Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement

Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct !O, −→ u,−→ v".
On note Cl’ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1) Proposition :Pourtoutentiernatureln:(1+i)4n =(−4)n.
2) Soit (E) l’équation (z−4)!z2−4z +8"=0où zdésigne un nombre complexe.
Proposition :Lespointsdontlesaffixessontlessolutions,dansC,de(E)sontlessommetsd’untriangle
d’aire 8.
3) Proposition :Pourtoutnombreréelα,1+e2iα=2eiαcos(α).
4) Soit A le point d’affixe zA=1
2(1+i)et Mnle point d’affixe (zA)noù ndésigne un entier naturel supérieur
ou égal à 2.
Proposition :sin−1est divisible par 4, alors les points O,Aet Mnsont alignés.
5) Soit jle nombre complexe de module 1et d’argument 2π
3.
Proposition :1+j+j2=0.
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EXERCICE 4 : corrigé
Proposition 1. VRAI
Proposition 2. FAUX
Proposition 3. VRAI
Proposition 4. VRAI
Proposition 5. VRAI
1) (1+i)2=1+2i −1=2i puis (1+i)4=!(1+i)2"2=(2i)2=−4.Soitalorsnun entier naturel.
(1+i)4n =!(1+i)4"n=(−4)n.
La proposition 1 est vraie.
2) Soit zun nombre complexe.
(z−4)!z2−4z +8"=0⇔z=4ou z2−4z +8=0.
Le discriminant de l’équation z2−4z +8=0est ∆=(−4)2−4×1×8=−16 < 0.L’équationz2−4z +8=0admet
donc deux solutions non réelles conjuguées à savoir z1=−(−4)+4i
2=2+2i et z2=z1=2−2i.
Les solutions de l’équation (E)dans Csont 4,2+2i et 2−2i.
1
2
−1
−2
1234
L’aire du triangle dont les sommets ont pour affixes les solutions de (E)est la moitié de l’aire du rectangle de sommets
les points de coordonnées (2, 2),(4, 2),(4, −2)et (2, −2).Cetteaireestégaleà4×2
2=4.Laproposition2estfausse.
3) Soit αun nombre réel.
1+e2iα=eiα!e−iα+eiα"=eiα(cos α−isin α+cos α+isin α)=2eiαcos(α).
La proposition 3 est vraie.
4) |1+i|=√12+12=√2puis
1
2(1+i)=√2 2#1
√2+i1 √2$=√2
2%cos %π 4&+isin %π 4&&=√2 2eiπ
4.
En particulier, arg (zA)= π
4[2π]puis arg (zMn)=arg !(zA)n"=nπ 4[2π].Onendéduitque%−→
u,−−→ OA&=π
4[2π]et
que %−→ u,−−−→ OMn&=nπ
4[2π]puis que
%−−→
OA, −−−→ OMn&=%−−→ OA, −→ u&+%−→ u,−−−→ OMn&=−%−→ u,−−→ OA&+%−→ u,−−−→ OMn&=−
π
4+nπ 4=(n−1)π 4[2π].
Supposons de plus que n−1soit divisible par 4.Posonsn=4p où pest un entier naturel.
%−−→
OA, −−−→ OMn&=4pπ
4=pπ[2π].
Mais alors les points O,Aet Mnsont alignés. La proposition 4 est vraie.
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5) j=e2iπ
3puis
1+j+j2=1+cos #2π
3$+isin #2π 3$+cos #4π 3$+isin #4π 3$=1−1 2+i√3 2−1 2−i√3 2=0.
La proposition 5 est vraie.
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