Extrait du livre - Editions Ellipses

Polynˆomes 01
R´ EPARTITION DES EXERCICES
Op´ erations sur les polynˆ omes ................................1.01 →1.09
Autour des racines .........................................1.10 →1.24
Division euclidienne ........................................1.25 →1.33
Factorisation des polynˆ omes .................................1.34 →1.39
I. ´ ENONC ´ ES DES EXERCICES
1.01 Montrer que P=X6−12X5+60X4−160X3+ 240X2−192X+64
est le carr´e d’un polynˆome `ad´eterminer.
♦
1.02 Montrer que pour tout n∈N,
n
k=0
(1+X2k)=1+X+X2+···+X2n+1 −1.
♦
1.03 On d´eÀnit, par r´ecurrence, une suite de polynˆomes (Pn)n∈Npar :
P0=1;P1=X,et∀n≥1,P
n+1 =2XPn−Pn−1
Montrer que ∀n∈N,∀x∈R,P
n(cos x)=cosnx.
♦
1.04 Soit P∈K[X], de fonction polynomiale associ´ee p´eriodique. Montrer que
deg P≤0.
♦
1.05 Soit P∈C[X]. Montrer que P◦P−Xest divisible par P−X.
[Si P=akXk, alors pour tout polynˆ ome Q,P◦Qest le polynˆ ome akQk.]
♦
1.06 R´esoudre les ´equations suivantes dans K[X]:
a) Q2=XP2,d’inconnues Pet Q.b) P◦P=P, d’inconnue P.
♦
1.07 Trouver les P∈K[X]tels que P(X2)=(X2+1)P(X).
♦

8 Chapitre 1 : Polynˆ omes
1.08 R´esoudre P2=4P, d’inconnue P∈K[X].
♦
1.09 Montrer que pour tout n∈N, il existe un unique Pn∈R[X]tel que
Pn−P
n=Xn. Exprimer les coefÀcients de Pn`a l’aide de factorielles.
♦
1.10 D´eterminer P∈C3[X], tel que :
P(j)=j2,P(j2)=j, P (j)=j, P (j2)=j2.
♦
1.11 Montrer que, pour tout n∈N,n≥2,
n
k=0
Xk
k!n’a pas de racine multiple.
♦
1.12 Pour quelles valeurs de nle polynˆome Pn=(X+1)
n−Xn−1est-il
divisible par X2+X+1?Mˆeme question avec Qn=(1+X4)n−X4.
♦
1.13 Soit Pun polynˆome de R[X]de fonction polynomiale associ´ee `a valeurs
positives ou nulles sur R. Montrer alors la proposition suivante :
∃(Q, R)∈(R[X])2,P =Q2+R2(1)
♦
1.14 Montrer que pour tout n, le polynˆome (X2+X+1)
2divise le polynˆome
Qn=(X+1)
6n+1 −X6n+1 −1.
♦
1.15 Trouver a, b, c pour que X2n+aXn+1 +bXn+cXn−1+1soit divisible
par (X−1)3.
♦
1.16 Soit n∈N∗. Montrer que Zn=nXn+2 −(n+2)Xn+1 +(n+2)X−n
est divisible par (X−1)3.
♦
1.17 Soit le polynˆome R=X3+X+1.
1◦)Montrer que Radmet trois racines distinctes a, b et cdans C.
2◦)Montrer que a, b, c, −a, −bet −csont six complexes distincts.
3◦)Si P∈C[X], on admet l’existence et l’unicit´e d’un polynˆome Qtel
que : Q(X2)=P(X)P(−X). Trouver un polynˆome de degr´e3ayant pour
racines a2,b
2et c2.
♦
1.18 Soit P∈C[X], non nul, tel que P(X2)=−P(X)P(X+1).
Montrer que si aest racine de Palors a2l’est aussi. En d´eduire que ou bien
a=0ou bien aest racine de l’unit´e.
♦

Chapitre 1 : Polynˆ omes 9
1.19 Trouver les polynˆomes P∈C[X]tels que P(X2)=P(X)P(X+1).
♦
1.20 Soit Pun polynˆomededegr´en+1de R[X]poss´edant n+1racines r´eelles
distinctes. V´eriÀer que Pposs`ede exactement nracines r´eelles distinctes.
En d´eduire que les racines de P2+1sont toutes simples dans C.
Montrer de fa¸con g´en´erale que pour tout α∈R∗, les racines de P2+α2
dans Csont toutes simples.
♦
1.21 Soit P∈C[X], non nul et n=degP. Montrer que la suite des sommes
des racines de P, P,...,P(n−1) est une progression arithm´etique.
♦
1.22 On d´eÀnit une suite (Pn)de polynˆomes par :
P0=2,P
1=Xet ∀n∈N,P n+2 =XPn+1 −Pn.
1◦)Si n≥1, montrer que Pnest un polynˆome unitaire de degr´en.
2◦)Montrer que pour tout z∈C∗:Pnz+1
z=zn+1
zn.
3◦)D´eterminer les racines du polynˆome Pn.
♦
1.23 D´eterminer l’unique P∈R3[X]tel que (X−1)2divise P−1et (X+1)
2
divise P+1.
♦
1.24 On d´esire d´eterminer dans C[X]tous les polynˆomes divisibles par leur
polynˆome d´eriv´e.
1◦)Montrer que si un tel polynˆome Pnon nul existe alors, en notant nson
degr´e, il existe a∈Ctel que : nP =(X−a)P. Trouver alors une relation
entre P(n−1),P(n)et a.
2◦)En d´eduire les polynˆomes solutions.
♦
1.25 D´eterminer apour que P=X4−X+aet Q=X2−aX +1aient deux
racines communes.
♦
1.26 Trouver αet βpour que X3−2X+1 divise X5+X4+αX3+βX2+5X−2.
♦
1.27 Soient P∈K[X]et (a, b)∈K2.D´eterminer en fonction de P(a)et de
P(b)(etlecas´ech´eant de P(a)), le reste de la division euclidienne de P
par (X−a)(X−b).
♦
1.28 D´eterminer le reste de la division euclidienne de Apar Bpour :
A=(Xsin θ+cosθ)net B=X2+1,

