Séance II. Interpolation polynomiale de Lagrange. Ex. 1. Expliciter la

Polytech Nice/MAM3 Analyse Numérique -1 2015/2016
Séance II. Interpolation polynomiale de Lagrange.
Ex. 1. Expliciter la base de polynômes d’interpolation de Lagrange construite à l’aide des points :
x0=−1, x1= 0, x2= +1, x3= +2
En déduire un polynôme Pde degré minimal tel que :
P(−1) = −6, P (0) = 1, P (1) = 2, P (2) = −3
Quelle est la forme de tous les polynômes vérifiant cette propriété ?
Ex. 2. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange de f(x)=2x, basé sur les points
x0=−1, x1= 0, x2= +1,puis en ajoutant x3= +2
En déduire pour chacun des cas une approximation de √2, et comparer les erreurs commises.
Ex. 3. On suppose qu’un polynôme Pinterpole une fonction fsur un ensemble de points donné.
La dérivée P0de ce polynôme est-elle en général un interpolant de f0?
Justifier votre réponse à l’aide d’exemples.
Ex. 4. Proposer un algorithme pour l’évaluation d’un polynôme de degré Ndonné par
P(X) =
i=N
X
i=0
aiXi
Que donne l’algorithme suivant (dit de Horner) comme résultat final exprimé en fonction de Z:
— initialisation : bN=aN
— Pour i=N−1, ..., 0faire : bi=bi+1Z+ai
Déterminer son coût en opérations élémentaires.
Ex. 5. Soit Pun polynôme donné par P(x) = a0+a1x+... +anxn, et soit x0un réel donné.
L’algorithme de Horner permet de calculer la valeur b0=P(x0)par :
bn=an,
bi=ai+x0bi+1, i =n−1, ..., 1,0.
Notons Q(x) = b1+b2x+... +bnxn−1.
5.1 Montrer que P(x) = b0+ (x−x0)Q(x)et que P0(x0) = Q(x0).
(Remarquer que, par Hörner, on a : x0bj=bj−1−aj−11≤j≤n)
5.2 Proposer un algorithme de Hörner pour calculer P(x0)et P0(x0)en même temps.