Devoir Maison Correction TS 1. On considère l’algorithme suivant : Entrée Saisir un réel strictement positif non nul a Saisir un réel strictement positif non nul b (b > a) Saisir un entier naturel non nul N Initialisation Affecter à u la valeur a Affecter à v la valeur b Affecter à n la valeur 0 Traitement TANTQUE n < N Affecter à n la valeur n +1 Affecter à u la valeur Traitement Affecter à v la valeur Affecter à a la valeur u Affecter à b la valeur v Afficher u, afficher v Sortie Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a = 4, b = 9 et N = 2. Les valeurs successives de u et v seront arrondies au millième. n 0 1 2 a 4 6,5 6,732 b 9 6,964 6,736 u 4 6,5 6,732 Dans la suite, a et b sont deux réels tels que 0 < a < b. On considère les suites (un) et (vn) définies par : u0 = a, v0 = b et, pour tout entier naturel n : 2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 0 et vn > 0. Posons Hn l’hypothèse de récurrence Initialisation : u0 = a > 0 et v0 = b > a > 0. Donc H0 est vraie. Hérédité : Supposons qu’il existe un rang n pour lequel Hn soit vraie, c’est-à-dire : Montrons que Hn+1 est vraie, c’est-à-dire : Or d’après Hn, on a : De plus vn+1 est la racine carrée de nombres positifs donc vn+1 > 0. On peut donc dire que Hn+1 est vraie. Conclusion : Pour tout entier naturel n, on a Hn vraie. 1 v 9 6,964 6,736 Devoir Maison Correction TS b. Démontrer que, pour tout entier naturel n : En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un ≤ vn. D’après ce qui précède, on a : La fonction racine carrée étant croissante sur [0 ;+∞[, on peut donc conclure que un ≤ vn. 3. a. Démontrer que la suite (un) est croissante. On peut donc conclure que la suite U est croissante. b. Comparer vn+1² et vn². En déduire le sens de variation de la suite (vn). De plus un ≤ vn ⟹ un² ≤ vn². On peut donc conclure que vn+1² ≤ 4. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes. La suite U est croissante et majorée par v0 donc elle converge. La suite V est décroissante et minorée par u0 donc elle converge. 2 n² ⟹ vn+1 ≤ n. La suite V est donc décroissante.