Physique : Mécanique2 : Etude de mouvements

Exemples d’étude de mouvement
Soit un point M dont on étudie la trajectoire dans un référentiel R.
I Mouvements rectilignes
La base cartésienne s’impose.
xMxMx etxaetxvetxMO 
)()()( 
 A accélération constante :
000000 2/²)( xtvtatxvtaxax  
(exemple freinage d’une voiture)
 Uniforme
Un mouvement est uniforme lorsque sa vitesse a une norme constante.
Ici , il est en plus rectiligne :
000 )(0 xtvtxavx  
 Exponentiel
 Sinusoïdal
Lorsque l’accélération est
KavectXtxtKx
dtxd
exetKxamxx  )cos()(0)(
²
²
)( 
est la
pulsation du mouvement,
m
X
et  sont obtenus avec deux conditions initiales.
T
2
Exemple :
)cos()(00sin,cos)0)0(,)0(( 0000 tKxtxxXetXxXvxx mmm 
d’où
)2/cos()sin()( 00  txtxtv
déphasé de /2
Maxima de
vdeptxx 0
0
Minima de
vdeimaptx max2/0 
II Mouvement plan à accélération constante
Exemple :
z
egga  
(chute libre)
On projette dans la base cartésienne :
z
y
x
vgtz
vy
vx
gz
y
x
0
0
0
0
Supposons :
sin;cos
0)0()0()0(
0000
0
vvvv
vzyx
zx
y
alors :
0
0
0
0
0
²2 ²
2/²)(
0)(
)(
x
z
x
z
x
vxv v
x
gtvgttz
ty
tvtx
C’est une trajectoire parabolique.
Etude de la portée (point d’impact) :
g
v
Lz
sincos2
02
0

III Mouvement circulaire
Calcul de la vitesse et de l’accélération :
Les coordonnées polaires s’imposent :r=R=cte et z=0 donc 
caractérise la position de M .
D’après les formules cylindriques :
eReRaeteRv rMM
 ²
)()( tt
est la vitesse angulaire ou pulsation du mouvement
On retient pour un mouvement circulaire de rayon R et de pulsation  :
e
dt
d
ReRaeteRv rMM
  ²
Propriétés :
 Dans le cas général l’accélération n’est pas uniforme et a une composante normale et une
composante tangentielle.
 La vitesse est toujours tangentielle.
z
e
est le vecteur rotation du mouvement circulaire, il la caractérise.
En effet, le plan perpendiculaire à sa direction est le plan de la rotation,
sa norme est la pulsation , son sens indique le sens de rotation. On
remarque que
MOv 
Cas du mouvement circulaire uniforme :
 ctectev
rrMM e
R
v
eRaeteRv  ² ²
Remarque : En projection sur la base cartésienne :
eReeRveReRMO yxyx
 )cossin(sincos
IV Autres exemples
Mouvement hélicoïdal :
)()(
)(
tktz
t
cteRr
zrzr ekeReRaekeRvekMO 
 ²eR
Cas d’un mouvement uniforme :
r
eRactekRctev  ²²²
Mouvement spirale :
()
( ) 0
r be
t
zt
err OM be v be e be e