Module de Probabilités - ENS TD 4 : Convergences

Module de Probabilités - ENS
TD 4 : Convergences stochastiques
Exercice 1 Échauffement
Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires indépendantes. Montrer que :
Xn
p.s.
−→ 0⇐⇒ ∀e>0, ∑
n≥0
P(|Xn|>e)<+∞
Exercice 2 Comparer les différentes notions de convergence
Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. La loi de Xnest
donnée par : P(Xn=0) = 1−pnet P(Xn=xn) = pnoù 0 <pn<1 et xn≥1.
2.1.Caractériser la convergence presque sûre de Xnvers 0 à l’aide de la convergence d’un
série bien choisie. Caractériser la convergence dans Lp(resp. en probabilité) de Xnvers 0
en terme de convergence d’une suite de réels.
2.2.Soit pn=2−net xn=2n. A-t-on Xn
p.s.
−→ 0 ? XnL1 −→ 0 ?
2.3.Soit pn=n−1et xn=1. Soit p≥1. A-t-on XnLp −→ 0 ? Xn
p.s.
−→ 0 ? Xn
P
−→ 0 ?
2.4.Soit pn=n−2et xn=n. A-t-on XnL1 −→ 0 ? XnL2 −→ 0 ?
2.5.Compléter par des symboles =⇒le diagramme suivant :
convergence Lpconvergence en probabilité convergence p.s.
convergence en loi
Exercice 3
Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires indépendantes de loi E(λ).
3.1.Montrer que
max
1≤k≤nXk
ln n
P
−→ 1
λ
3.2.Démontrer que la suite de terme général max1≤k≤nXk−ln n
λconverge en loi vers
une limite à déterminer.
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MIT 1 Module de Probabilités - ENS TD 4
Exercice 4
Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles.
4.1.Montrer que si Xn
P
−→ Xalors E(min(|Xn−X|, 1)) −−−−→
n→+∞0.
4.2.Montrer que si E(min(|Xn−X|, 1)) −−−−→
n→+∞0 alors Xn
P
−→ X.
Exercice 5 Ruine du joueur
Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Il perd 1 euro à chaque pile, et
gagne 1 euro à chaque face. Le jeu est terminé lorsqu’il a gagné la fortune de son adver-
saire, soit beuros, ou bien lorsqu’il a perdu sa fortune, soit aeuros.
5.1.Modéliser ce jeu : gain Gnà la partie n, et nombre Tde parties jouées.
5.2.Montrer que le jeu s’arrête.
5.3.Quelle est la probabilité que le joueur gagne ? Appliquer l’identité de Wald à la variable
aléatoire Sn=inf(T,n), puis faire tendre n vers l’infini.
Exercice 6 Théorème de Weierstrass
En utilisant la loi des grands nombres, montrer que si f:[0, 1]→Rest continue, alors
lim
n→∞sup
x∈[0,1]
n
∑
k=0
fk
nCk
nxk(1−x)n−k−f(x)
=0.
Exercice 7
Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires qui converge en probabilités vers Xet vers
Y. Montrer que X=Ypresque sûrement.
Exercice 8
Soit (en)n∈Nune suite de réels positifs telle que ∑n≥0en<+∞. Supposons que
∑n≥0P(|Xn+1−Xn|>en)<+∞. Montrer que (Xn)n∈Nconverge presque sûrement.
Exercice 9
Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires convergeant en probabilité vers X. Montrer
qu’il existe une sous-suite (Xnr)r∈Nqui converge presque sûrement vers X.
Exercice 10
Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées
telle que E(|X1|)<+∞. Montrer que :
Xn
n
p.s.
−→ 0
Exercice 11
Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi U[0, 1]. Mon-
trer que
max
i=1,··· ,nXi
p.s.
−→ 1.
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