RESUME CHAPITRE I LOGIQUE - ENSEMBLES

R E S U M E C H A P I T R E I
L O G I Q U E - E N S E M B L E S -
A P P L I C A T I O N S - C O E F F I C I E N T S
n
p
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&
LOGIQUE
Soit P et Q deux "propositions" mathématiques .
On note (non P) la négation de P.
Dans P ⇒ Q , P s'appelle l'hypothèse et Q la conclusion
P est une condition suffisante pour Q et Q est une condition nécessaire pour P.
Q ⇒ P est appelée la réciproque de P ⇒ Q.
Règle 1
La négation de "P ou Q" s'obtient en écrivant : "non P et nonQ".
La négation de "P et Q" s'obtient en écrivant : "non P ou nonQ".
R 1.1 [non (P ou Q)] s'obtient en écrivant: [(nonP) et (nonQ)]
[ non (P et Q)] s'obtient en écrivant : [(nonP) ou (nonQ)]
Règle2
La négation de "Pour tout x de E , on a P(x)" s'obtient en écrivant :
"Il existe un x de E pour lequel on n'a pas P(x)".
La négation de "Il existe un x de E pour lequel on a P(x)" s'obtient en écrivant :
"Pour tout x de E , on n'a pas P(x)".
R 1.2 La négation de [∀ x ∈ E , P(x) ] s'obtient en écrivant : [∃ x ∈ E , non P(x)]
La négation de [∃ x ∈ E , P(x) ] s'obtient en écrivant : [∀ x ∈ E , non P(x)]
Règle3(négation d'une implication)
R 1.3 La négation de "P ⇒ Q" s'obtient en écrivant : "P et nonQ".
Règle4 (contraposition)
R 1.4 (P ⇒ Q) est équivalent à (nonQ ⇒ nonP )
ENSEMBLES
P(E) désigne l'ensemble des parties de E , c'est à dire des sous-ensembles de E.
Inclusion
"A ⊂ B" signifie : Tout élément x de A est élément de B
En abrégé ∀ x ∈ A , x ∈ B.
Egalité d' ensembles
"A = B" signifie : "A ⊂ B et B ⊂ A "
Une égalité d'ensembles se démontre en général par "double inclusion"
Union - Intersection.
Si A et B sont deux sous-ensembles de E ,
A ∪ B = {x ∈ E , x ∈ A ou x ∈ B }
A ∩ B = {x ∈ E , x ∈ A et x ∈ B }
AC = { x ∈ E , x ∉ A }
Propriétés de ∩ et ∪
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (associativité de ∪ ) A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativité de ∩ )
A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B) ∪(A ∩ C) (distributivité de ∩ sur ∪)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributivité de ∪ sur ∩ )
Produit cartésien
E × F = { (a,b) , a ∈ E et b ∈ F }

