de IA : α = π / 4
Déterminer β la mesure de IB : β = π / 4 + π = 5π / 4
Déterminer en utilisant la relation fondamentale de la
trigonométrie les valeurs exactes de cos α ; sin α ; cos β et
sinβ .
cos ²α + sin ²α = 1 ⇒ 2 cos ²α = 1 ⇒ cos α = ±
Ici c’est + car selon le cercle cos α > 0
On trouve : cos
π
4
= sin
π
4
=
1
2
1
2
5π
5π
1
2
=
et cos
= sin
=−
=−
2
4
4
2
2
2
B. Parité et périodicité des fonctions cosinus et sinus.
Etude de la parité.
On considère M un point du cercle trigonométrique
On note : IM = x
Placer le point M’ du cercle trigonométrique tel que IM ' = − x
En déduire une relation entre cos(x) et cos(-x) et une relation entre sin(x)
et sin(-x)
Théorème :
La fonction cosinus est une fonction paire. On a en effet pour tout x, cos ( − x ) = cos ( x )
Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
La fonction sinus est une fonction impaire.
On a en effet pour tout x, sin(− x) = − sin( x)
Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport au point O origine du repère
Etude de la périodicité.
On considère M un point du cercle trigonométrique. On note : IM = x
Le point M’’ du cercle trigonométrique tel que IM '' = x + 2π est tel que M’’ = M
cos( x + 2π ) = cos x
On a donc :
sin( x + 2π ) = sin x
Définition : On dira que les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions de période 2π .
Par exemple pour la fonction sinus si A ( x;sin x ) alors le point B
de la courbe d’abscisse x + 2π a aussi pour ordonnées sin x .
On observe que B est l’image du point A par la translation de
vecteur 2π i .
Ainsi, il suffira d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur des
intervalles de longueur 2π.
Exercice 3 :
On considère M un point du cercle trigonométrique. On note : IM = x
Placer le point M’ du cercle trigonométrique tel que IM ' = x + π
cos( x + π ) = − cos x
En déduire deux relations.
sin( x + π ) = − sin x
C. Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus.
Résultats admis :
sin x
lim
=1
x →0
x
Pour tout a réel : lim cos( x) = cos(a ) (Ce qui revient à admettre la continuité de la fonction cosinus)
x →a
lim sin( x) = sin(a ) (Ce qui revient à admettre la continuité de la fonction sinus)
x →a
Formules d’addition :
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b donc : cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a donc : sin ( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a
Lemme : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en 0. De plus sin'(0) = 1 et cos'(0) = 0
Démonstration :
sin x − sin 0
sin x
lim
= lim
= 1 donc sinus est dérivable en 0 et sin'(0) = 1
x →0
x →0
x−0
x
cos x − cos 0
cos x − 1 cos x + 1
− sin ² x
sin x − sin x
lim
= lim
×
= lim
= lim
×
= 0 donc cosinus est
x →0
x →0
x−0
x
cos x + 1 x →0 x ( cos x + 1) x →0 x
cos x + 1
dérivable en 0 et cos'(0) = 0 .
Théorème fondamental :
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et :
cos'( x) = − sin( x)
sin'( x) = cos( x)
Démonstration :
cos( x) − cos(a )
cos(a + h) − cos a
lim
= lim
en posant x – a = h.
x →a
h →0
x−a
h
cos(a + h) − cos a cos(a ) cosh − sin(a ) sin(h) − cos a
cos(h) − 1
sin(h)
Puis :
=
= cos a ×
− sin(a ) ×
h
h
h
h
cos(h) − 1
sin(h)
D’après le lemme comme cos est dérivable en 0 lim
= cos'(0) = 0 et lim
= 1 on obtient alors
h →0
h
→
0
h
h
cos(a + h) − cos a
lim
= − sin a . Donc cosinus est dérivable en a et cos'(a ) = − sin(a ) .
h →0
h
Même démonstration pour la fonction sinus…
Autres dérivées à connaitre.
Soit f définie sur ℝ par : f ( x) = cos ( ax + b ) . Alors f est dérivable sur ℝ et f '( x) = − a sin ( ax + b )
Soit g définie sur ℝ par : g ( x) = sin ( ax + b ) . Alors g est dérivable sur ℝ et g '( x) = a cos ( ax + b )
D. Calculs de Primitives :
Théorème
Une primitive sur ℝ de f ( x) = sin x est F ( x) = − cos x
Une primitive sur ℝ de f ( x) = cos x est F ( x) = sin x
Théorème
Fonction f
Primitive F
f ( x) = u 'sin(u )
F ( x) = − cos(u )
f ( x) = u 'cos(u )
F ( x) = sin(u )
Théorème : Cas particulier
1
Une primitive sur ℝ de f ( x) = sin ( ax + b ) est F ( x) = − cos ( ax + b )
a
1
Une primitive sur ℝ de f ( x) = cos ( ax + b ) est F ( x) = sin ( ax + b )
a
Démonstration : Un exercice classique….
Exercice 4 :
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
f ( x) = sin x.cos 2 x
sin x
 π
g ( x) =
sur 0; 
cos x
 4
E. Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus.
Etude de la fonction cosinus
Comme la fonction cos est de période 2π il suffit de l’étudier sur [ −π ; π ]
Comme elle est paire par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées il suffit de l’étudier sur [ 0; π ]
cos’(x)= - sin(x)
Sur [ 0; π ] , sin ( x ) ≥ 0 (Voir cercle trigo)
x
cos’(x) = -sin(x)
cos(x)
π
0
0
-
0
1
-1
x
cos(x)
0
1
π /6
3
2
π /4
2
2
π /3
1
2
π /2
0
Etude de la fonction sinus
Comme la fonction sinus est de période 2π il suffit de l’étudier sur [ −π ; π ]
Comme elle est impaire par symétrie par rapport à l’origine il suffit de l’étudier sur [ 0; π ]
sin’(x)= cos(x)
 π
π 
Sur 0;  , cos ( x ) ≥ 0 et sur  ; π  , cos ( x ) ≤ 0 (Voir cercle trigo)
 2
2 
x
0
π /2
π
sin’(x) = cos(x) 1
+
0
-1
1
sin (x)
0
0
x
sin (x)
0
0
π /6
1
2
π /4
2
2
F. Rappels sur les équations cosx = cosa et sinx = sina.
Equation : cos x = cos a
Solutions sur ℝ :
 x = a + 2 kπ

ou
 x = − a + 2k ' π

Equation : sin x =sin a
Solutions sur ℝ :
 x = a + 2k π

ou
 x = π − a + 2k ' π

Exercice 5 :
1° Résoudre sur [ 0; 2π ]
2 sin x + 1 = 0
π

2° a. Montrer que pour tout reel x, sin  x +  = cos x
2

b. Résoudre sur [ −π ; π ] , sin ( 2 x ) = cos( x)
π /3
3
2
π /2
1