(TD.1)

UFR Sciences et Techniques Année 2007-2008
Master 1 de Mathématiques L3 Statistiques
Feuille de TD no1
Simulation d’une loi de probabilité
Exercice 1
1) Démontrer que le 13-échantillon : 0112212200120, obtenu au paragraphe 2.6. du
cours est bien un 13-échantillon observé de la loi discrète
i 0123
P(X=i) 1/8 3/8 3/8 1/8
2) Même question concernant l’échantillon 011121232221221obtenu par la deuxième
méthode.
Exercice 2
1) Soit Uune variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. Trouver la loi de X=−ln U(on
remarquera que Xest à valeurs positives).
2) En déduire une procédure pour réaliser un n-échantillon de la loi exponentielle de para-
mètre λ > 0à partir d’un générateur de la loi uniforme sur [0,1].
Exercice 3
1) Soient Eet Θdeux variables aléatoires indépendantes et de loi respectives la loi expo-
nentielle de paramètre 1
2et la loi uniforme sur [0,2π]. Montrer que les variables aléatoires
définies par
X=√Ecos Θ et Y=√Esin Θ,
sont deux variables aléatoires indépendantes et de même loi normale N(0,1). (indication :
calculer la loi du couple (X, Y )).
2) En déduire comment à partir de 2 variables aléatoires indépendantes Uet Vde loi uniforme
sur [0,1], on peut obtenir 2 variables aléatoires normales N(0,1) indépendantes.
3) Utiliser une table de nombres au hasard pour simuler un 10-échantillon issu de la loi
N(0,1).
Remarque : La méthode précédente (algorithme de Box et Müller) est utilisée dans les
logiciels informatique comme générateur de la loi N(0,1).
Exercice 4
Dans un pile ou face on appelle «série», toute suite maximale de piles consécutifs ou de faces
consécutifs. Par exemple si on joue 20 fois à pile ou face et qu’on obtient :
00011100110111001100,

on observe 9 séries c’est à dire 9 blocs formés d’un même chiffre (5 séries constituées de 0
(face) et 4 séries constituées de 1(pile)).
On effectue nlancers et soient X1,X2,...,Xnles résultats obtenus. On suppose les Xki.i.d.
et de loi donnée telle que P(Xk= 1) = P(Xk= 0) = 1/2(i.e. la pièce est équilibrée). Soit N
la variable aléatoire nombre de séries dans la suite X1,X2,...,Xndes nlancers.
Pour i= 2,3, . . . , n, on considère la variable indicatrice
Yi=1[Xi−16=Xi],
qui prend la valeur 1si Xi−16=Xiet 0si Xi−1=Xi.
1) Vérifier que
N= 1 + Y1+Y2+··· +Yn.
2) Démontrer que E(N) = 1 + n−1
2et V ar(N) = n−1 4.
3) 0n lance 20 fois une pièce supposée équilibrée et on obtient :
11111000001111100000.
En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev, montrer que ce résultat fait suspecter que
la pièce est truquée. Monter qu’il en est de même si on obtient le résultat
10101010101010101010.
4) Si la pièce est telle que P(Xk= 1) = pet P(Xk= 0) = q= 1 −p, montrer que
E(N) = 1 + 2(n−1)pq et V ar(N) = 2pq[2n−3−2pq(3n−5)].