Memento Fichier

Master de Mathématiques
2011/2012
Memento
A
Loi forte des grands nombres
Théorème 1
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires intégrables à valeurs dans Rn , définies sur
un espace probabilisé (Ω, F, P ). On suppose que ces variables ont même loi et sont deux à
deux indépendantes. Alors la suite n1 (X1 + ... + Xn ) converge vers EX1 presque sûrement et
dans L1 .
B
Théorème limite central
Définition 2 (Convergence en loi)
a) Soient (µn )n≥1 et µ des mesures finies sur Rn . On dit que la suite (µn )n≥1
R convergeRen loi
n
vers µ si pour toute application continue et bornée f de R dans R on a lim f dµn = f dµ.
n→∞
b) Soient (Xn )n≥1 et X des variables aléatoires à valeurs dans Rn (éventuellement définies sur
des espaces probabilisés différents, bien que dans la suite toutes les probabilités soient notées
par la même lettre P ). On dit que la suite (Xn )n≥1 converge en loi vers X (resp. une probabilité
µ sur Rn ) si la suite (PXn )n≥1 converge en loi vers PX (resp. µ ).
L
L
L
Cette convergence sera notée µn → µ ou Xn → X ou Xn → µ.
Lemme 3 (Lemme de Helly-Bray)
Soient (Xn )n≥1 et X des variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé
(Ω, F, P ). On note Fn (resp. F ) la fonction de répartition de Xn (resp. X ). Les trois conditions
suivantes sont équivalentes :
a) la suite (Xn )n≥1 converge en loi vers X
b) en tout point t où F est continue on a lim Fn (t) = F (t)
n→∞
c) il existe un ensemble D dénombrable et dense dans R tel qu’en tout point t de D on ait
lim Fn (t) = F (t).
n→∞
1
Théorème 4 (Théorème limite central)
Soit (Xn )n≥1 une suite indépendante de variables de même loi, de carré intégrable. Posons
P
Sn
m = EX1 , σ 2 = V X1 et pour n ≥ 1 Sn = ni=1 Xi et X n = . On suppose que σ > 0.
n
√
n(X n − m)
Sn − n.m
√
=
converge en loi vers la loi N (0, 1).
La suite
σ
σ n
Corollaire 5
Pour −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞
Sn − nm
1
√
lim P (a ≤
≤ b) = √
n→∞
σ n
2π
Z
a
b
x2
exp(− )dx.
2
Conséquence 6
L’approximation normale consiste à identifier dès que n ≥ 30 les deux probabilités P (a ≤
Rb
Sn −nm
x2
√
√1
≤
b)
et
exp(−
a
2 )dx. Autrement dit on assimile la loi de la variable Sn à celle
σ n
2π
d’une loi normale de même espérance et de même variance, i.e. à une loi N (nm, σ 2 n).
C
Statistique d’ordre
Hypothèse 7
X1 ,...,Xn est une suite indépendante de variables aléatoires, définies sur un espace probabilisé (Ω, F, P ), suivant une même loi continue Q. On suppose que pour i 6= j ∈ [1..n] on
a P (Xi = Xj ) = ∅.
Définition 8
1) On appelle statistique d’ordre de la suite X = (X1 , ..., Xn ) la suite U = (U1 , ..., Un ) obtenue
en réordonnant de façon croissante la suite X.
2) On appelle statistique de rang de la suite X l’unique application R de Ω dans Sn , ensemble
de permutations de [1..n], vérifiant
∀ω ∈ Ω ∀ i ∈ [1..n]
Xi (ω) = UR(i) (ω).
Proposition 9
1. La variable U a pour loi n!1D Q⊗n , où
D = {x1 , ..., xn ) ∈ Rn : x1 < x2 < ... < xn }.
2. La variable R a pour loi l’équipartition sur Sn . De façon équivalente si l’on définit une
variable aléatoire R0 par R0 = (R(1), ..., R(n)), les variables R(1), ..., R(n) sont indépendantes et ont pour loi l’équipartition sur [1..n].
3. Les variables U et R sont indépendantes.
2
D
Loi normale
Lemme 10
Si X1 , ..., Xn est une suite indépendante de variables aléatoires réelles ayant pour loi la
loi normale N (0, 1), le vecteur aléatoire X = (X1 , ..., Xn ) admet pour densité l’ application
n
Y
n
1
1
1
R 3 x −→ g0,In (x) =
(2π) 2 exp{− x2i } = (2π)− 2 exp{− kxk2 }.
2
2
i=1
n
La loi correspondante se nomme loi normale de paramètres 0 et In , où In désigne la matrice
unité d’ordre n, et se note N (0, In ).
Proposition 11
Soit Xun vecteur aléatoire suivant une loi N (0, In ), m ∈ Mn,1 (R) et Γ ∈ Mn (R) une
matrice symétrique définie positive. Soit A l’unique matrice symétrique définie positive telle
que A2 = Γ. Le vecteur aléatoire Y = AX + m admet pour densité l’application
n
1
1
gm,Γ (x) = (2π)− 2 (det Γ)− 2 exp{− (x − m)0 Γ−1 (x − m)}.
