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Master de Mathématiques 2011/2012
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A Loi forte des grands nombres
Théorème 1
Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires intégrables à valeurs dans Rn, définies sur
un espace probabilisé (Ω,F, P ). On suppose que ces variables ont même loi et sont deux à
deux indépendantes. Alors la suite 1
n(X1+... +Xn)converge vers EX1presque sûrement et
dans L1.
B Théorème limite central
Définition 2 (Convergence en loi)
a) Soient (µn)n≥1et µdes mesures finies sur Rn. On dit que la suite (µn)n≥1converge en loi
vers µsi pour toute application continue et bornée fde Rndans Ron a lim
n→∞ Rfdµn=Rfdµ.
b) Soient (Xn)n≥1et Xdes variables aléatoires à valeurs dans Rn(éventuellement définies sur
des espaces probabilisés différents, bien que dans la suite toutes les probabilités soient notées
par la même lettre P). On dit que la suite (Xn)n≥1converge en loi vers X(resp. une probabilité
µsur Rn) si la suite (PXn)n≥1converge en loi vers PX(resp. µ).
Cette convergence sera notée µnL →µou XnL →Xou XnL →µ.
Lemme 3 (Lemme de Helly-Bray)
Soient (Xn)n≥1et Xdes variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé
(Ω,F, P ). On note Fn(resp. F) la fonction de répartition de Xn(resp. X). Les trois conditions
suivantes sont équivalentes :
a) la suite (Xn)n≥1converge en loi vers X
b) en tout point toù Fest continue on a lim
n→∞Fn(t) = F(t)
c) il existe un ensemble Ddénombrable et dense dans Rtel qu’en tout point tde Don ait
lim
n→∞Fn(t) = F(t).
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Théorème 4 (Théorème limite central)
Soit (Xn)n≥1une suite indépendante de variables de même loi, de carré intégrable. Posons
m=EX1,σ2=V X1et pour n≥1Sn=Pn
i=1 Xiet Xn=Sn
n. On suppose que σ > 0.
La suite Sn−n.m
σ√n=√n(Xn−m)
σconverge en loi vers la loi N(0,1).
Corollaire 5
Pour −∞ ≤ a≤b≤+∞
lim
n→∞P(a≤Sn−nm
σ√n≤b) = 1
√2πZb
a
exp(−x2
2)dx.
Conséquence 6
L’approximation normale consiste à identifier dès que n≥30 les deux probabilités P(a≤
Sn−nm
σ√n≤b)et 1
√2πRb
aexp(−x2
2)dx. Autrement dit on assimile la loi de la variable Snà celle
d’une loi normale de même espérance et de même variance, i.e. à une loi N(nm, σ2n).
C Statistique d’ordre
Hypothèse 7
X1,...,Xnest une suite indépendante de variables aléatoires, définies sur un espace pro-
babilisé (Ω,F, P ), suivant une même loi continue Q. On suppose que pour i6=j∈[1..n]on
aP(Xi=Xj) = ∅.
Définition 8
1) On appelle statistique d’ordre de la suite X= (X1, ..., Xn)la suite U= (U1, ..., Un)obtenue
en réordonnant de façon croissante la suite X.
2) On appelle statistique de rang de la suite Xl’unique application Rde Ωdans Sn, ensemble
de permutations de [1..n], vérifiant
∀ω∈Ω∀i∈[1..n]Xi(ω) = UR(i)(ω).
Proposition 9
1. La variable Ua pour loi n!1DQ⊗n, où
D={x1, ..., xn)∈Rn:x1< x2< ... < xn}.
2. La variable Ra pour loi l’équipartition sur Sn. De façon équivalente si l’on définit une
variable aléatoire R0par R0= (R(1), ..., R(n)), les variables R(1), ..., R(n)sont indépen-
dantes et ont pour loi l’équipartition sur [1..n].
3. Les variables Uet Rsont indépendantes.
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D Loi normale
Lemme 10
Si X1, ..., Xnest une suite indépendante de variables aléatoires réelles ayant pour loi la
loi normale N(0,1), le vecteur aléatoire X= (X1, ..., Xn)admet pour densité l’ application
Rn3x−→ g0,In(x) =
n
Y
i=1
(2π)1
2exp{−1
2x2
i}= (2π)−n
2exp{−1
2kxk2}.
La loi correspondante se nomme loi normale de paramètres 0et In, où Indésigne la matrice
unité d’ordre n, et se note N(0, In).
Proposition 11
Soit Xun vecteur aléatoire suivant une loi N(0, In),m∈ Mn,1(R)et Γ∈ Mn(R)une
matrice symétrique définie positive. Soit Al’unique matrice symétrique définie positive telle
que A2= Γ. Le vecteur aléatoire Y=AX +madmet pour densité l’application
gm,Γ(x) = (2π)−n
2(det Γ)−1 2exp{−1
2(x−m)0Γ−1(x−m)}.
