Lycée Marie Reynoard Accompagnement personnalisé TS Exercice

Lycée Marie Reynoard
Accompagnement personnalisé TS
Raisonnement par récurrence - Généralités sur les suites.
Exercice n°1.
n
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 4 + 5 est un multiple de 3.
initialisation pour n=0 4 0+ 5=6=2×3 OK
hérédité
je suppose la propriété vraie pour un n donné,
donc il existe un entier k tel que 4 n +5=3 k
conclusion
4 n +5=3 k ⇔ 4×( 4 n+5)=4×3 k ⇔ 4 n+1 + 20=3×4 k
⇔ 4 n+1 +5=3×4 k −15 ⇔ 4 n+1 +5=3×( 4k−5) or 4 k −5 est un entier
donc si 4 n + 5 est un multiple de 3 alors 4 n+1 + 5 est aussi un multiple de 3
la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 ,
elle est donc vraie pour tout n.
2. La suite u est définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n , u n + 1 = 5 un – 8.
Démontrer par récurrence que la suite u est constante.
Il faut donc prouver que pour tout n u n=2 (puisque u0 = 2 ).
initialisation pour n=0 u0 = 2 OK
hérédité
je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc u n=2
conclusion
Or u n+1=5u n −8 donc u n+1=5×2−8=10−8=2
donc si u n=2 alors u n+1=2
la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 ,
elle est donc vraie pour tout n.
3. La suite u est définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n , u n + 1 =
√u n + 1 .
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 0 < un < 2.
initialisation pour n=0 u0 = 1 et 0 < 1 < 2 OK
hérédité
je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc 0 < un < 2
donc 1 < u n +1 < 3
donc √ 1< √ un +1< √ 3
car la fonction racine carrée est strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [
Or √ 1=1>0 et √ 3≈1,7< 2 donc 0<1< un +1< √ 3< 2
donc si 0 < un < 2 alors 0 < un+1 < 2
conclusion
la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 ,
elle est donc vraie pour tout n.
b) Démontrer par récurrence que la suite u est croissante.
Il faut donc prouver que pour tout n u n <u n+1
initialisation pour n=0 u0 = 1 et u 1=√ 2>1 donc u 0 <u 1 OK
hérédité
je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc u n <u n+1
donc u n +1 < u n+1 +1
donc √ u n+ 1< √ un +1 +1
car la fonction racine carrée est strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [
et que d'après le a) pour tout n u n >0
donc u n+1 < un +2
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ce qui prouve que si u n <u n+1 alors u n+1 < un +2
la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 ,
elle est donc vraie pour tout n.
conclusion
2
4. La suite u est définie par u0 = 6 et pour tout entier naturel n , u n + 1 = 1,4 un – 0,05 u n
a) Soit f la fonction telle que u n + 1 = f(un). Étudier les variations de f sur l'intervalle [ 0 ; 8 ]
La fonction f est définie par f (x )=1,4 x−0,05 x 2 (fonction polynomiale, donc définie et
dérivable sur ℝ) et donc f ' ( x)=1,4−2×0,05 x donc f ' ( x)=1,4−0,1 x
f ' ( x)>0 ⇔ 1,4−0,1 x> 0 ⇔ 0,1 x <1,4 ⇔ x <14 .
Donc f est strictement croissante sur ] –∞ ; 14 ], donc sur [ 0 ; 8 ].
b) Démontrer par récurrence que la suite u est strictement croissante et majorée par 8.
Il faut prouver que pour tout n u n <u n+1 <8 .
initialisation pour n=0 u0 = 6 et u 1= f (u 0)= f (6)=6,6 donc u 0 <u 1<8 OK
hérédité
je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc u n <u n+1 <8
Or f est strictement croissante sur [ 0 ; 8 ] donc f (u n ) < f (u n+1 ) < f (8)
Or f (8)=1,4×8−0,05×64=8
ce qui donne u n+1 < un +2 <8
conclusion
la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 ,
elle est donc vraie pour tout n.