2
La loi correspondante se nomme loi normale de paramètres m et Γ, et se note N (m, Γ).
Propriété 12
Soit X un vecteur aléatoire suivant une loi N (m, Γ), M une matrice inversible de Mn (R)
et ν un élément de Mn,1 (R).
1) E(X) = m et Γ(X) = Γ.
2) Le vecteur Y = M X + ν a pour loi N (ν + M m, M ΓM 0 ).
3 ) Si X un vecteur aléatoire suivant de N (0, In ) et P une matrice orthogonale, le vecteur
aléatoire P X a pour loi N (0, In ).
E
Loi gamma
Définition 13
La fonction gamma est définie pour tout réel x > 0 par
Z +∞
Γ(x) =
tx−1 e−t dt.
0
Pour tout réel x > 0
Γ(x + 1) = xΓ(x),
donc pour tout entier n ≥ 1 Γ(n) = (n − 1)!.
3
Définition 14
Pour tout couple (a, b) ∈]0, +∞[2 l’application
x → Γ(a)−1 ba e−bx xa−1 1]0,+∞[ (x)
est la densité par rapport à m1 d’une loi de probabilité qu’on notera γ(a, b).
Propriété 15
1. Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes, X (resp. Y ) suivant une loi γ(a1 , b)
(resp. γ(a2 , b)), la variable X + Y suit une loi γ(a1 + a2 , b).
2. La loi exponentielle Eλ de paramètre λ, de densité λe−λx 1]0,+∞[ (x), est une loi γ(1, λ)
n
P
3. Si (X1 , ..., Xn ) est un échantillon de taille n de la loi Eλ , la somme
Xi suit une loi
i=1
γ(n, λ), appelée loi d’Erlang de paramètre(n, λ).
F
Lois gaussiennes
Définition 16 (Loi du khi-deux)
La loi du khi-deux à n degrés de liberté, notée χ2n , est la loi d’une somme X12 + ... + Xn2 ,
où la suite X1 , ..., Xn est un échantillon de taille n de la loi la loi normale N (0, 1). On a
χ2n = γ( n2 , 12 ).
Définition 17 (Loi de Student)
Une loi de Student tn est la loi d’un quotient √U , où U et V sont des variables aléatoires
V /n
réelles indépendantes, U suivant une loi normale N (0, 1) et V une loi du χ2 à n degrés de
liberté.
Remarque 18
Si (Xn )n∈N est une suite indépendante de variables ayant toutes pour loi N (0, 1), la
p
variable Yn = X0 / (X12 + ... + Xn2 )/n a pour loi tn . Quand n tend vers l’infini, (X12 + ... +
Xn2 )/n tend presque sûrement vers EX12 = 1 d’après la loi forte des grands nombres. Par
conséquent Yn tend presque sûrement vers X0 . Il en résulte que lorsque n tend vers l’infini la
suite tn tend en loi vers la loi normale N (0, 1). Par ailleurs t1 = C1 .
Définition 19 (Loi de Fisher-Snedecor)
La loi de Fischer-Snedecor Fn,m est la loi d’un quotient VU/n
/m , où U et V sont des variables
aléatoires réelles indépendantes, U suivant une loi du χ2 à n degrés de liberté et V une loi du
χ2 à m degrés de liberté.
4
Théorème 20
Si X1 ,...,Xn sont des variables aléatoires réelles indépendantes ayant toutes pour loi la loi
normale N (0, 1), les variables
n
n
X
X
1
2
2
X n = (X1 + ... + Xn ) et U =
Xi2 − nX n .
(Xi − X n ) =
n
i=1
i=1
sont indépendantes, et U a pour loi χ2n−1 .
G
Le théorème de Skorokhod
Théorème 21
Soit (µn )n≥1 et µ des probabilités sur R. Si la suite (µn )n≥1 converge en loi vers µ, il existe
un espace probabilisé (Ω, F, P ), des variables aléatoires réelles (Xn )n≥1 et X définies sur cet
espace vérifiant :
i) pour tout n ≥ 1
PXn = µn et PX = µ
ii) ∀ω ∈ Ω
lim Xn (ω) = X(ω).
n→∞
H
Le lemme de Slutsky
Proposition 22
Soit (Xn )n≥1 et (Yn )n≥1 des suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé
(Ω, F, P ) et à valeurs dans Rp , et (Zn )n≥1 une suite de variables aléatoires définies sur Ω et à
L
P
P
L
valeurs dans R. Si Xn → X, Yn → b ∈ Rp et Zn → a ∈ R, alors Zn Xn + Yn → aX + b.
I
Le théorème de Radon-Nicodým
Théorème 23
Soient µ et λ des mesures sur (E, E) telles que µ soit σ-finie et λ absolument continue
par rapport à µ.
1) Il existe une application mesurable h valeurs dans [0, +∞] telle que λ = hµ.Toute autre
application h0 telle que λ = h0 µ est égale à h presque partout pour µ.
2) On peut supposer h à valeurs dans [0, +∞[ si et seulement si la mesure λ est σ-finie.
3) L’application h appartient à L1 (µ) si et seulement si la mesure λ est finie.
5