4. Le théorème de dualité - E

4. Le théorème de dualité
Objekttyp:
Chapter
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 31 (1985)
Heft 1-2:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
25.05.2017
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4.
Le théorème de
dualité
f
: X -+ Y
Soit
une application continue entre espaces localement
compacts telle que le foncteur f\ soit de dimension cohomologique finie.
Supposons pour toute la suite de ce paragraphe que l'anneau R est
noethérien. D'après le théorème 1.5 on peut trouver une /i-résolution
'
0 -> R x ->
du faisceau R x par des faisceaux plats.
4.1.
X
4.2.
f*
se' eObK{X) on définit un complexe double
{sé ) en posant
q
= f*\sé q \ les différentielles étant induites par celles
{^'W'
*
Si
C/f
Jf
" respectivement.
%
En prenant le complexe simple associé
de K(X) dans K(Y).
on en déduit un foncteur, encore noté
,
Si
e ObK(Y) on peut encore définir un complexe triple
de
et de se
f*
en posant
iï\
&
les différentielles étant induites par celle de
de se' et de
respec
tivement.Le complexe simple associé à ce complexe triple est canoniquement
isomorphe au complexe simple associé au complexe double des homomor
phismesdu complexe simple associé au complexe double
complexe M '.
f* {se
') dans le
f^\^')
D'une façon analogue on définit un complexe double
en
q
tq =
)- En prenant le complexe simple associé
posant
(^
p
on en déduit un foncteur, encore noté /î^-, de K(Y) dans K(X).
On peut aussi définir le complexe triple fflo<m{sé'\ /}#?'($')) en posant
4.3.
lf\^i^')Y
f^-
Le complexe simple associé à ce complexe triple est canoniquement iso
morpheau complexe simple associé au complexe double des homomorphismes
du complexe sé
4.4.
%
Proposition.
Démonstration.
un isomorphisme
dans le complexe simple associé au complexe double
// existe un isomorphisme de complexes de faisceaux sur
Y
Le corollaire 3.11 fournit, pour tout (p, q,r) e Z x Z x Z,
de
compatibles avec les différentielles. On en déduit un isomorphisme
obtient
associés
on
simples
complexes
En
passant aux
complexes triples.
'
l'isomorphisme X
.
Rappelons ([Gr], corollaire 3.10) qu'on définit le foncteur
étant le foncteur dérivé du foncteur
4.5.
/y
se'
!
comme
?
un objet de la catégorie dérivée D (X) et
D b (Y). Dans la catégorie D + (Y)
4.6.
Théorème.
S'
un objet de la catégorie dérivée
on a
un isomorphisme canonique
Soit
?
/
Démonstration. Soit se' e ObD (X) et soit 0 -> R x -? JT' une /j-réso
lutiondu faisceau constant i^ x par des faisceaux plats (théorème 1.5).
'
'
On a srf' ® R x =
est une résolution de
donc 0 -* «s/ ' -> js/ ' ®
?si' par des faisceaux /i-mous (proposition 1.4) donc /i-acycliques ([Gr]
j/
X
lemme 2.10).
f\
Comme par hypothèse
est de dimension cohomologique finie le foncteur
-+ D{Y) existe et est donné par R/i(jaO =
(^'); il induit un
f*
Rf\:D{X)
R/i D~{X)
-> D~{Y) ([H] chap. I, corollaire 5.3).
Maintenant soit 0ê' e ObD b {Y) et soit 0 -» 08' -+
'
injective de 0b On a évidemment
foncteur
:
/'
une résolution
.
donc
([H]
chap. I,
§
6).
(4.6.1)
D'un autre côté les faisceaux
faisceaux
2teom{sé
%
/^ ?(</") sont injectifs (corollaire 2.9), donc les
/^ ?(/'))
f^om\sé
%
\ f\# ?(/'))
sont flasques
([Go] chap. II, lemme 7.3.2 et théorème 3.1.1). On a ainsi ([H], chap. I,
prop. 5.4)
Donc
(4.6.2)
\
et
Le théorème résulte alors du fait que les membres de droite des égalités
(4.6.1) et (4.6.2) sont isomorphes en vertu de la proposition 4.4.
i'
f\&\
Comme les
Appliquons le théorème 4.6 au cas où
=
et ffl&m sont exacts gauche, en appliquant le foncteur coho
mologiqueH°, puis en prenant les sections globales, on obtient un iso
morphisme
4.7.
f
foncteurs
L'image de 1/-!^. par cet isomorphisme permet donc de définir une flèche
d'adjonction
Appendice A:
Les modules
plats sur un anneau noethérien
Soit R un anneau commutatif unitaire et soit E un R-module. On sait
le
foncteur ? ®£ est toujours exact à droite. On dit alors que E est
que
module
un
plat si ce foncteur est aussi exact à gauche. Cette condition est
A.l.
équivalente au fait que pour tout R-module M et M' et pour tout homo
morphismeinjectif u: M' -? M, Fhomomorphisme u<g)l E : M'®E -* M®E
est encore injectif ([Bo2], chap. I, § 2, prop. 1).
A.2.
Soit
un idéal de R. L'inclusion
a
j: a -? R
induit un homomorphisme
/: a®E
-> E obtenu en composant l'homomorphisme j(g>l £ avec l'isomor
phismecanonique R®E = E. On a alors le résultat suivant ([Bo2], chap. I,
§
N°
2,
3,
remarque
Lemme.
Pour que
pour tout idéal
soit injectif
A. 3.
Lemme.
une famille
1).
a
Soit
de
E
de R-modules.
est un isomorphisme.
E
R
soit un R-module plat il faut et il suffit que,
de type fini, Yhomomorphisme j: a(&E -? E
un R-module de présentation finie et soit
Alors rhomomorphisme canonique
{Fi} ieI