12 Fonctions trigonométriques

A. Définition des fonctions cosinus et sinus.
Définitions :
(
)
O; i; j
un repère du plan. On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1.
Le sens positif, est par convention le sens inverse des aiguilles d’une montre.
M un point du cercle trigonométrique.
On mesure la longueur de l'arc orienté
IM
par exemple en faisant
rouler le cercle sur l’axe (∆ ).
Le périmètre du cercle est
2
π
.
Donc par exemple l’arc orienté
IJ
mesure : 2
π
x étant la mesure de l’arc orienté
IM
, on pose cos x l’abscisse de M
et sin x l’ordonnée de M.
On a donc :
( )
cos ; sin
M x x
Exercice 1 : En utilisant la définition, déterminer cos x et sin x pour x = 0 ; x ; x ; x
2 2
π π
= = π = −
x 0
2
π
π
2
π
−
Point I J I’ J’
cos x 1 0 -1 0
sin x 0 1 0 -1
Relation fondamentale de la trigonométrie :
Comme OM = 1 on a :
cos ² sin ² 1
x x
+ =
Exercice 2 :
Soit (D ) la droite d’équation y = x
On note A et B les points d’intersection de (D ) avec l’axe
des abscisses.
Déterminer
α
la mesure de
IA
: / 4 α π =
Déterminer
β
la mesure de
IB
:
/ 4 5 / 4
β π π π = + =
Déterminer en utilisant la relation fondamentale de la
trigonométrie les valeurs exactes de
cos
α
;
sin
α
;
cos
β
et
sin
β
.
1
cos ² sin ² 1 2cos ² 1 cos
2
α α α α + = ⇒ = ⇒ = ±
Ici c’est + car selon le cercle
cos 0
α
>
On trouve :
1 2
cos sin
4 4 2
2
π π
= = = et
5 5 1 2
cos sin
4 4 2
2
π π
= = − = −
Fonctions trigonométriques
I'
J'
( ∆ )

B. Parité et périodicité des fonctions cosinus et sinus.
Etude de la parité.
On considère M un point du cercle trigonométrique
On note :
IM x
=
Placer le point M’ du cercle trigonométrique tel que '
IM x
= −
En déduire une relation entre cos(x) et cos(-x) et une relation entre sin(x)
et sin(-x)
Théorème :
La fonction cosinus est une fonction paire. On a en effet pour tout x,
( ) ( )
cos cos
x x
− =
Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
La fonction sinus est une fonction impaire. On a en effet pour tout x,
sin( ) sin( )
x x
− = −
Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport au point O origine du repère
Etude de la périodicité.
On considère M un point du cercle trigonométrique. On note :
IM x
=
Le point M’’ du cercle trigonométrique tel que
'' 2
IM x
π
= + est tel que M’’ = M
On a donc :
cos( 2 ) cos
sin( 2 ) sin
x x
x x
π
π
+ =
+ =
Définition : On dira que les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions de période
2
π
.
Par exemple pour la fonction sinus si
(
)
;sin
A x x
alors le point B
de la courbe d’abscisse
2
x
π
+
a aussi pour ordonnées
sin
x
.
On observe que B est l’image du point A par la translation de
vecteur
2
i
π
.
Ainsi, il suffira d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur des
intervalles de longueur 2
π
.
Exercice 3 :
On considère M un point du cercle trigonométrique. On note :
IM x
=
Placer le point M’ du cercle trigonométrique tel que ' IM x
π
= +
En déduire deux relations. cos( ) cos
sin( ) sin
x x
x x
ππ + = −
+ = −

C. Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus.
Résultats admis :
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
Pour tout a réel :
lim cos( ) cos( )
x a
x a
→
= (Ce qui revient à admettre la continuité de la fonction cosinus)
lim sin( ) sin( )
x a
x a
→
= (Ce qui revient à admettre la continuité de la fonction sinus)
Formules d’addition :
(
)
cos cos cos sin sin
a b a b a b
+ = − donc :
(
)
cos cos cos sin sin
a b a b a b
− = +
(
)
sin sin cos sin cos
a b a b b a
+ = + donc :
(
)
sin sin cos sin cos
a b a b b a
− = −
Lemme : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en 0. De plus
sin'(0) 1
=
et
cos'(0) 0
=
Démonstration :
0 0
sin sin 0 sin
lim lim 1
0
x x
x x
x x
→ →
−
= =
−donc sinus est dérivable en 0 et
sin'(0) 1
=
( )
0 0 0 0
cos cos 0 cos 1 cos 1 sin ² sin sin
lim lim lim lim 0
0 cos 1 cos 1 cos 1
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
→ → → →
− − + − −
= × = = × =
− + + +
donc cosinus est
dérivable en 0 et
cos'(0) 0
=
.
Théorème fondamental :
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur
ℝ
et :
cos'( ) sin( )
sin'( ) cos( )
x x
x x
= −
=
Démonstration :
0
cos( ) cos( ) cos( ) cos
lim lim
x a h
x a a h a
x a h
→ →
− + −
=
− en posant x – a = h.
Puis :
cos( ) cos cos( ) cosh sin( ) sin( ) cos cos( ) 1 sin(
)
cos sin( )
a h a a a h a h h
a a
h h h h
+ − − − −
= = × − ×
D’après le lemme comme cos est dérivable en 0
0
cos( ) 1
lim cos'(0) 0
h
h
h
→
−
= =
et
0
sin( )
lim 1
h
h
h
→
=
on obtient alors
0
cos( ) cos
lim sin
h
a h a
a
h
→
+ −
= − . Donc cosinus est dérivable en a et
cos'( ) sin( )
a a
= −
.
Même démonstration pour la fonction sinus…
Autres dérivées à connaitre.
Soit f définie sur
ℝ
par :
(
)
( ) cos
f x ax b
= +
. Alors f est dérivable sur
ℝ
et
(
)
'( ) sin
f x a ax b
= − +
Soit g définie sur
ℝ
par :
(
)
( ) sin
g x ax b
= +
. Alors g est dérivable sur
ℝ
et
(
)
'( ) cos
g x a ax b
= +

D. Calculs de Primitives :
Théorème
Une primitive sur
ℝ
de
( ) sin
f x x
=
est
( ) cos
F x x
= −
Une primitive sur
ℝ
de
( ) cos
f x x
=
est
( ) sin
F x x
=
Théorème
Fonction f Primitive F
( ) 'sin( )
f x u u
=
( ) cos( )
F x u
= −
( ) 'cos( )
f x u u
=
( ) sin( )
F x u
=
Théorème : Cas particulier
Une primitive sur
ℝ
de
(
)
( ) sin
f x ax b
= +
est
( )
1
( ) cos
F x ax b
a
= − +
Une primitive sur
ℝ
de
(
)
( ) cos
f x ax b
= +
est
( )
1
( ) sin
F x ax b
a
= +
Démonstration : Un exercice classique….
Exercice 4 :
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
2
( ) sin .cos
f x x x
=
sin
( )
cos
x
g x
x
= sur
0;
4
π
E. Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus.
Etude de la fonction cosinus
Comme la fonction cos est de période
2
π
il suffit de l’étudier sur
[
]
;
π π
−
Comme elle est paire par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées il suffit de l’étudier sur
[
]
0;
π
cos’(x)= - sin(x)
Sur
[
]
0;
π
,
(
)
sin 0
x
≥
(Voir cercle trigo)
x 0
π
cos’(x) = -sin(x) 0 - 0
cos(x)
x 0
/ 6
π
/ 4
π
/ 3
π
/ 2
π
cos(x) 1
3
2
2
2
1
2
0
1
-1

Etude de la fonction sinus
Comme la fonction sinus est de période
2
π
il suffit de l’étudier sur
[
]
;
π π
−
Comme elle est impaire par symétrie par rapport à l’origine il suffit de l’étudier sur
[
]
0;
π
sin’(x)= cos(x)
Sur
0;
2
π
,
(
)
cos 0
x
≥
et sur
;
2
π
π
,
(
)
cos 0
x
≤
(Voir cercle trigo)
x 0
/ 2
π
π
sin’(x) = cos(x) 1 + 0 - -
1
sin (x)
x 0
/ 6
π
/ 4
π
/ 3
π
/ 2
π
sin (x) 0
1
2
2
2
3
2
1
F. Rappels sur les équations cosx = cosa et sinx = sina.
Equation : cos x = cos a
Solutions sur
ℝ
:
2
2 '
x a k
ou
x a k
π
π
= +
= − +
Equation : sin x =sin a
Solutions sur
ℝ
:
2
2 '
x a k
ou
x a k
π
π π
= +
= − +
Exercice 5 :
1° Résoudre sur
[
]
0; 2
π
2 sin 1 0
x
+ =
2° a. Montrer que pour tout reel x,
sin cos
2
x x
π
+ =
b. Résoudre sur
[
]
;
π π
− ,
(
)
sin 2 cos( )
x x
=
1
0 0