I Mesure en radians d`un angle géométrique

Lyc´

ee St-Joseph de Tivoli Premi`

ere S Mars 2017

I Mesure en radians d’un angle g´eom´etrique

I.1 D´eﬁnition

Soit ‘

xOy un angle g´eom´etrique.

L’angle g´eom´etrique ‘

xOy admet une mesure en radians ;

on l’obtient de la fa¸con suivante :

⊲. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dans ce contexte, on appelle mesure en radians de l’angle g´eom´etrique ‘

xOy .................................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D´eﬁnition 1.

Exemple 1. Soit ‘

xOy un angle plat c-`a-d tel que [Ox)et [Oy)sont parall`eles et de sens contraires.

Exemple 2. Soit ‘

xOy un angle droit c-`a-d tel que [Ox)⊥[Oy).

Exemple 3. Soit ‘

xOy un angle droit c-`a-d tel que [Ox)⊥[Oy). Construisons la bissectrice dde ‘

xOy.

I.2 Lien avec le degr´e

Parce qu’on pr´ef`ere mesurer avec des entiers ou des d´ecimaux, on a choisi

de partager le demi-cercle en 180 petits arcs de mˆeme longueur.

On a ainsi cr´e´e une autre unit´e de mesure que le radian, plus souple pour

les mesures, appel´e «degr´e »et d´eﬁnie par la correspondance :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- 1/15 -L

A

T

E

X 2ε

Lyc´

ee St-Joseph de Tivoli Premi`

ere S Mars 2017

On a donc : 









1 radian =. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 degr´e =. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...............................................................

Propri´et´e 1.

Exemple 4. Les calculs de conversion degr´e-radian peuvent se faire simplement, `a partir de l’´egalit´e 180 =πrad :

◮3π

4rad =3

4×πrad =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

◮inversement, on aura : 165 =. . . . . . . . . . . . ×180 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

◮On retiendra les conversions suivantes fr´equemment utilis´ees :

Mesure en radians 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

Mesure en degr´es

I.3 Des r´esultats de g´eom´etrie plane exprim´es en radians

⊲Propri´et´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

⊲Propri´et´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

⊲Application 1 : Construction d’arcs de cercle de longueur π

3,2π

3, etc.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

⊲Application 2 : Construction d’arcs de cercle de longueur π

6,5π

6.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

⊲Soit ABC un triangle isoc`ele rectangle en A.

On a :











.........................

c-`a-d :











. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c-`a-d :











.........................

d’o`u :











. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Propri´et´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- 2/15 -L

A

T

E

X 2ε

Lyc´

ee St-Joseph de Tivoli Premi`

ere S Mars 2017

II Angles orient´es

II.1 D´eﬁnitions

On appelle cercle trigonom´etrique tout cercle dont le rayon est ´egal `a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et sur lequel on a choisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Par convention, le sens direct est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

×

O1

+

D´eﬁnition 2.

Rappel utile pour la suite. Le p´erim`etre d’un cercle de rayon rest : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le p´erim`etre d’un cercle de rayon 1est donc ´egal `a : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le p´erim`etre d’un cercle trigonom´etrique est donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contexte. Soient ~u et ~v deux vecteurs non nuls du plan.

Le couple (~u , ~v)est appel´e angle orient´e des vecteurs ~u et ~v.

Un angle orient´e de vecteurs admet des mesures en radians ; on les obtient de la fa¸con suivante :

⊲on ﬁxe Oun point du plan ;

⊲on construit Cle cercle trigonom´etrique de centre Oet de rayon 1;

⊲on construit les repr´esentants −−→

OA de ~u et −−→

OB de ~v d’origine O;

⊲on note Met Nles points d’intersection des demi-droites [OA)et [OB)avec le cercle C

×

~v

~u

×

C

O

A

B

M

N

(~u , ~v)

+

Dans ce contexte, on appelle mesure en radians de l’angle orient´e (~u , ~v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D´eﬁnition 3.

Exemple 5. Soient ~u et ~v deux vecteurs colin´eaires et de sens contraires.

◮Si on consid`ere le trajet bleu allant

de Mvers Nci-contre ,

⊲.............................

On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

◮Si on consid`ere le trajet bleu allant

de Mvers Nci-contre ,

⊲.............................

On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

◮Si on consid`ere le trajet rouge al-

lant de Mvers Nci-contre ,

⊲.............................

On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

◮Si on consid`ere le trajet rouge al-

lant de Mvers Nci-contre ,

⊲.............................

On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- 3/15 -L

A

T

E

X 2ε

Lyc´

ee St-Joseph de Tivoli Premi`

ere S Mars 2017

Remarque. Mesures de (~u,~v)π

Ces mesures de (~u , ~v)s’obtiennent toutes `a partir de la premi`ere (πrad) en lui ajoutant des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Toutes les mesures de (~u , ~v)s’obtiennent donc `a partir de sa mesure πrad en ajoutant des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On note alors : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ou encore : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemple 6. Soient ~u et ~v deux vecteurs port´es par des droites perpendiculaires.

◮Si on consid`ere le trajet bleu allant

de Mvers Nci-contre ,

⊲.............................

On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

◮Si on consid`ere le trajet bleu allant

de Mvers Nci-contre ,

⊲.............................

On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

◮Si on consid`ere le trajet rouge al-

lant de Mvers Nci-contre ,

⊲.............................

On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

◮Si on consid`ere le trajet rouge al-

lant de Mvers Nci-contre ,

⊲.............................

On a donc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarque. Mesures de (~u,~v)π

Ces mesures de (~u , ~v)s’obtiennent toutes `a partir de la premi`ere (π

2rad) en lui ajoutant des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Toutes les mesures de (~u , ~v)s’obtiennent donc `a partir de sa mesure π

2rad en ajoutant des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On note alors : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ou encore : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- 4/15 -L

A

T

E

X 2ε

Lyc´

ee St-Joseph de Tivoli Premi`

ere S Mars 2017

II.2 Lien entre les mesures en radians d’un angle (~u , ~v)

Soient ~u et ~v les deux vecteurs ci-dessous. Les trajets sur le cercle allant de Mvers Nsont de deux types :

Les trajets directs Les trajets indirects

Ce sont les trajets commen¸cant par suivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(~u , ~v) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc (~u , ~v) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c-`a-d : (~u , ~v) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ce sont les trajets commen¸cant par suivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.................................................................................

(~u , ~v) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc (~u , ~v) = .........................

c-`a-d : (~u , ~v) = .........................

L’´etude pr´ec´edente se g´en´eralise `a tout angle de deux vecteurs. On obtient ainsi la propri´et´e suivante :

Si αest une mesure en radians d’un angle orient´e de deux vecteurs (~u , ~v), alors toutes les autres mesures de (~u , ~v)

sont de la forme :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On note cela : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Propri´et´e 2.

- 5/15 -L

A

T

E

X 2ε