Exercice n°2.
u est la suite définie par u0 = 0 et pour tout nombre entier naturel n, u n + 1 = un + 2(n + 1).
1. Calculer u1 et u2.
u 1=0+ 2×1=2 et u 2=2+2×2=6
2. On considère l'algorithme suivant :
Entrée :
Saisir N (nombre entier naturel non nul)
Initialisation :
U prend la valeur 0
Traitement :
Pour K de 0 jusqu'à N – 1
U prend la valeur U + 2(K + 1)
FinPour
V prend la valeur U – N
Sorties :
Afficher U et V
a) Faire fonctionner cet algorithme avec
N = 3 puis N = 4.
Pour N = 3 :
Dans la boucle :
K
0
1
2
U
0
2
6
12
et ensuite V = U – 3 = 9 ( = 32 )
Pour N = 4 :
Dans la boucle :
K
0
1
2
3
U 0
2
6 12 20
et ensuite V = U – 4 = 16 ( = 4 2 )
b) Pour N = n, exprimer les valeurs
affichées de U et V à l'aide de un.
L'algorithme calcule u n ,
donc U = u n et V = u n−n
c) Emettre une conjecture sur l'expression
de V en fonction de n, puis sur l'expression
de un en fonction de n.
Conjectures : V = n 2 (voir ci-dessus)
et donc u n=n2 + n .
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3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un = n² + n.
initialisation pour n=0 u0 = 0 et 02 + 0=0 OK
hérédité
je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc un = n² + n
Or u n + 1 = un + 2 (n + 1) donc u n+1=n2 + n+2 (n+1)=n2 + n+2 n +2=n 2+ 2 n+1+ n+1
donc u n+1=(n+1)2 +(n+ 1) qui est la propriété à l'ordre n+1
conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 ,
elle est donc vraie pour tout n.
4. Modifier l'algorithme pour obtenir la plus petite valeur de n telle que un soit supérieur à 10k où k est un
nombre entier à demander à l'utilisateur.
L'algorithme :
Entrée :
Saisir K (nombre entier naturel)
Initialisation :
U prend la valeur 0
N prend la valeur 0
Traitement :
Tantque U <= 10^K
U prend la valeur U + 2(N + 1)
N prend la valeur N+1
FinTantque
Sorties :
Afficher N
Exercice n°3.
2
un – 1.
3
La suite (un) est définie par u0 = - 2 et pour tout entier naturel n , u n + 1 =
1. Déterminez les cinq premiers termes de la suite (un).
4
7
14
23
46
73
u 0=−2 , u 1=− −1=− , u 2=− −1=−
, u 3=− −1=−
3
3
9
9
27
27
146
227
−1=−
et u 4=−
.
81
81
2. La suite (vn) est définie pour tout entier naturel n , par vn = un + 3.
a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique.
2
2
2
2
Pour tout n on a v n +1=u n +1+ 3= un −1+ 3= u n+ 2= ( u n+ 3)= ×v n
3
3
3
3
2
donc la suite (vn) est géométrique de raison .
3
b) Exprimez alors vn puis un en fonction de n .
n
n
2
2
v 0=−2+3=1 donc v n =
et donc u n=
−3
3
3
()
()
n
3. ( S n ) est la suite définie pour tout entier naturel n par : S n =
∑ uk = u
0
+ … + un.
k=0
Exprimez S n en fonction de n .
n
n
k=0
k=0
S n= ∑ u k = ∑
(( ) ) ( )
k
n
k
2
2
−3 = ∑
−(n+1)×3=(−2)×
3
k=0 3
n +1
()
2
3
−1
2
−1
3
−(n+1)×3
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(( ) )
2
3
donc S n=6×
n+1
n+1
()
2
−1 −3(n+ 1)=6×
3
−3 n−9
Exercice n°4.
La suite (un) est définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n , u n + 1 =
un − 1
.
