Lycée Marie Reynoard Accompagnement personnalisé TS Exercice

Lycée Marie Reynoard Accompagnement personnalisé TS
Exercice n°1.
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
n
,
4n
+ 5 est un multiple de 3.
initialisation pour
n=0
40+5=6=2×3
OK
hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné,
donc il existe un entier k tel que
4n+5=3k
4n+5=3k
⇔
4×(4n+5)=4×3k
⇔
4n+1+20=3×4k
⇔
4n+1+5=3×4k−15
⇔
4n+1+5=3×(4k−5)
or
4k−5
est un entier
donc si
4n
+ 5 est un multiple de 3 alors
4n+1
+ 5 est aussi un multiple de 3
conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour
n=0
,
elle est donc vraie pour tout n.
2. La suite u est définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel
n
,
un+1
= 5 un – 8.
Démontrer par récurrence que la suite u est constante.
Il faut donc prouver que pour tout n
un=2
(puisque u0 = 2 ).
initialisation pour
n=0
u0 = 2 OK
hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc
un=2
Or
un+1=5un−8
donc
un+1=5×2−8=10−8=2
donc si
un=2
alors
un+1=2
conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour
n=0
,
elle est donc vraie pour tout n.
3. La suite u est définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel
n
,
un+1
=
√
un+1
.
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
n
, 0 < un < 2.
initialisation pour
n=0
u0 = 1 et 0 < 1 < 2 OK
hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc 0 < un < 2
donc 1 <
un+1
< 3
donc
√
1<
√
un+1<
√
3
car la fonction racine carrée est strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [
Or
√
1=1>0
et
√
3≈1,7<2
donc
0<1<un+1<
√
3<2
donc si 0 < un < 2 alors 0 < un+1 < 2
conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour
n=0
,
elle est donc vraie pour tout n.
b) Démontrer par récurrence que la suite u est croissante.
Il faut donc prouver que pour tout n
un<un+1
initialisation pour
n=0
u0 = 1 et
u1=
√
2>1
donc
u0<u1
OK
hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc
un<un+1
donc
un+1
<
un+1+1
donc
√
un+1<
√
un+1+1
car la fonction racine carrée est strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [
et que d'après le a) pour tout n
un>0
donc
un+1<un+2
Raisonnement par récurrence - Généralités sur les suites.

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ce qui prouve que si
un<un+1
alors
un+1<un+2
conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour
n=0
,
elle est donc vraie pour tout n.
4. La suite u est définie par u0 = 6 et pour tout entier naturel
n
,
un+1
= 1,4 un – 0,05
un
2
a) Soit f la fonction telle que
un+1
= f(un). Étudier les variations de f sur l'intervalle
[0 ; 8]
La fonction f est définie par
f(x)=1,4 x−0,05 x2
(fonction polynomiale, donc définie et
dérivable sur ℝ) et donc
f ' (x)=1,4−2×0,05 x
donc
f ' (x)=1,4−0,1 x
f ' (x)>0
⇔
1,4−0,1 x>0
⇔
0,1 x<1,4
⇔
x<14
.
Donc f est strictement croissante sur ] –∞ ; 14 ], donc sur [ 0 ; 8 ].
b) Démontrer par récurrence que la suite u est strictement croissante et majorée par 8.
Il faut prouver que pour tout n
un<un+1<8
.
initialisation pour
n=0
u0 = 6 et
u1=f(u0)= f(6)=6,6
donc
u0<u1<8
OK
hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc
un<un+1<8
Or f est strictement croissante sur [ 0 ; 8 ] donc
f(un)
<
f(un+1)
<
f(8)
Or
f(8)=1,4×8−0,05×64=8
ce qui donne
un+1<un+2<8
conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour
n=0
,
elle est donc vraie pour tout n.
Exercice n°2.
u est la suite définie par u0 = 0 et pour tout nombre entier naturel n,
un+1
= un + 2(n + 1).
1. Calculer u1 et u2.
u1=0+2×1=2
et
u2=2+2×2=6
2. On considère l'algorithme suivant :
a) Faire fonctionner cet algorithme avec
N = 3 puis N = 4.
Pour N = 3 :
Dans la boucle :
K 0 1 2
U 0 2 6 12
et ensuite V = U – 3 = 9 ( =
32
)
Pour N = 4 :
Dans la boucle :
K 0 1 2 3
U 0 2 6 12 20
et ensuite V = U – 4 = 16 ( =
42
)
b) Pour N = n, exprimer les valeurs
affichées de U et V à l'aide de un.
L'algorithme calcule
un
,
donc U =
un
et V =
un−n
c) Emettre une conjecture sur l'expression
de V en fonction de n, puis sur l'expression
de un en fonction de n.
Conjectures : V =
n2
(voir ci-dessus)
et donc
un=n2+n
.
Entrée:
Saisir N (nombre entier naturel non nul)
Initialisation:
U prend la valeur 0
Traitement:
Pour K de 0 jusqu'à N – 1
U prend la valeur U + 2(K + 1)
FinPour
V prend la valeur U – N
Sorties:
Afficher U et V

