Maths PCSI Exercices
Alg`ebre des polynˆomes
Comme d’habitude, on consultera avantageusement la feuille de travail Maple jointe.
1 Introduction `a l’alg`ebre lin´eaire
Exercice 1 Les ensembles suivants sont-ils des sev de R2?
{(x, y)| |x|=|y|},{(x, y)|x≥y},{(x, y)|2x=−3y}.
Exercice 2 Dire si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de RR:
1. ensemble des fonctions `a valeurs positives (≥0) ;
2. ensemble des fonctions ne changeant pas de signe ;
3. ensemble des fonctions d´ecroissantes ;
4. ensemble des fonctions monotones ;
5. ensemble des ftelles que f(t)−→
t→1515 0 ;
6. ensemble des ftelles que f(t)−→
t→01515 ;
7. ensemble des fonctions de classe C12, c’est-`a-dire d´erivables 12 fois de d´eriv´ee douzi`eme continue.
Exercice 3 Le compl´ementaire d’un sous-espace vectoriel est-il un sev ?
Exercice 4 Soient F1et F2deux sous-espace vectoriel de E. Montrer que F1∪F2est un sous-espace de
Esi et seulement si E1⊂E2ou E2⊂E1.
Exercice 5 Etudier la lin´earit´e des applications suivantes ; d´eterminer (le cas ´ech´eant !) leur image et
leur noyau :
1. u1:R2→R3,(x, y)7→ (2x−y2, x +y, y) ;
2. u2:R3→R2,(x, y, z)7→ (x, x) ;
3. u3:R2→R3,(x, y)7→ (2x−y, x + cos y, y) ;
4. u4:R3→R3,(x, y, z)7→ (x, z, y) ;
5. u5:R3→R3,(x, y, z)7→ (x, y+z
2,y+z
2)
Exercice 6 Montrer (uet vsont comme il faut... c’est-`a-dire compatibles avec l’existence de v◦u: le
lecteur commencera par pr´eciser ce point) :
ker u= ker v◦u⇐⇒ Im u∩ker v={0}.
Exercice 7 Que dire des familles suivantes (g´en´eratrices, libres, bases) ?
1. E=R2,u= (1,2), v= (−1,3), w= (2,−1) : famille (u, v, w).
2. E=R3,u= (3,2,1), v= (−6,−4,3) : famille (u, v).
3. (*) E=RR. Soient (xn)n∈Nest une famille de r´eels distincts ; pour n∈N,fnd´esigne l’application
x7→ |x−xn|: famille (fn)n∈N.
Exercice 8
– Soient u, v deux vecteurs de E. Montrer que la famille (u, v) est li´ee si et seulement si v= 0 ou u=λv
pour un certain λ∈K.
– Donner un exemple de famille de trois vecteurs (y1, y2, y3) li´ee bien que les familles (y1, y2), (y1, y3) et
(y2, y3) soient libres.
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