APPLICATIONS
D1.1 Une application f de E dans F associe à tout x de E un unique élément y noté f(x) dans F
f : E → F
x → f(x)
antécédent image
Important: La résolution de l'équation (en x ) f(x) = y permet de déterminer le(s) antécédent(s) de y
Notation: A(E,F) est l'ensemble des applications de E dans F.
Notation: (restriction)
Soit f : E
!
F et A
!
E.
La restriction de f à A est l'application: f/A : A
!
F définie par:
!x"A,f/A(x)=f(x)
D 1.2 Soit f une application de E dans F et A
!
E
f(A) = { f(x) , x ∈A } donc y ∈f(A) ssi ∃ x ∈A, y = f(x)
D 1.3 Soit f une application de E dans F
On dit que f est bijective ssi: Tout y de F admet un antécédent unique par f dans E
en abrégé:
!y"F,#!x"E,y=f(x)
i.e. pour tout y de F, l'équation f(x) = y (en x) admet un solution unique dans E
P 1.5 (Rappel de Terminale) Soit f : I
!
R avec I intervalle de R.
Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise (ou induit) une bijection de I sur f(I)
i.e.
!y"f(I), #!x"I,y=f(x)
Important : Si f est continue et strictement monotone sur l'intervalle I et si 0 ∈f(I), l'équation f(x) = 0 admet
alors une solution unique dans I.
D 1.4 Soit f une bijection de E vers F.
L'application de F dans E qui, à tout y de F, associe son unique antécédent x par f dans E est appelée
application réciproque de f et se note f -1
Donc y = f(x), x ∈E ssi x = f -1(y), y ∈F
ENSEMBLES FINIS - COEFFICIENTS DU BINOME
Démonstration par récurrence
Th 1.6 Principe de récurrence :
[P(0) et ∀ n ∈ N, P(n) ⇒P(n+1) ] ⇒ [∀ n ∈ N, P(n) ]
Pour montrer : ∀ n ∈ N, ..... par récurrence ,
 On écrit avec précision la propriété à démontrer :
P(n)=...
 On écrit : i) P(0) est vraie car....
ii) Soit n fixé dans N. Supposons P(n) vraie ( hypothèse de récurrence )
On vérifie ensuite que P(n+1) est vraie en utilisant l'hypothèse de récurrence.
iii) On conclut : avec i) et et ii) , P(n) est vraie pour tout n de N.
N.B. : La démonstration ne commence pas nécessairement à l'ordre 0.

Démonstration par récurrence sur deux termes
Th 1.7 [Q(0) et Q(1) et ∀ n ∈ N, Q(n) et Q(n+1) ⇒ Q(n+2) ] ⇒ [∀ n ∈ N, Q(n) ]
La rédaction est dans ce cas :
i) Q(0) et Q(1) sont vraies
ii) Soit n ∈ N. Supposons Q(n) et Q(n+1) vraies.
Vérifions que Q(n+2) est vraie.
iii) Conclusion : avec i) et et ii) , Q(n) est vraie pour tout n de N.
Démonstration par récurrence sur les n premiers termes (récurrence forte)
Th 1.8 [R(0) et ∀ n ∈ N, (R(0) ,R(1),…et R(n)) ⇒ R(n+1) ] ⇒ [∀ n ∈ N, R(n) ]
La rédaction est dans ce cas :
i) P(0) , P(1),.. sont vraies car ....(on vérifie pour le nombre de termes utilisés dans l'étape ii) )
ii) Soit n ∈ N. Supposons la propriété P(k) vraie jusqu'au rang n.
Vérifions que P(n+1) est vraie (ainsi P(k) sera vraie jusqu'au rang (n+1))
iii) Conclusion : avec i) et et ii) , P(n) est vraie pour tout n de N.
Coefficients du binôme – Formule du binôme de newton
D 1.5 Soit E =
a1,a2,..., an
{ }
On appelle combinaison de p éléments pris parmi les n éléments de E toute partie de E à p éléments
P 1.9 Soit E de cardinal n. Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi les éléments de E est
n!
p!(n!p)!
=n.(n!1)...(n!p+1)
p!
(il y a p termes au numérateur et au dénominateur) (noté
n
p
!
"
#$
%
&
)
P 1.17 Propriétés des coefficients
n
p
!
"
#$
%
&
(coefficients du binôme)
n
0
!
"
#$
%
&=
n
n
!
"
#$
%
&=1
(1) 
n
1
!
"
#$
%
&=
n
n'1
!
"
#$
%
&=n
(2)
n
p
!
"
#$
%
&=n
n'p
!
"
#$
%
&
(3) 
p.n
p
!
"
#$
%
&=n.n'1
p'1
!
"
#$
%
&
(4)
n
p
!
"
#$
%
&=
n'1
p'1
!
"
#$
%
&+
n'1
p
!
"
#$
%
&
(5) (on retrouve cette formule avec le triangle de Pascal )
Th 1.18 Formule du binôme de Newton (a + b)n =
n
k
( )
.ak.bn!k=
k=0
n
"n
k
( )
.an!k.bk
k=0
n
"
Conséquence : 2n =
n
k
( )
k=0
n
!
.