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3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un = n² + n.
initialisation pour
n=0
u0 = 0 et
02+0=0
OK
hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc un = n² + n
Or
un+1
= un + 2 (n + 1) donc
un+1=n2+n+2(n+1)=n2+n+2n+2=n2+2n+1+n+1
donc
un+1=(n+1)2+(n+1)
qui est la propriété à l'ordre
n+1
conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour
n=0
,
elle est donc vraie pour tout n.
4. Modifier l'algorithme pour obtenir la plus petite valeur de n telle que un soit supérieur à 10k où k est un
nombre entier à demander à l'utilisateur.
L'algorithme :
Exercice n°3.
La suite (un) est définie par u0 = - 2 et pour tout entier naturel
n
,
un+1
=
2
3
un – 1.
1. Déterminez les cinq premiers termes de la suite (un).
u0=−2
,
u1=− 4
3−1=− 7 3
,
u2=−14
9−1=− 23 9
,
u3=− 46
27−1=− 73 27
et
u4=−146
81 −1=− 227 81
.
2. La suite (vn) est définie pour tout entier naturel
n
, par vn = un + 3.
a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique.
Pour tout n on a
vn+1=un+1+3=2
3un−1+3=2 3un+2=2 3(un+3)= 2 3×vn
donc la suite (vn) est géométrique de raison
2
3
.
b) Exprimez alors vn puis un en fonction de
n
.
v0=−2+3=1
donc
vn=
(
2
3
)
n
et donc
un=
(
2
3
)
n
−3
3. (
Sn
) est la suite définie pour tout entier naturel
n
par :
Sn
=
∑
k=0
n
uk
= u0 + … + un.
Exprimez
Sn
en fonction de
n
.
Sn=∑
k=0
n
uk=∑
k=0
n
(
(
2
3
)
k
−3
)
=∑
k=0
n
(
2
3
)
k
−(n+1)×3=(−2)×
(
2
3
)
n+1
−1
2
3−1
−(n+1)×3
Entrée:
Saisir K (nombre entier naturel)
Initialisation:
U prend la valeur 0
N prend la valeur 0
Traitement:
Tantque U <= 10^K
U prend la valeur U + 2(N + 1)
N prend la valeur N+1
FinTantque
Sorties:
Afficher N

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donc
Sn=6×
(
(
2
3
)
n+1
−1
)
−3(n+1)=6×
(
2
3
)
n+1
−3n−9
Exercice n°4.
La suite (un) est définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel
n
,
un+1
=
un−1
2
.
1. Déterminez les cinq premiers termes de la suite (un).
u0=1
,
u1=1−1
2=0
,
u2=− 1
2
,
u3=− 3
4
et
u4=− 7
8
.
2. La suite (vn) est définie pour tout entier naturel
n
, par vn = un - α.
a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique si et seulement si α = - 1.
vn+1=un+1−α= un−1
2−α= un−1−2α 2
Or (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que
vn+1=q×vn
⇔
un−1−2α
2=q×(un−α)
⇔
q=1
2
et
−1−2α=−α
(car le terme en
un
a pour coefficient
1
2
dans le terme de droite de l'égalité)
⇔
q=1
2
et
α=−1
b) Exprimez alors vn puis un en fonction de
n
.
v0=1−(−1)=2
donc
vn=2×
(
1
2
)
n
et donc
un=2×
(
1
2
)
n
−1
3. (
Sn
) est la suite définie pour tout entier naturel
n
par :
Sn
=
∑
k=0
n
uk
= u0 + … + un.
Exprimez
Sn
en fonction de
n
.
Sn
=
∑
k=0
n
uk=∑
k=0
n
(
2×
(
1
2
)
n
−1
)
=∑
k=0
n
(
2×
(
1
2
)
n
)
−(n+1)=2×
(
1
2
)
n+1
−1
1
2−1
−(n+1)
Sn=4×
(
1−
(
1
2
)
n+1
)
−(n+1)=3−n−
(
1
2
)
n+1
Exercice n°5.
La suite (un) est définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel
n
,
un+1
=
un
un+2
1. Soit f la fonction définie sur
R+
par f(x) =
x
x+2
dont on
donne la courbe représentative ci-dessous. Repérez sur
l'axe des abscisses les premiers termes de la suite.
Voir ci-contre.

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2. Démontrez par récurrence que la suite est bornée.
Nous allons prouver plus précisément que pour tout n
0<un≤1.
initialisation pour
n=0
u0 = 1 et
0<1⩽1
OK
hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc
0<un≤1.
la fonction f est définie et dérivable sur [ 0 ; 1 ]
et on a
f ' (x)= 1×(x+2)−1×x
(x+2)2=2 (x+2)2>0
donc f est croissante sur [ 0 ; 1 ]
donc
f(0)< f(un)≤ f(1)
or
f(0)=0
et
f(1)=1
3<1
Finalement
0<un+1⩽1
conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour
n=0
,
elle est donc vraie pour tout n.
3. a) Calculez sous forme fractionnaire les cinq premiers termes de la suite.
u0=1
,
u1=1
1+2=1 3
,
u2=
1
3
1
3+2
=
1
3
7
3
=1
7
,
u3=
1
7
1
7+2
=
1
7
15
7
=1
15
,
u4=
1
15
1
15 +2
=
1
15
31
15
=1
31
b) Calculez la différence entre les dénominateurs de deux termes consécutifs.
Entre
u0
et
u1
on obtient
3−1=2=21
. Entre
u1
et
u2
:
7−3=4=22
.
Entre
u2
et
u3
:
15−7=8=23
. Entre
u3
et
u4
:
31−15=16=24
.
c) Énoncez une conjecture sur l'expression de un en fonction de
n
.
Conjecture :
un=1
∑
k=0
n
2k
d) Prouvez par récurrence que votre conjecture est vraie.
initialisation pour
n=0
u0 = 1 et
∑
k=0
0
2k=20=1
donc
1
∑
k=0
0
2k
=1
1=1=u0
OK
hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc
un=1
∑
k=0
n
2k
un+1
=
un
un+2=1
1+2
un
=1
1+2×
(
∑
k=0
n
2k
)
=1
1+
(
∑
k=0
n
2k+1
)
=1
1+
(
∑
k=1
n+1
2k
)
=1
∑
k=0
n+1
2k
conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour
n=0
,
elle est donc vraie pour tout n.