Statique dans l`espace 1 Principe fondamental de la

M´ecanique rationnelle (Physique 4) Statique dans l’espace
Statique dans l’espace
1 Principe fondamental de la statique dans l’espace
Un solide en ´equilibre sous l’action de nforces ext´erieurs −→ F1,−→ F2,−→ F3, ..., −→ Fnreste en ´equlibre
si :
n
X
i=1
−→
Fi=−→ F1+−→ F2+−→ F3+... +−→ Fn=−→ 0(1)
Et
n
X
i=1
−−−−−→
MA(Fi) = −−−−−→ MA(F1) + −−−−−→ MA(F2) + −−−−−→ MA(F3) + ... +−−−−−→ MA(Fn) = −→ 0(2)
Avec −→ Fi=Fix−→ i+Fiy−→ j+Fiz−→ k. L’´equation 1 devienne :
Pn
i=1 Fix=F1x+F2x+F3x+... +Fnx= 0
Pn
i=1 Fiy=F1y+F2y+F3y+... +Fny= 0
Pn
i=1 Fiz=F1z+F2z+F3z+... +Fnz= 0
(3)
Et si le moment s’´ecrit sous la forme −−−−−→ MA(Fi) = MAx(Fi)−→ i+MAy(Fi)−→ j+MAz(Fi)−→ k
l’´equation 2 devienne :
Pn
i=1 MAx(−→
Fi) = MAx(−→ F1) + MAx(−→ F2) + MAx(−→ F3)
Pn
i=1 MAy(−→
Fi) = MAy(−→ F1) + MAy(−→ F2) + MAy(−→ F3)
Pn
i=1 MAz(−→
Fi) = MAz(−→ F1) + MAz(−→ F2) + MAz(−→ F3)
(4)
2 Composantes dans l’espace du vecteur force
Suivant les donn´ees, les composantes dans l’espace d’un vecteur force peut ˆetre calculer
comme suit :
2.1 Vecteur d´efini par deux angles
Ce cas renferme les situation dont on connait un angle dans le plan et un autre par rapport a
la perpendiculaire sur le plan (voir la figure 1). Les composante dans les directions xet ysont
obtenus par une projection sur le plan xOy et une deuxi`eme projection sur l’axe concern´e.
−→
F1=F1cos(60 )cos(30 )−→ i+F1cos(60 )sin(30 )−→ j+F1sin(60 )−→ k(5)
1

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x
y
z
−→
F1
30
60
Figure 1 – Vecteur d´efini par deux angles.
2.2 Vecteur d´efini par les angles θx, θtet θz
Ce cas renferme les situation ou on connait les angle de direction θx, θyet θzdu vecteur
force (voir la figure 2). Les composante dans les directions x,yet zsont obtenus par des
projections directes sur les axe.
−→
F2=F2cos(θx= 135 )−→ i+F2cos(θy= 60 )−→ j+F2sos(θz= 60 )−→ k(6)
x
y
z
−→
F2
135
60
60
Figure 2 – Vecteur d´efini par les trois angles θx, θy, θz.
2.3 Vecteur d´efini par deux points de sa direction
Ce cas renferme les situation ou on connait les coordonn´ees de deux points appartenant a la
direction du vecteur (voir la figure 3). Les composante sont obtenus comme suit.
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Soit O(0,0,0) et A(4,4,−2) deux points de la direction du vecteur F3qui s’´ecrit
−→
F3=F3·−−→ uOA =F3 −→
OA
OA!(7)
Avec −→ OA = 4−→ i+ 4−→ j−2−→ ket OA = 6m. L’´equation 7 devienne :
−→
F3=F34
6−→
i+F34
6−→
j+F3−2
6−→
k(8)
x
y
z
O
A
−→
F3
4m
4m
2m
Figure 3 – Vecteur d´efini par deux points.
3 Composantes dans l’espace du vecteur moment
Suivant les donn´ees, les composantes dans l’espace d’un vecteur moment peuvent ˆetre calculer
comme suit :
3.1 Moment d’une force par rapport a la base
Dans l’espace tridimensionnel le vecteur moment est d´efini comme ´etant le produit vectoriel
entre le vecteur position (centre de rotation et un points sur la direction de la force) et la
force.
−−→
MA=−−→ AB ∧−→ F(9)
Pour l’exemple de la figure 4 le moment par rapport au point Aest ´egal `a −−→ MA=−−→ AB ∧−→ F
et aussi ´egal `a −−→ MA=−→ AC ∧−→ Fpuisque les deux points Bet Cappartiennent a la direction
du vecteur force.
l’utilisation de la m´ethode expos´ee dans le paragraphe pr´ec´edent permet de connaitre les
composantes de la force −→ Fdont l’intensit´e est ´egale `a 100N.−→ F=F−−→
BC
BC = 9.93−→
i−
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6.62−→ j−99.29−→ k. Avec A(0,0,0) et B(0,0,15) le vecteur position −−→ AB = (0 −0)−→ i+ (0 −
0)−→ j+ (15 −0)−→ ket l’´equation 9 devienne :
−−→
MA=
−→
i−→ j−→ k
0 0 15
9.93 −6.62 −99.29
= 99.3−→ i+ 149−→ j(10)
Et −−→ MA=qM2
x+M2 y=√99.32+ 1492
x
y
z
A
C
B
−→
F
1m
1.5m
15m
Figure 4 – Composantes du moment d’une force.
3.2 Moment d’une force par rapport a une droite
Soit le probl`eme repr´esent´e par la figure 5. Avec −→ F=Fx−→ i+Fy−→ j+Fz−→ k,−→ u=ux−→ i+
uy−→ j+uz−→ ket −−→ AB =ABx−→ i+ABy−→ j+ABz−→ kle module du moment par rapport `a la
droite (4)est le d´eterminant suivant :
−−−→
M(4)=
uxuyuz
ABxAByABz
FxFyFz
(11)
Les composantes du vecteur moment −−−→ M(4)sont obtenus par : −−−→ M(4)=M(4)·−→ u
3.3 Composantes d’un moment par rapport a une droite
Le probl`eme est repr´esent´e par la figure 6. soit −→ M=Mx−→ i+My−→ j+Mz−→ ket −−→ uAB =
ux−→ i+uy−→ j+uz−→ k. Le module du vecteur moment −→ Mpar rapport `a la droite (AB)est le
suivant : M(AB)=−→ M·−−→ uAB Et les composantes du vecteur moment par rapport a la droite
(AB)sont obtenus par :−−−−−−−→ M(4)(AB) = M(AB)·−−→ uAB
4

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A
•
B
•(4)
−→
u
−→
F
Figure 5 – Composantes du moment d’une force par rapport a une droite.
x
y
z
A
•
B
•
E
•
−−→
uAB
−→
M
4m
4m
3m
;
Figure 6 – Composantes d’un moment (couple) par rapport a une droite.
5