Topologie Algébrique M1 Maths Université Denis Diderot
Déroulement du cours 2014
(ce document est mis à jour après chaque cours)
1. 20 janvier : Non rétraction du disque Dnsur son bord (en supposant l’existence
d’un “foncteur” Hayant les bonnes propriétés). Théorème du point fixe de Brouwer.
Définition des catégories et des foncteurs, exemples (Ens,Top,Gr,Ab, ensembles or-
donnés, monoïdes), isomorphismes, monomorphismes épimorphismes, Catégorie X/G
où G:C→Dest un foncteur et Xun objet de D, objet initial/final, unicité à iso-
morphisme canonique près, exemple dans X/U, avec Ufoncteur d’oubli Ab →Gr
(abélianisé) ou VectK→Ens (espace vectoriel libre sur X).
2. 22 janvier : Foncteur Chem qui associe sa catégorie des chemins à extrémités dans
Aà chaque paire topologique (X, A)(notation Top 2pour la catégorie des paires to-
pologiques). Congruence sur une catégorie et théorème de passage au quotient (la
projection sur le quotient étant vue comme un objet initial dans la catégorie appro-
priée), Notion d’homotopie avec un certain degré de généralité (à savoir homotopies
entre morphismes de paires), et catégorie quotient HoTop 2. Foncteur groupoïde fon-
damental (X, A)7→ Π(X, A).
3. 27 janvier : Transformations naturelles. Flèches universelles, exemples. Théorème
de fonctorialité. Foncteurs adjoints.
4. 29 janvier : Unité et co-unité d’une adjonction. Naturalité de ces transformations.
Compositions hétérogènes. Équations triangulaires. Exemples d’utilisation du théo-
rème de fonctorialité : construction de l’adjoint à gauche du foncteur d’oubli Cat →
Grph (construction de l’adjoint à gauche de Grpd →Grph admise). Définition de la
notion de cône sur un diagramme, et notion de limite. Exemples : produit et produit
fibré.
5. 2 février : Limites et colimites. Les adjoints à gauche préservent les colimites.
Sommes amalgamées et exemples avec des ensembles, avec des graphes et avec des
groupoïdes. Chemins n-propres. Théorème de van Kampen. Groupe fondamental du
cercle.
6. 5 février : Revêtements triviaux, revêtements. Tout revêtement est un homéomor-
phisme local. Si un groupe discret agit sur un espace topologique de manière propre-
ment discontinue, la projection sur le quotient est un revêtement. La projection d’un
groupe topologique sur son quotient par un sous-groupe discret est un revêtement.
Exemples. Lemme d’unicité des relèvements. Théorème de relèvement des homoto-
pies. Relèvement des chemins. La flèche induite par un revêtement sur les groupes
fondamentaux est injective.
7. 10 février : Carrés cartésiens et pullbacks. Action du groupe fondamental de la base
d’un revêtement sur la fibre au dessus du point de base. Action transitive du groupe
fondamental de la base sur la fibre quand l’espace total est connexe par arcs. Identifi-
cation du sous-groupe d’isotropie d’un point de la fibre. Suite exacte courte d’un revê-
tement principal. Tout revêtement sur une base connexe, localement connexe par arcs
et simplement connexe est trivial. Critère de relèvement d’une application continue
pointée le long d’un revêtement pointé.
8. 12 février : Tout homéomorphisme local propre entre espaces localement compacts
est un revêtement. Colimites dans Ens et dans Top. Toute surface de classe C2com-
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