Module de Probabilités - ENS TD 5 : Convergence en loi - loi

Module de Probabilités - ENS
TD 5 : Convergence en loi - loi des grands nombres
Exercice 1
Montrer que les convergences presque sûre, en probabilité et en loi, sont stables par image
continue.
Exercice 2
2.1.Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires réelles qui converge en loi vers une
variable aléatoire réelle constante notée a. Montrer que la convergence a lieu aussi en
probabilité.
2.2.Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi de
Cauchy de paramètre 1. Soit Sn=∑n
k=1Xk. Étudier les convergences en probabilité et en
loi des suites (1
√nSn)n≥1,(1
nSn)n≥1et (1
n2Sn)n≥1.
Exercice 3
Soit Xune variable aléatoire réelle, (Xn)n∈Net (Yn)n∈Ndeux suites de variables aléatoires
réelles.
3.1.Montrer que pour tout t∈R,a>0 et n∈N,
|φXn+Yn(t)−φXn(t)| ≤ 2P(|Yn>a|) + E[1]−∞,a](|Yn|)|eitYn−1|]
3.2.Montrer que si (Xn)n∈Nconverge en loi vers Xet (Yn)n∈Nconverge en loi vers 0,
alors la suite (Xn+Yn)converge en loi vers X.
3.3.Montrer que la convergence en loi de (Xn)n∈Nvers Xn’implique pas la convergence
en loi de (Xn−X)vers 0.
Exercice 4
Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires entières et Xune variable aléatoire entière.
Montrer que Xnconverge en loi vers X, si et seulement si, pour tout k∈N,
P(Xn=k)−−−−→
n→+∞
P(X=k)
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MIT 1 Module de Probabilités - ENS TD 5
Exercice 5
5.1.Soit (pn)n≥0une suite de réels dans ]0, 1[telle que npn−−−−→
n→+∞λ>0. Soit (Xn)n≥0
une suite de variables aléatoires telle que pour tout n,Xn∼ B(n,pn)et Xune variable
aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ. Montrer que (Xn)n≥0converge en loi vers X.
5.2.Soit (Xn)n≥0une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi
N(0, 1). Étudier le comportement asymptotique en loi de la suite Yn=1
n∑n
k=1√kXk.
Exercice 6
Soit (Yn)n≥0une suite de variables aléatoires réelles suivant respectivement une loi gaus-
sienne N(mn,σ2
n)avec mn∈Ret σn>0. Montrer que cette suite converge en loi vers une
variable réelle Ysi et seulement si les deux suites (mn)n≥0et (σn)n≥0convergent (respec-
tivement vers met σ) et identifier la loi limite.
Exercice 7
Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires réelles indépendantes identiquement dis-
tribuées. On pose Mn=max(X1, . . . , Xn). On suppose que la loi commune est la loi
uniforme sur [0, 1](respectivement la loi de Cauchy standard), montrer que la suite
(n(1−Mn))n∈N(respectivement (n/Mn)n∈N) converge en loi quand n→∞vers une
loi limite à préciser.
Exercice 8 Théorème de Weierstrass
En utilisant la loi des grands nombres, montrer que si f:[0, 1]→Rest continue, alors
lim
n→∞sup
x∈[0,1]
n
∑
k=0
fk
nCk
nxk(1−x)n−k−f(x)
=0.
Exercice 9
Soit (Un)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes toutes de loi uniforme sur
l’intervalle [0, 1]. Soit f:[0, 1]→Rune fonction continue. Que peut-on dire de
f(U1) + ··· +f(Un)
n
lorsque ntend vers +∞?
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