10 Chapitre 1 : Polynˆ omes
puis pour A=X2n−2Xncos nθ +1et B=X2−2Xcos θ+1.
♦
1.29 D´eterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de Apar Bpour :
A=Xqet B=X−1;A=Xmq et B=Xm−1;A=Xn−1et
B=Xm−1.
(m, n, q ´etant trois entiers non nuls avec n≥m)
♦
1.30 Trouver le reste de la division euclidienne de (Xsin θ+cosθ)npar
(X2+1)
2.
♦
1.31 D´eterminer les polynˆomes du troisi`eme degr´e`a coefÀcients r´eels divisibles
par X−1, ayant mˆeme reste dans les divisions euclidiennes par X−2,X−3,
X−4.
♦
1.32 Montrer que pour tout n≥2,Pn=Xnsin α−Xsin nα +sin(n−1)α
est divisible par A=X2−2Xcos α+1.
♦
1.33 1◦)Soit A=5−4
4−3. Calculer (A−I2)2.
2◦)Si n∈N,´ecrire la division euclidienne de Xnpar (X−1)2.D´eterminer
le reste de cette division. En d´eduire l’expression des coefÀcients de la
matrice An.
♦
1.34 Factoriser P=X4−9X3+30X2−44X+24.
♦
1.35 Factoriser dans C[X]puis dans R[X],P=X4+2.
♦
1.36 Factoriser dans R[X]:X4+4;X6+27;X8+X4+1.
♦
1.37 Factoriser dans R[X]:P= cos 3a+Xsin 3a−(cos a+Xsin a)3,o`u
a∈R.
♦
1.38 Factoriser dans R[X],Q=X2n+Xn+1.
♦
1.39 1◦)D´eterminer alg´ebriquement les racines carr´ees de i+√3
2et i−√3 2·
2◦)Diviser X6−ipar X2+i.End´eduire la factorisation dans C[X]du
polynˆome X6−i, en utilisant les r´esultats de la premi`ere question.

Chapitre 1 : Polynˆ omes 11
3◦)Factoriser X6−ien r´esolvant x6=idans C.End´eduire cos π
12 ·
II. INDICATIONS
1.01. `
A part poser Q=aX3+bX2+cX +d,d´evelopper Q2et identiÀer `aP, que faire
d’autre ?
1.02. On proc`edera par r´ecurrence sur n.
1.03. On pensera aux formules de trigonom´etrie usuelles.
1.04. On posera Q(X)=P(X)−P(0) et on v´eriÀera qu’il a une inÀnit´e re racines.
1.05. Ecrire P◦P−X=P◦P−P+P−Xet penser aux identit´es remarquables.
1.06. `a 1.08. Ce sont des histoires de degr´e.
1.10. On rappelle que j=e
2iπ/3.
1.11. D´eriver le polynˆome en pr´esence et remarquer !
1.12. Les racines de 1+X+X2sont jet j2.
1.13. On montrera d’abord que n´ecessairement deg Pest pair, que PestdecoefÀcient
dominant positif. Puis on montrera que (1) est vraie pour deg P=2, et ensuite que pour
tous polynˆomes r´eels U, V, Q1,R
1:
(U2+V2)(Q2
1+R2 1)=(UQ1+VR
1)2+(UR1−VQ 1)2.
On en d´eduira enÀnl’´egalit´e(1).
1.14. Montrer que jest racine double de Qn.
1.19. C’est un peu la suite de l’exercice pr´ec´edent !
1.20. C’est un jeu de Rolle.
1.21. Il sufÀt de calculer les coefÀcients des deux termes de plus hauts degr´es des d´eriv´ees
de P.
1.22. On fera des r´ecurrences  fortes .
1.23. On connait des racines de P.
1.24. D´eriver red´eriver et red´eriver encore la relation entre Pet P.
1.26. Faire le calcul explicite de la division.
1.27. Le reste appartient `aR1[X].
1.28. En substituant `aXla valeur ion reconnaˆ×t la formule de de Moivre.
1.29. Xq=Xq−1+1!
1.30. Si Rest le reste de cette division euclidienne, on effectuera sa propre division
euclidienne par X2+1et on remplacera. Utiliser aussi l’exercice 1.28.
1.31. Remarquer que Pest de la forme (X−1)(aX2+bX +c)est un bon d´emarrage.
1.34. Trouver une racine  ´evidente  ...d’ordre assez grand pour que le reste soit banal.
1.35. et 1.36. Penser aux identit´es remarquables.
1.37. Penser `a nouveau `a de Moivre.
1.38. On rappelle (encore et encore) que jet j2sont racines de X2+X+1.
III. CORRIG ´ ES D ´ ETAILL ´ ES DES EXERCICES
Corrig´e 1.01
On ´ecrit qu’il doit exister (a, b, c, d)∈R4, tel que l’on ait P=Q2,avec
Q=aX3+bX2+cX +d.