Lycée Boucher de Perthes 2011/2012 Résumé probabilité 2nde I) Vocabulaire des événements Définition L’univers Ω est l’ensemble des issues ( ou résultats possibles ou éventualités) de l’expérience aléatoire. Un événement A est une partie ou sous-ensemble de l’univers Ω. Un événement élémentaire est un ensemble contenant une seule issue de l’expérience. Un événement certain contient toutes les issues, c’est donc Ω Un événement impossible ne contient aucune issue. Exemple On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L’univers est donc Ω = { 1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } Soit A l’événement « obtenir un résultat pair. » A={2;4;6} L’événement B « obtenir 5. » est un événement élémentaire. B={ 5 } L’événement C « obtenir un résultat positif. » est un événement certain. L’événement D « obtenir un résultat supérieur à 8. » est un événement impossible ; c’est l’ensemble vide ; on note D = ∅ Une réunion d’événements ܤ ∪ ܣA l’événement « obtenir un résultat pair. » est formée de toutes les issues qui sont au moins dans l’un des E « obtenir un multiple de 3 » ; E = { 3 ; 6 } deux événements A ou B. A∪E={2;3;4;6} Une intersection d’événements A ∩ B est formée de toutes les A ∩ E = issues qui sont à la fois dans A et A ∩ E est l’événement « obtenir un résultat pair et dans B. un multiple de 3. » Deux événements A et B sont A et B sont disjoints. incompatibles ou disjoints s’ils n’ont aucune issue commune. On a : A ∩ ∅ = ܤ L’événement contraire de A, noté { 1 ; 3 ; 5 } est l’événement ܣҧ : « obtenir un ܣҧ est formé de toutes les issues nombre impair. » qui ne sont pas dans A ; ܣ ∩ ܣҧ = ∅ ݁ܣ ∪ ܣ ݐҧ = Ω II) Vocabulaire des probabilités Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’une éventualité tend vers une valeur « idéale » : on l’appelle probabilité de l’événement élémentaire associé à l’éventualité considérée. C’est un nombre compris entre 0 et 1. On le note p({a}), a étant l’éventualité observée. Exemples : • On lance une pièce de monnaie. La probabilité d’obtenir « face » est 0,5. 1 1 • On lance un dé. La probabilité d’obtenir le nombre 3 est égale à . p({3}) = . 6 6 Lycée Boucher de Perthes 2011/2012 Propriété 1 : (admise) Si A = Ø alors p(A) = 0. Si A ≠ Ø, alors la probabilité de l’événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. Si A = {a1, a2, a3, …, ak}, alors p(A) = p({a1}) + p({a2}) + p({a3}) + …+ p({ak}). Propriété 2 : Quel que soit l’événement A, 0 ≤ p(A) ≤ 1 et p( Ω ) = 1. Équiprobabilité Lorsque chaque événement élémentaire a la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité ou que les événements élémentaires sont équiprobables. Expressions qui signifient qu’il y a équiprobabilité : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On lance une pièce parfaitement équilibrée. On jette un dé non pipé. Les jetons ou les boules sont indiscernables au toucher… Propriété 3 : Si l’on est dans une situation d’équiprobabilité, chaque événement élémentaire a pour probabilité 1 où n n est le nombre d’éventualités. Si A est événement contenant m éventualités, alors p(A) = m . n On écrit parfois p(A) = nombre de résultats favorables nombre de résultats possibles Exemple : On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Chaque tirage est équiprobable. 1 13 1 . La probabilité de tirer un trèfle est de = . La probabilité de tirer le roi de trèfle est 52 4 52 Ω III) Probabilités et événements A Propriété 4 : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) Propriété 5: Si A et B sont incompatibles alors p(A ∪ B) = p(A) + p(B). B A ∪ B Preuve : Si A et B sont incompatibles alors ܿ݊݀ ∅ = ܤ ∩ ܣp( = )ܤ ∩ ܣ0 donc d’après la propriété 4, ሺܤ ∪ ܣሻ = ሺܣሻ + ሺܤሻ Propriété 5 : Quel que soit l’événement A, ሺܣሻ + ሺܣҧሻ = 1 ݐ݅ݏሺܣҧሻ = 1 − ሺܣሻ