2
1. Déterminez les cinq premiers termes de la suite (un).
1−1
1
3
7
=0 , u 2=− , u 3=− et u 4=− .
u 0=1 , u 1=
2
2
4
8
2. La suite (vn) est définie pour tout entier naturel n , par vn = un - α.
a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique si et seulement si α = - 1.
u −1
u − 1−2 α
v n +1=u n +1−α= n
−α= n
2
2
Or (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que v n +1=q×v n
u − 1−2 α
1
⇔ n
et −1−2 α=−α
=q×(u n−α) ⇔ q=
2
2
1
(car le terme en u n a pour coefficient
dans le terme de droite de l'égalité)
2
1
⇔ q=
et α=−1
2
b) Exprimez alors vn puis un en fonction de n .
n
n
1
1
v 0=1−(−1)=2 donc v n =2×
−1
et donc u n=2×
2
2
()
()
n
3.
( S n ) est la suite définie pour tout entier naturel n par : S n =
∑ uk = u
0
+ … + un.
k=0
Exprimez S n en fonction de n .
Sn =
()
−( n+1)=2×
( ( ) ) ( ( ))
()
( ())
n
n
k=0
k =0
∑ u k= ∑
S n=4× 1−
1
2
n
n
1
1
2×
−1 = ∑ 2×
2
2
k=0
n+1
−(n+1)=3−n−
1
2
n
n+1
Exercice n°5.
La suite (un) est définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n ,
un
un + 1 =
u n+ 2
x
dont on
x +2
donne la courbe représentative ci-dessous. Repérez sur
l'axe des abscisses les premiers termes de la suite.
+
1. Soit f la fonction définie sur R par f(x) =
Voir ci-contre.
n +1
1
2
−1
1
−1
2
−( n+1)
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2. Démontrez par récurrence que la suite est bornée.
Nous allons prouver plus précisément que pour tout n 0< un ≤1.
initialisation pour n=0 u0 = 1 et 0<1⩽1 OK
hérédité
je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc 0< un ≤1.
la fonction f est définie et dérivable sur [ 0 ; 1 ]
1×( x + 2)−1×x
2
=
>0 donc f est croissante sur [ 0 ; 1 ]
et on a f ' ( x)=
2
2
(x +2)
( x + 2)
1
donc f (0)< f (u n )≤ f (1) or f (0)=0 et f (1)= <1
3
Finalement 0< un +1⩽1
conclusion
la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 ,
elle est donc vraie pour tout n.
3. a) Calculez sous forme fractionnaire les cinq premiers termes de la suite.
1
1
1
1
1
1
3
3 1
7
7
1
15
15 1
1
1
= , u 2=
u 0=1 , u 1=
, u 4=
= = , u 3=
= =
= =
1
7 7
1
15 15
1
31 31
1+ 2 3
+2
+2
+2
3
3
7
7
15
15
b) Calculez la différence entre les dénominateurs de deux termes consécutifs.
Entre u 0 et u 1 on obtient 3−1=2=21 . Entre u 1 et u 2 : 7−3=4=22 .
Entre u 2 et u 3 : 15−7=8=23 . Entre u 3 et u 4 : 31−15=16=24 .
c) Énoncez une conjecture sur l'expression de un en fonction de n .
1
Conjecture : u n= n
∑ 2k
k=0
d) Prouvez par récurrence que votre conjecture est vraie.
0
initialisation pour n=0
u0 = 1 et
∑ 2k =20 =1
donc
k=0
1
0
∑2
1
= =1=u 0 OK
1
k
k=0
hérédité
je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc u n=
1
n
∑ 2k
un + 1
conclusion
un
=
=
u n+ 2
k=0
1
2
1+
un
=
1
1
=
( ) (
n
1+ 2×
∑ 2k
k =0
1+
n
∑ 2k +1
k=0
1
=
) ( )
n+1
1+
la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 ,
elle est donc vraie pour tout n.
∑ 2k
k=1
=
1
n+1
∑ 2k
k=0