Vocabulaire lié aux probabilités Probabilité

Vocabulaire lié aux probabilités
Une épreuve consiste à lancer un dé non pipé et à noter le numéro obtenu sur la face supérieure. Le
résultat de cette épreuve n’étant pas prévisible, on l’appelle « expérience aléatoire ».
•
l’univers U ou Ω est l’ensemble des résultats possibles. Ici Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
•
un événement est une partie ou un sous-ensemble de l’univers. Par exemple
l’événement A : « obtenir un numéro pair », est tel que A = {2 ; 4 ; 6}.
•
une éventualité est un événement élémentaire, c’est à dire une partie de Ω à un seul
élément (un singleton). Par exemple {1}.
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l’ensemble vide, noté ∅ ou { } est l’événement impossible (c’est à dire qu’il n’est
jamais réalisé).
•
Ω est l’événement certain (c’est à dire qu’il est toujours réalisé).
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l’événement « A ou B » est défini par A ∪ B (associé à l’opération « + »).
•
l’événement « A et B » est défini par A ∩ B (associé à l’opération « × »).
•
si A ∩ B = ∅ alors A et B sont dits incompatibles.
•
l’événement contraire (ou complémentaire) de A est noté
.
Probabilité
Définir une probabilité sur un univers Ω ayant n éléments (Ω = {a1 ; a2 ; … ; an}), c’est associer à
chaque élément ai (1 ≤ i ≤ n) de Ω un réel pi (0 ≤ pi ≤ 1). On note pi = p({ai}).
Propriétés
•
p(∅) = 0 et
p(Ω) = 1.
•
Une probabilité est un réel compris entre 0 et 1.
•
•
La probabilité d’un événement A = {a1 ; a2 ; a3} est p(A) = p1 + p2 + p3.
Exemple
On lance un dé non pipé : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
p({1}) = p({2}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = p({6}) = .
Soit A l’événement : « obtenir un numéro pair ».
Calculer p(A), définir
et calculer p(
).
Ch. 07 Probabilités conditionnelles
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Soit B l’événement : « obtenir un numéro divisible par 3 ».
Calculer p(B), définir
et calculer p(
).
Autres propriétés
Probabilité d’une réunion d’événements
Soient A et B deux événements quelconques d’un univers Ω, on a :
•
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
•
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
si A et B sont incompatibles, c’est à dire si A ∩ B = ∅.
Exemple
Calculer p(A ∪ B) sur l’exemple précédent.
Probabilité de l’événement contraire
Soient A un événement quelconque d’un univers Ω, on a :
p(
) = 1 – p(A).
D- Cas d’équiprobabilité
Le terme d’équiprobabilité signifie que tous les événements élémentaires ont la même probabilité
de se réaliser. Dans ce cas la probabilité que l’événement A soit réalisé est :
p(A) =
Ch. 07 Probabilités conditionnelles
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