Physique : Mécanique2 : Etude de mouvements

Exemples d’étude de mouvement
Soit un point M dont on étudie la trajectoire dans un référentiel R.
I Mouvements rectilignes
La base cartésienne s’impose.






OM  x(t )ex  vM  x (t )ex  aM  x(t )ex

A accélération constante : x  a0  x  a0t  v0  x(t )  a0t ² / 2  v0t  x0 (exemple freinage d’une voiture)

Uniforme
Un mouvement est uniforme lorsque sa vitesse a une norme constante.


Ici , il est en plus rectiligne : x  v0  a  0  x(t )  v0t  x0

Exponentiel

Sinusoïdal



d ²x
 Kx(t )  0  x(t )  X m cos(t   ) avec   K est la
dt²
2
pulsation du mouvement, X m et  sont obtenus avec deux conditions initiales.  
T
Lorsque l’accélération est a   Kx(t )ex  xex 
Exemple :
( x(0)  x0 , v(0)  0)  X m cos  x0 ,  X m sin  0    0 et X m  x0  x(t )  x0 cos( K t )
d’où v(t )   x0 sin(t )  x0 cos(t   / 2) déphasé de /2
Maxima de x  x0  t  p  0 de v
Minima de x  0  t   / 2  p  max ima de v
II Mouvement plan à accélération constante



Exemple : a  g   gez (chute libre)
x  0

 x  vx 0

z   g


 z   gt  vz 
On projette dans la base cartésienne :  y  0   y  v y 0

 x(t )  v t
x0


 x(0)  y (0)  z (0)  0  v y 0 

Supposons : 
 alors :  y (t )  0



vx 0  v0 cos ; vz 0  v0 sin 
x²
v x
 z (t )   gt² / 2  vz 0t   g
 z0
2vx 0 ² vx 0

C’est une trajectoire parabolique.
Etude de la portée (point d’impact) : z  0  L 
2v02 cos sin
g
III Mouvement circulaire
Calcul de la vitesse et de l’accélération :
Les coordonnées polaires s’imposent :r=R=cte et z=0 donc 
caractérise la position de M .





D’après les formules cylindriques : vM  Re et aM  R² er  Re
(t )   (t ) est la vitesse angulaire ou pulsation du mouvement




On retient pour un mouvement circulaire de rayon R et de pulsation  : vM  R e et aM   R ² er  R
d 
e
dt
Propriétés :
 Dans le cas général l’accélération n’est pas uniforme et a une composante normale et une
composante tangentielle.
 La vitesse est toujours tangentielle.



  ez est le vecteur rotation du mouvement circulaire, il la caractérise.
En effet, le plan perpendiculaire à sa direction est le plan de la rotation,
sa norme est la pulsation , son sens indique le sens de rotation. On

 
remarque que v    OM




Cas du mouvement circulaire uniforme : v  cte    cte  vM  R e et aM   R ² er  




v² 
er
R



Remarque : En projection sur la base cartésienne : OM  R cosex  R siney  v  R( sinex  cosey )  Re
IV Autres exemples
Mouvement hélicoïdal :
r  R  cte

 (t )
 z (t )  k (t )











OM  Rer  ke  v  Re  kez  a  R ²er  R e  k ez


Cas d’un mouvement uniforme : v  cte   R²  k ²    cte  a  R ²er
Mouvement spirale :
r  be

 (t )
 z (t )  0

OM  be er  v  be e  be er