Module de Probabilités - ENS TD 5 : Convergence en loi - loi

Module de Probabilités - ENS
TD 5 : Convergence en loi - loi des grands nombres
Exercice 1
Montrer que les convergences presque sûre, en probabilité et en loi, sont stables par image
continue.
Exercice 2
2.1. Soit ( Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires réelles qui converge en loi vers une
variable aléatoire réelle constante notée a. Montrer que la convergence a lieu aussi en
probabilité.
2.2. Soit ( Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi de
Cauchy de paramètre 1. Soit Sn = ∑nk=1 Xk . Étudier les convergences en probabilité et en
loi des suites ( √1n Sn )n≥1 , ( n1 Sn )n≥1 et ( n12 Sn )n≥1 .
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire réelle, ( Xn )n∈N et (Yn )n∈N deux suites de variables aléatoires
réelles.
3.1. Montrer que pour tout t ∈ R, a > 0 et n ∈ N,
|φXn +Yn (t) − φXn (t)|
≤
2P(|Yn > a|) + E[1]−∞,a] (|Yn |)|eitYn − 1|]
3.2. Montrer que si ( Xn )n∈N converge en loi vers X et (Yn )n∈N converge en loi vers 0,
alors la suite ( Xn + Yn ) converge en loi vers X.
3.3. Montrer que la convergence en loi de ( Xn )n∈N vers X n’implique pas la convergence
en loi de ( Xn − X ) vers 0.
Exercice 4
Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires entières et X une variable aléatoire entière.
Montrer que Xn converge en loi vers X, si et seulement si, pour tout k ∈ N,
P( Xn = k ) −−−−→ P( X = k)
n→+∞
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MIT 1
Module de Probabilités - ENS TD 5
Exercice 5
5.1. Soit ( pn )n≥0 une suite de réels dans ]0, 1[ telle que npn −−−−→ λ > 0. Soit ( Xn )n≥0
n→+∞
une suite de variables aléatoires telle que pour tout n, Xn ∼ B(n, pn ) et X une variable
aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ. Montrer que ( Xn )n≥0 converge en loi vers X.
5.2. Soit ( Xn )n≥0 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de√même loi
N (0, 1). Étudier le comportement asymptotique en loi de la suite Yn = n1 ∑nk=1 kXk .
Exercice 6
Soit (Yn )n≥0 une suite de variables aléatoires réelles suivant respectivement une loi gaussienne N (mn , σn2 ) avec mn ∈ R et σn > 0. Montrer que cette suite converge en loi vers une
variable réelle Y si et seulement si les deux suites (mn )n≥0 et (σn )n≥0 convergent (respectivement vers m et σ) et identifier la loi limite.
Exercice 7
Soit ( Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes identiquement distribuées. On pose Mn = max ( X1 , . . . , Xn ). On suppose que la loi commune est la loi
uniforme sur [0, 1] (respectivement la loi de Cauchy standard), montrer que la suite
(n(1 − Mn ))n∈N (respectivement (n/Mn )n∈N ) converge en loi quand n → ∞ vers une
loi limite à préciser.
Exercice 8 Théorème de Weierstrass
En utilisant la loi des grands nombres, montrer que si f : [0, 1] → R est continue, alors
lim sup n→∞
n
∑
x ∈[0,1] k =0
f
k
n
Cnk x k (1 − x )n−k − f ( x ) = 0.
Exercice 9
Soit (Un )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes toutes de loi uniforme sur
l’intervalle [0, 1]. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue. Que peut-on dire de
f (U1 ) + · · · + f (Un )
n
lorsque n tend vers +∞ ?
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