La loi correspondante se nomme loi normale de paramètres met Γ, et se note N(m, Γ).
Propriété 12
Soit Xun vecteur aléatoire suivant une loi N(m, Γ),Mune matrice inversible de Mn(R)
et νun élément de Mn,1(R).
1) E(X) = met Γ(X) = Γ.
2) Le vecteur Y=MX +νa pour loi N(ν+Mm, MΓM0).
3 ) Si Xun vecteur aléatoire suivant de N(0, In)et Pune matrice orthogonale, le vecteur
aléatoire P X a pour loi N(0, In).
E Loi gamma
Définition 13
La fonction gamma est définie pour tout réel x > 0par
Γ(x) = Z+∞
0
tx−1e−tdt.
Pour tout réel x > 0
Γ(x+ 1) = xΓ(x),
donc pour tout entier n≥1 Γ(n)=(n−1)!.
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Définition 14
Pour tout couple (a, b)∈]0,+∞[2l’application
x→Γ(a)−1bae−bxxa−11]0,+∞[(x)
est la densité par rapport à m1d’une loi de probabilité qu’on notera γ(a, b).
Propriété 15
1. Si Xet Ysont des variables aléatoires indépendantes, X(resp. Y) suivant une loi γ(a1, b)
(resp. γ(a2, b)), la variable X+Ysuit une loi γ(a1+a2, b).
2. La loi exponentielle Eλde paramètre λ, de densité λe−λx1]0,+∞[(x), est une loi γ(1, λ)
3. Si (X1, ..., Xn)est un échantillon de taille nde la loi Eλ, la somme
n
P
i=1
Xisuit une loi
γ(n, λ), appelée loi d’Erlang de paramètre(n, λ).
F Lois gaussiennes
Définition 16 (Loi du khi-deux)
La loi du khi-deux à ndegrés de liberté, notée χ2
n, est la loi d’une somme X2
1+... +X2 n,
où la suite X1, ..., Xnest un échantillon de taille nde la loi la loi normale N(0,1). On a
χ2
n=γ(n
2,1 2).
Définition 17 (Loi de Student)
Une loi de Student tnest la loi d’un quotient U
√V/n , où Uet Vsont des variables aléatoires
réelles indépendantes, Usuivant une loi normale N(0,1) et Vune loi du χ2àndegrés de
liberté.
Remarque 18
Si (Xn)n∈Nest une suite indépendante de variables ayant toutes pour loi N(0,1), la
variable Yn=X0/p(X2
1+... +X2
n)/n a pour loi tn. Quand ntend vers l’infini, (X2 1+... +
X2
n)/n tend presque sûrement vers EX2 1= 1 d’après la loi forte des grands nombres. Par
conséquent Yntend presque sûrement vers X0. Il en résulte que lorsque ntend vers l’infini la
suite tntend en loi vers la loi normale N(0,1). Par ailleurs t1=C1.
Définition 19 (Loi de Fisher-Snedecor)
La loi de Fischer-Snedecor Fn,m est la loi d’un quotient U/n
V/m , où Uet Vsont des variables
aléatoires réelles indépendantes, Usuivant une loi du χ2àndegrés de liberté et Vune loi du
χ2àmdegrés de liberté.
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Théorème 20
Si X1,...,Xnsont des variables aléatoires réelles indépendantes ayant toutes pour loi la loi
normale N(0,1), les variables
Xn=1
n(X1+... +Xn)et U=
n
X
i=1
(Xi−Xn)2=
n
X
i=1
X2
i−nX2 n.
sont indépendantes, et Ua pour loi χ2
n−1.
G Le théorème de Skorokhod
Théorème 21
Soit (µn)n≥1et µdes probabilités sur R. Si la suite (µn)n≥1converge en loi vers µ, il existe
un espace probabilisé (Ω,F, P ), des variables aléatoires réelles (Xn)n≥1et Xdéfinies sur cet
espace vérifiant :
i) pour tout n≥1PXn=µnet PX=µ
ii) ∀ω∈Ω lim
n→∞Xn(ω) = X(ω).
H Le lemme de Slutsky
Proposition 22
Soit (Xn)n≥1et (Yn)n≥1des suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé
(Ω,F, P )et à valeurs dans Rp, et (Zn)n≥1une suite de variables aléatoires définies sur Ωet à
valeurs dans R. Si XnL →X,Yn
P
→b∈Rpet Zn
P
→a∈R, alors ZnXn+YnL →aX +b.
I Le théorème de Radon-Nicodým
Théorème 23
Soient µet λdes mesures sur (E, E)telles que µsoit σ-finie et λabsolument continue
par rapport à µ.
1) Il existe une application mesurable hvaleurs dans [0,+∞]telle que λ=hµ.Toute autre
application h0telle que λ=h0µest égale à hpresque partout pour µ.
2) On peut supposer hà valeurs dans [0,+∞[si et seulement si la mesure λest σ-finie.
3) L’application happartient à L1(µ)si et seulement si la mesure λest finie.
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