Statique dans l`espace 1 Principe fondamental de la
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Statique dans l’espace Mécanique rationnelle (Physique 4) Statique dans l’espace 1 Principe fondamental de la statique dans l’espace − → − → − → − → Un solide en équilibre sous l’action de n forces extérieurs F1 , F2 , F3 , ..., Fn reste en équlibre si : n X → − − → − → − → − → → − Fi = F1 + F2 + F3 + ... + Fn = 0 (1) i=1 Et n X −−−−−→ −−−−−→ −−−−−→ −−−−−→ −−−−−→ → − MA (Fi ) = MA (F1 ) + MA (F2 ) + MA (F3 ) + ... + MA (Fn ) = 0 (2) i=1 → − → − → − → − Avec Fi = Fi x i + Fi y j + Fi z k . L’équation 1 devienne : Pn i=1 Fi x = F1 x + F2 x + F3 x + ... + Fn x = 0 P n i=1 Fi y = F1 y + F2 y + F3 y + ... + Fn y = 0 Pn i=1 Fi z = F1 z + F2 z + F3 z + ... + Fn z = 0 (3) −−−−−→ → − → − → − Et si le moment s’écrit sous la forme MA (Fi ) = MA x(Fi ) i + MA y(Fi ) j + MA z(Fi ) k l’équation 2 devienne : P → − − → − → − → n MA x(Fi ) = MA x(F1 ) + MA x(F2 ) + MA x(F3 ) i=1 P → − − → − → − → n (4) i=1 MA y( Fi ) = MA y(F1 ) + MA y(F2 ) + MA y(F3 ) → − − → − → − → Pn i=1 MA z( Fi ) = MA z(F1 ) + MA z(F2 ) + MA z(F3 ) 2 Composantes dans l’espace du vecteur force Suivant les données, les composantes dans l’espace d’un vecteur force peut être calculer comme suit : 2.1 Vecteur défini par deux angles Ce cas renferme les situation dont on connait un angle dans le plan et un autre par rapport a la perpendiculaire sur le plan (voir la figure 1). Les composante dans les directions x et y sont obtenus par une projection sur le plan xOy et une deuxième projection sur l’axe concerné. → − − → → − → − F1 = F1 cos(60°)cos(30°) i + F1 cos(60°)sin(30°) j + F1 sin(60°) k 1 (5) Statique dans l’espace Mécanique rationnelle (Physique 4) z − → F1 60° y 30° x Figure 1 – Vecteur défini par deux angles. 2.2 Vecteur défini par les angles θx , θt et θz Ce cas renferme les situation ou on connait les angle de direction θx , θy et θz du vecteur force (voir la figure 2). Les composante dans les directions x, y et z sont obtenus par des projections directes sur les axe. → − − → → − → − F2 = F2 cos(θx = 135°) i + F2 cos(θy = 60°) j + F2 sos(θz = 60°) k (6) z − → F2 60° 60° 135° y x Figure 2 – Vecteur défini par les trois angles θx , θy , θz . 2.3 Vecteur défini par deux points de sa direction Ce cas renferme les situation ou on connait les coordonnées de deux points appartenant a la direction du vecteur (voir la figure 3). Les composante sont obtenus comme suit. 2 Statique dans l’espace Mécanique rationnelle (Physique 4) Soit O(0, 0, 0) et A(4, 4, −2) deux points de la direction du vecteur F3 qui s’écrit −→ ! − → OA → F3 = F3 · − u− OA = F3 OA → − −→ → − → − Avec OA = 4 i + 4 j − 2 k et OA = 6m. L’équation 7 devienne : − − → 4 → 4 → −2 → − − F3 = F3 i + F3 j + F3 k 6 6 6 (7) (8) z O x y − → F3 4m 4m 2m A Figure 3 – Vecteur défini par deux points. 3 Composantes dans l’espace du vecteur moment Suivant les données, les composantes dans l’espace d’un vecteur moment peuvent être calculer comme suit : 3.1 Moment d’une force par rapport a la base Dans l’espace tridimensionnel le vecteur moment est défini comme étant le produit vectoriel entre le vecteur position (centre de rotation et un points sur la direction de la force) et la force. −−→ −−→ → − MA = AB ∧ F (9) −−→ −−→ → − Pour l’exemple de la figure 4 le moment par rapport au point A est égal à MA = AB ∧ F −−→ −→ → − et aussi égal à MA = AC ∧ F puisque les deux points B et C appartiennent a la direction du vecteur force. l’utilisation de la méthode exposée dans le paragraphe précédent permet deconnaitre les −−→ → − → − → − BC composantes de la force F dont l’intensité est égale à 100N . F = F BC = 9.93 i − 3 Statique dans l’espace Mécanique rationnelle (Physique 4) → − −−→ → − → − 6.62 j − 99.29 k . Avec A(0, 0, 0) et B(0, 0, 15) le vecteur position AB = (0 − 0) i + (0 − → − → − 0) j + (15 − 0) k et l’équation 9 devienne : → → − → − −i j k −−→ → − → − (10) MA = 0 0 15 = 99.3 i + 149 j 9.93 −6.62 −99.29 √ −−→ q Et MA = Mx2 + My2 = 99.32 + 1492 z B → − F 15m A 1.5m C y 1m x Figure 4 – Composantes du moment d’une force. 3.2 Moment d’une force par rapport a une droite → − − → − → − → − → − Soit le problème représenté par la figure 5. Avec F = Fx i + Fy j + Fz k , → u = ux i + → − → − −−→ → − → − → − uy j + uz k et AB = ABx i + ABy j + ABz k le module du moment par rapport à la droite (4) est le déterminant suivant : ux u u y z −−−→ (11) M(4) = ABx ABy ABz Fx Fy Fz −−−→ −−−→ − Les composantes du vecteur moment M(4) sont obtenus par : M(4) = M(4) · → u 3.3 Composantes d’un moment par rapport a une droite → − − → → − → − → Le problème est représenté par la figure 6. soit M = Mx i + My j + Mz k et − u− AB = → − − → → − → − ux i + uy j + uz k . Le module du vecteur moment M par rapport à la droite (AB) est le − → −→ suivant : M(AB) = M · − uAB Et les composantes du vecteur moment par rapport a la droite −−−−−−−→ → (AB) sont obtenus par :M(4) (AB) = M(AB) · − u− AB 4 Statique dans l’espace Mécanique rationnelle (Physique 4) B • (4) • A → − F → − u Figure 5 – Composantes du moment d’une force par rapport a une droite. z B • 4m 4m − → u− AB 3m • x A ; E • − → M Figure 6 – Composantes d’un moment (couple) par rapport a une droite. 5 y
