Module de Probabilités - ENS TD 4 : Convergences stochastiques Exercice 1 Échauffement Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes. Montrer que : p.s. Xn −→ 0 ⇐⇒ ∀e > 0, ∑ P(|Xn | > e) < +∞ n ≥0 Exercice 2 Comparer les différentes notions de convergence Soit ( Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. La loi de Xn est donnée par : P( Xn = 0) = 1 − pn et P( Xn = xn ) = pn où 0 < pn < 1 et xn ≥ 1. 2.1. Caractériser la convergence presque sûre de Xn vers 0 à l’aide de la convergence d’un série bien choisie. Caractériser la convergence dans L p (resp. en probabilité) de Xn vers 0 en terme de convergence d’une suite de réels. p.s. L1 2.2. Soit pn = 2−n et xn = 2n . A-t-on Xn −→ 0 ? Xn −→ 0 ? Lp p.s. P 2.3. Soit pn = n−1 et xn = 1. Soit p ≥ 1. A-t-on Xn −→ 0 ? Xn −→ 0 ? Xn −→ 0 ? L1 L2 2.4. Soit pn = n−2 et xn = n. A-t-on Xn −→ 0 ? Xn −→ 0 ? 2.5. Compléter par des symboles =⇒ le diagramme suivant : convergence L p convergence en probabilité convergence p.s. convergence en loi Exercice 3 Soit ( Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes de loi E (λ). 3.1. Montrer que max Xk 1 1≤ k ≤ n P −→ ln n λ 3.2. Démontrer que la suite de terme général max1≤k≤n Xk − lnλ n converge en loi vers une limite à déterminer. 1 MIT 1 Module de Probabilités - ENS TD 4 Exercice 4 Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires réelles. P 4.1. Montrer que si Xn −→ X alors E(min(| Xn − X |, 1)) −−−−→ 0. n→+∞ P 4.2. Montrer que si E(min(| Xn − X |, 1)) −−−−→ 0 alors Xn −→ X. n→+∞ Exercice 5 Ruine du joueur Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Il perd 1 euro à chaque pile, et gagne 1 euro à chaque face. Le jeu est terminé lorsqu’il a gagné la fortune de son adversaire, soit b euros, ou bien lorsqu’il a perdu sa fortune, soit a euros. 5.1. Modéliser ce jeu : gain Gn à la partie n, et nombre T de parties jouées. 5.2. Montrer que le jeu s’arrête. 5.3. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ? Appliquer l’identité de Wald à la variable aléatoire Sn = inf( T, n), puis faire tendre n vers l’infini. Exercice 6 Théorème de Weierstrass En utilisant la loi des grands nombres, montrer que si f : [0, 1] → R est continue, alors lim sup n→∞ n ∑ x ∈[0,1] k =0 f k n Cnk x k (1 − x )n−k − f ( x ) = 0. Exercice 7 Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires qui converge en probabilités vers X et vers Y. Montrer que X = Y presque sûrement. Exercice 8 Soit (en )n∈N une suite de réels positifs telle que ∑n≥0 en < +∞. Supposons que ∑n≥0 P(| Xn+1 − Xn | > en ) < +∞. Montrer que ( Xn )n∈N converge presque sûrement. Exercice 9 Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires convergeant en probabilité vers X. Montrer qu’il existe une sous-suite ( Xnr )r∈N qui converge presque sûrement vers X. Exercice 10 Soit ( Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées telle que E(| X1 |) < +∞. Montrer que : Xn p.s. −→ 0 n Exercice 11 Soit ( Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi U [0, 1]. Montrer que p.s. max Xi −→ 1. i =1,··· ,n 2