RESU ME C HAP I TRE I LOGIQ UE - ENSE MBLES! n$ APPLICATIONS-COEFFICIENTS # & " p% LOGIQUE Soit P et Q deux "propositions" mathématiques . On note (non P) la négation de P. Dans P ⇒ Q , P s'appelle l'hypothèse et Q la conclusion P est une condition suffisante pour Q et Q est une condition nécessaire pour P. Q ⇒ P est appelée la réciproque de P ⇒ Q. Règle 1 La négation de "P ou Q" s'obtient en écrivant : "non P et nonQ". La négation de "P et Q" s'obtient en écrivant : "non P ou nonQ". R 1.1 [non (P ou Q)] s'obtient en écrivant: [(nonP) et (nonQ)] [ non (P et Q)] s'obtient en écrivant : [(nonP) ou (nonQ)] Règle2 La négation de "Pour tout x de E , on a P(x)" s'obtient en écrivant : "Il existe un x de E pour lequel on n'a pas P(x)". La négation de "Il existe un x de E pour lequel on a P(x)" s'obtient en écrivant : "Pour tout x de E , on n'a pas P(x)". R 1.2 La négation de [∀ x ∈ E , P(x) ] s'obtient en écrivant : [∃ x ∈ E , non P(x)] La négation de [∃ x ∈ E , P(x) ] s'obtient en écrivant : [∀ x ∈ E , non P(x)] Règle3(négation d'une implication) R 1.3 La négation de "P ⇒ Q" s'obtient en écrivant : "P et nonQ". Règle4 (contraposition) R 1.4 (P ⇒ Q) est équivalent à (nonQ ⇒ nonP ) ENSEMBLES P(E) désigne l'ensemble des parties de E , c'est à dire des sous-ensembles de E. Inclusion "A ⊂ B" signifie : Tout élément x de A est élément de B En abrégé ∀ x ∈ A , x ∈ B. Egalité d' ensembles "A = B" signifie : "A ⊂ B et B ⊂ A " Une égalité d'ensembles se démontre en général par "double inclusion" Union - Intersection. Si A et B sont deux sous-ensembles de E , A ∪ B = {x ∈ E , x ∈ A ou x ∈ B } A ∩ B = {x ∈ E , x ∈ A et x ∈ B } AC = { x ∈ E , x ∉ A } Propriétés de ∩ et ∪ (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (associativité de ∪ ) A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativité de ∩ ) A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B) ∪(A ∩ C) (distributivité de ∩ sur ∪) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributivité de ∪ sur ∩ ) Produit cartésien E × F = { (a,b) , a ∈ E et b ∈ F } APPLICATIONS D1.1 Une application f de E dans F associe à tout x de E un unique élément y noté f(x) dans F f:E → F x → f(x) antécédent image Important: La résolution de l'équation (en x ) f(x) = y permet de déterminer le(s) antécédent(s) de y Notation: A(E,F) est l'ensemble des applications de E dans F. Notation: (restriction) Soit f : E ! F et A ! E. La restriction de f à A est l'application: f/A : A ! F définie par: !x " A, f/ A (x) = f (x) D 1.2 Soit f une application de E dans F et A ! E f(A) = { f(x) , x ∈A } donc y ∈f(A) ssi ∃ x ∈A, y = f(x) D 1.3 Soit f une application de E dans F On dit que f est bijective ssi: Tout y de F admet un antécédent unique par f dans E en abrégé: !y " F, #!x " E, y = f (x) i.e. pour tout y de F, l'équation f(x) = y (en x) admet un solution unique dans E P 1.5 (Rappel de Terminale) Soit f : I ! R avec I intervalle de R. Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise (ou induit) une bijection de I sur f(I) i.e. !y " f (I ), #!x " I, y = f (x) Important : Si f est continue et strictement monotone sur l'intervalle I et si 0 ∈f(I), l'équation f(x) = 0 admet alors une solution unique dans I. D 1.4 Soit f une bijection de E vers F. L'application de F dans E qui, à tout y de F, associe son unique antécédent x par f dans E est appelée application réciproque de f et se note f -1 Donc y = f(x), x ∈E ssi x = f -1(y), y ∈F ENSEMBLES FINIS - COEFFICIENTS DU BINOME Démonstration par récurrence Th 1.6 Principe de récurrence : [P(0) et ∀ n ∈ N, P(n) ⇒P(n+1) ] ⇒ [∀ n ∈ N, P(n) ] Pour montrer : ∀ n ∈ N, ..... par récurrence , On écrit avec précision la propriété à démontrer : P(n) = ... On écrit : i) P(0) est vraie car.... ii) Soit n fixé dans N. Supposons P(n) vraie ( hypothèse de récurrence ) On vérifie ensuite que P(n+1) est vraie en utilisant l'hypothèse de récurrence. iii) On conclut : avec i) et et ii) , P(n) est vraie pour tout n de N. N.B. : La démonstration ne commence pas nécessairement à l'ordre 0. Démonstration par récurrence sur deux termes Th 1.7 [Q(0) et Q(1) et ∀ n ∈ N, Q(n) et Q(n+1) ⇒ Q(n+2) ] ⇒ [∀ n ∈ N, Q(n) ] La rédaction est dans ce cas : i) Q(0) et Q(1) sont vraies ii) Soit n ∈ N. Supposons Q(n) et Q(n+1) vraies. Vérifions que Q(n+2) est vraie. iii) Conclusion : avec i) et et ii) , Q(n) est vraie pour tout n de N. Démonstration par récurrence sur les n premiers termes (récurrence forte) Th 1.8 [R(0) et ∀ n ∈ N, (R(0) ,R(1),…et R(n)) ⇒ R(n+1) ] ⇒ [∀ n ∈ N, R(n) ] La rédaction est dans ce cas : i) P(0) , P(1),.. sont vraies car ....(on vérifie pour le nombre de termes utilisés dans l'étape ii) ) ii) Soit n ∈ N. Supposons la propriété P(k) vraie jusqu'au rang n. Vérifions que P(n+1) est vraie (ainsi P(k) sera vraie jusqu'au rang (n+1)) iii) Conclusion : avec i) et et ii) , P(n) est vraie pour tout n de N. Coefficients du binôme – Formule du binôme de newton D 1.5 Soit E = {a1 , a2 ,..., an } On appelle combinaison de p éléments pris parmi les n éléments de E toute partie de E à p éléments P 1.9 Soit E de cardinal n. Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi les éléments de E est n! n.(n ! 1)...(n ! p + 1) (il y a p termes au numérateur et au dénominateur) (noté !#" np$&% ) = p!(n ! p)! p! P 1.17 Propriétés des coefficients ! n$ ! n$ # & = # & = " 0% " n% ! n$ ! n $ # & = # & p " % " n ' p% ! n$ ! n$ "# p %& (coefficients du binôme) 1 (1) ! $ p. #" np&% (3) ! n ' 1$ ! n ' 1$ # & =# + " p % " p ' 1&% #" p &% " ( ) .a .b n n k=0 Conséquence : 2n = !( ) . k=0 n k n (2) ! n '1$ & = n. # " p '1% (4) (5) (on retrouve cette formule avec le triangle de Pascal ) Th 1.18 Formule du binôme de Newton (a + b)n = n ! n$ ! n $ # & = # & = " 1% " n '1% k k n!k n =" k=0 ( ).a n k n!k .b k