4. Le théorème de dualité - E

4. Le théorème de dualité
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 31 (1985)
Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 25.05.2017
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4. Le théorème de dualité
4.1. Soit f:X-+ Yune application continue entre espaces localement
compacts telle que le foncteur f\ soit de dimension cohomologique finie.
Supposons pour toute la suite de ce paragraphe que l'anneau Rest
noethérien. D'après le théorème 1.5 on peut trouver une /i-résolution
0-> Rx-> X'du faisceau Rxpar des faisceaux plats.
4.2. Si se' eObK{X) on définit un complexe double f*{sé %)en posant
C/f {^'W'q=f*\séq\les différentielles étant induites par celles
de Jf*et de se "respectivement. En prenant le complexe simple associé
on en déduit un foncteur, encore noté f*,de K(X) dans K(Y).
Si eObK(Y) on peut encore définir un complexe triple
en posant
les différentielles étant induites par celle de iï\ de se' et de &respec
tivement.Le complexe simple associé àce complexe triple est canoniquement
isomorphe au complexe simple associé au complexe double des homomor
phismesdu complexe simple associé au complexe double f*{se ') dans le
complexe M'.
4.3. D'une façon analogue on définit un complexe double f^\^') en
posant lf\^i^')Ytq =f^-p(^q)- En prenant le complexe simple associé
on en déduit un foncteur, encore noté /î^-, de K(Y) dans K(X).
On peut aussi définir le complexe triple fflo<m{sé'\ /}#?'($')) en posant
Le complexe simple associé àce complexe triple est canoniquement iso
morpheau complexe simple associé au complexe double des homomorphismes
du complexe sé %dans le complexe simple associé au complexe double
4.4. Proposition. // existe un isomorphisme de complexes defaisceaux sur Y
Démonstration. Le corollaire 3.11 fournit, pour tout (p, q,r) eZxZxZ,
un isomorphisme

compatibles avec les différentielles. On en déduit un isomorphisme de
complexes triples. En passant aux complexes simples associés on obtient
l'isomorphisme X'.
4.5. Rappelons ([Gr], corollaire 3.10) qu'on définit le foncteur /!comme
étant le foncteur dérivé du foncteur /y??
4.6. Théorème. Soit se' un objet de la catégorie dérivée D(X) et
S' un objet de la catégorie dérivée Db(Y). Dans la catégorie D+(Y)
on aun isomorphisme canonique
Démonstration. Soit se' eObD (X) et soit 0-> Rx-? JT' une /j-réso
lutiondu faisceau constant i^xpar des faisceaux plats (théorème 1.5).
On asrf' ®Rx=j/'donc 0-* «s/ '-> js/ '®X'est une résolution de
?si' par des faisceaux /i-mous (proposition 1.4) donc /i-acycliques ([Gr]
lemme 2.10).
Comme par hypothèse f\ est de dimension cohomologique finie le foncteur
Rf\:D{X) -+ D{Y) existe et est donné par R/i(jaO =f*(^'); il induit un
foncteur R/i :D~{X) -> D~{Y) ([H] chap. I, corollaire 5.3).
Maintenant soit 0ê' eObDb{Y) et soit 0-» 08' -+ /' une résolution
injective de 0b '.On aévidemment
donc ([H] chap. I, §6).
(4.6.1)
D'un autre côté les faisceaux /^?(</") sont injectifs (corollaire 2.9), donc les
faisceaux 2teom{sé %
\/^?(/')) et f^om\sé%\f\#?(/')) sont flasques
([Go] chap. II, lemme 7.3.2 et théorème 3.1.1). On aainsi ([H], chap. I,
prop. 5.4)
Donc
(4.6.2)

Le théorème résulte alors du fait que les membres de droite des égalités
(4.6.1) et (4.6.2) sont isomorphes en vertu de la proposition 4.4.
4.7. Appliquons le théorème 4.6 au cas où i'=f\&\ Comme les
foncteurs fet ffl&m sont exacts gauche, en appliquant le foncteur coho
mologiqueH°, puis en prenant les sections globales, on obtient un iso
morphisme
L'image de 1/-!^. par cet isomorphisme permet donc de définir une flèche
d'adjonction
Appendice A:
Les modules plats sur un anneau noethérien
A.l. Soit Run anneau commutatif unitaire et soit Eun R-module. On sait
que le foncteur ?®£ est toujours exact àdroite. On dit alors que Eest
un module plat si ce foncteur est aussi exact àgauche. Cette condition est
équivalente au fait que pour tout R-module Met M' et pour tout homo
morphismeinjectif u: M' -? M, Fhomomorphisme u<g)lE:M'®E -* M®E
est encore injectif ([Bo2], chap. I, §2, prop. 1).
A.2. Soit aun idéal de R. L'inclusion j: a-? Rinduit un homomorphisme
/: a®E -> Eobtenu en composant l'homomorphisme j(g>l£avec l'isomor
phismecanonique R®E =E. On aalors le résultat suivant ([Bo2], chap. I,
§2, N° 3, remarque 1).
Lemme. Pour que Esoit un R-module plat il faut et il suffit que,
pour tout idéal ade Rde type fini, Yhomomorphisme j: a(&E -? E
soit injectif
A.3. Lemme. Soit Eun R-module de présentation finie et soit {Fi}ieI
une famille de R-modules. Alors rhomomorphisme canonique
est un isomorphisme.