Probabilités et statistiques M2MT01

Probabilités et statistiques
M2MT01 - TD5
Convergence en loi (suite)
Exercice 1 Soit (Yn ) une suite de variables aléatoires de loi binômiale de paramètres (n, pn ). On suppose que lim npn = θ avec θ ∈]0, +∞[. Montrer que la suite
n→+∞
(Yn ) converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre θ.
Cette approximation est utile quand n est grand car le calcul numérique des
coefficients binômiaux Cnk est peu efficace.
Exercice 2 Soit (Un ) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi
uniforme sur l’intervalle [0, θ]. On pose pour n ≥ 1, Xn = max Ui .
1≤i≤n
1. Montrer que (Xn ) converge p.s. et déterminer sa limite. On pourra calculer
P(|Xn − θ| > ε).
2. Etudier la convergence en loi de la suite (n(θ − Xn )).
Exercice 3 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de
n
X
Xk . Etudier la convergence en loi et
Cauchy de paramètre a > 0. On note Sn =
k=1
en probabilité des suites :
Sn
1. √ .
n
Sn
2.
.
n2
Sn
3.
. On pourra déterminer la loi de
n
ne tend pas en probabilité vers 0.
S2n
2n
−
Sn
n
et en déduire que cette suite
Exercice 4 Soit (Un ) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi
uniforme sur [0, 1]. Soit α > 0.
1. Pour n > 0, on pose Xn = (U1 · · · Un )α/n . Montrer que la suite (Xn ) converge
p.s. et donner sa limite.
√
2. Montrer que la suite (Yn ) définie par Yn = [Xn eα ]
miner la loi limite.
n
converge en loi et déter-
Exercice 5 Soit X une variable aléatoire réelle, M la fonction définie par M (t) =
E[etX ]. On suppose que U = {t, M (t) < +∞} est un voisinage de 0.
1
1. Montrer que les fonctions M et L = ln M sont convexes sur U . (On devra dans
un premier temps montrer que U est un intervalle)
2. On suppose que E[X] < 0 et que P(X > 0) > 0. On suppose également que
lim M (t) = +∞.
t→sup U
Soit ρ = inf M (t). Montrer que 0 < ρ < 1 et que ρ = M (τ ) pour un τ > 0.
Montrer que P(X ≥ 0) ≤ ρ.
3. Soit Z une variable aléatoire réelle de loi définie par
dPZ (x) =
eτ x dPX (x)
M (τ )
et MZ la transformée de Laplace de Z. Montrer que MZ (t) =
s2 = V ar(Z) =
M 00 (τ )
M (τ )
M (t+τ )
,
M (τ )
E[Z] = 0,
·
4. On pose p = P(Z ≥ 0). Montrer que
P(X ≥ 0)
τs
0 ≤ − ln
≤
− ln p.
ρ
p
5. On pose m4 = E[Z 4 ]. Montrer les inégalités suivantes :
1/2
E[Z+2 ] ≤ p1/2 m4
1/3
E[Z−2 ] ≤ E[Z− ]2/3 m4
1/4
E[Z− ] = E[Z+ ] ≤ m4 p3/4 .
6. En déduire une minoration de P(X ≥ 0).
7. Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi
que X. On pose Sn = X1 + · · · + Xn . Montrer que
lim
n→+∞
1
ln P(Sn ≥ 0) = ln ρ.
n
8. Soit a un réel tel que E[X] < a, P(X > a) > 0. Trouver une majoration et une
minoration de P(X ≥ a).
9. Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que
X avec E[X] < a et P(X > a) > 0. En posant Sn = X1 + · · · Xn , montrer que
1
Sn
lim
ln P
≥ a = inf(ln M (t) − at).
n→+∞ n
n
2