De la théorie des catégories à l`usage des modèles en science

-74-
DE
LA
THEORIE
DES
CATEGORIES
A
L'USAGE
DES
MODELES
EN
SCIENCE
"
Les
fôtes
d'orthographe
reconnues
comme
telles
n'en
sont
pas
"
(R.Thom)
Ce
petit papier
a
pour
but de
faire
comprendre
aux
non
initiés
ce
qu'est
l'idée
essentielle
de la
théorie
des
catégories
en
mathématiques
puis
de
transposer
l'esprit
de
cette
théorie
en
sciences
physique
,
humaine
etc
pour
en
tirer
des
conclusions
méthodologiques
quant
à
l'usage
de
l'emploi
des
modèles
.
On
lira
dans
ce qui
suit
:
§
1 -
Qu'est-
ce que la
théorie
des
catégories
?
1.
Introduction
.
2. La
notion
essentielle
de la
théorie
des
catégories
est
la
notion
d'homomorphisme
.
a)
homomorphismes
en
algèbre
abstraite
b)
simplifications
introduites
par un
homomorphisme
;
un
exemple
.
c)
les
homomorphismes
en
topologie
.
3.
La
théorie
des
catégories
.
a)
définition
des
catégories
b)
le
concept
de
foncteur
..
-
75
-
4.
Un
exemple
: le
foncteur
de
Pô
ïncaré
.
Les
transformations naturelles
.
5.
Le
programme
de la
topologie
algébrique
.
§
2 -
L'usage
des
modèles
en
sciences
.
1.
Rapport avec
la
théorie
des
catégories
.
Le cas de la
physique
.
2. Les
"
structures
élémentaires
de la
parenté
"
de
Lévi-Strauss
.
3.
La
valeur
d'un
foncteur
.
Conclusion
.
-
76
-
§
1 -
QU'
EST CE QUE LA
THEORIE
DES
CATEGORIES
?
1
.
Introduction
.
Pour
comprendre
l'Idée
essentielle
de la
théorie
des
catégories,
nous
n'allons
pas
retracer
son
évolution
ou
rechercher
les
raisons
histo-
riques
qui
étaient
à
l'origine
de son
invention
.
Nous allons
regarder
la
théorie
des
catégories dans
son
fonctionnement actuel
et en
dégager
l'idée
essentielle
.
Pour
ceux
qui
n'ont
,
jusque
là
,
fait
aucune
mathématique
, ce qui va
suivre
n'aura
peut-être
pas
beaucoup
de
sens sans
un
effort
d'imagi^
nation considérable
.
Mais c'est
à ce
prix
seulement
qu'on
pourra
comprendre
ce que
sont
les
catégories
vraiment
,
bien
qu'on
puisse
construire
le
début
de la
théorie
des
catégories sans aucune
connais-
sance
pré- alable
:
"
Définition
: on
appelle
catégorie
... etc
"
.'
Mais
ce
procédé
a
toute
chance
de ne
fournir
aucune
connaissance
p
o s t -
alable
.
2. La
notion essentielle
de la
théorie
des
catégories
est la
notion
d1
homomorphisme
.
Par
algèbre générale
,
entendons
l'algèbre
qui
généralise l'algèbre
des
entiers
(
positifs
ou
négatifs
) ,
c'est-à-dire
l'ensemble
2
de
ces
entiers avec
les
deux opérations
d'addition
et de
multiplication
,
sur-
tout
,
( et
aussi
les
relations
d'ordre
et de
divisibilité
) .
L'algèbre
moderne
consiste
donc
à
étudier
des
ensembles
X sur
les-
quels sont
définies
une ou
plusieurs
opérations
( ou
lois
de
composi-
tion
) qui
vérifient
certaines
propriétés
. On dit
qu'un
tel
ensemble
est
structuré
algébriquement
.
-
77
-
La
structure
algébrique
la
plus importante
est
celle
de
groupe
.
Un
groupe
est
un
ensemble
X sur
lequel
est
définie
une
opération notée
f
#
g qui
vérifie
les
propriétés
:
1
)
"
associatîvité
"
:
(
f
*g
) * h = f
*(g
#h)
pour tous
f, g, h de X
2)
il
existe
un
élément
noté
e
,
appelé
élément
neutre,
tel que
(e*f)=f*e
= f
pour tout
f de X
3)
pour
tout
f de X , il
existe
un
f'
dans
X tel que
'f
*
f1
=
fi
#f
=
e
f1
est
appelé
l'inverse
de f
4)
souvent
on a
l'axiome
supplémentaire
de
rl
commutatîvité
"
:
f
#
g = g
*
f
pour
tous
f et g de X .
Par
exemple
J_
avec
son
addition
est un
groupe commutatif
.
Les
groupes sont partout
,
en
mathématiques
. (
Lire
Poincaré
:
Science
et
Hypothèse
à ce
propos
) .
Un
anneau
est un
ensemble muni
de
deux
opérations dont
l'une
est ap-
pelée
addition
et
l'autre
multiplication
, ces
deux opérations ayant
les
mêmes
propriétés
formelles
que
l'addition
et la
multiplication
ordi-
naire
de Z
.
""N.
Un
espace
vectoriel
X
est
comme
un
anneau
,
sauf
que
dans
la
multi-
plication
s'opère,
un
dédoublement
: le
facteur
de
gauche
n'appartient
pas
à X ,
mais
à un
ensemble
auxiliaire,
dont
les
éléments sont
consi-
dérés
comme
des
"
nombres
"
alors
que les
éléments
de X
lui-même
sont
considérés
comme
des
vecteurs
.
t..
t.
c. ••
N.B.
L'émergence
de ces
structures
algébriques
ne
s'est
pas
faite
d'un
coup
:
c'est
le
résultat
d'une
très
longue
activité
mathématique
,
bien
que
l'idée
elle-même
en est
,
après
coup
,
fort
simple
.
-
78
-
C'est
le
concept
d'homomorphisme
qui
permet
de
"
comparer
"
deux
ensembles
structurés
,
X et
X1
. Si on
note
f T g
l'opération
sur X et
f
'
j_
91
ce
I le de
X1
,
un
homomorphisme
H de X
dans
X1
est une
appli-
cation
H : X
-»X'
qui à
tout
élément
f de X
associe
un
élément
noté
H (f )
de
X1
tel que :
(1)
H(f T g) =
H(f)
J-
H(g
On
peut
dire
que H
"
transcrit
"
X
dans
.X1
et la loi T en la loi
_L
.
Le
concept d'homomorphisme
est
fondamental
en
mathématiques
,
di-
sons depuis Galois
,
en
gros
.
b)
Un
hompjriorphisrne_
introduit
souvent
une
simplification.
l_a
transcription
H : X
-»
X1
, au cas où
l'application
est
surjective
,
se
fait
avec perte d'information
. Des
objets
distincts
dans
X
sont iden-
fiés
par H
dans
X1
.
L'homomorphisme
H
appauvrit donc
X.
.
Cette
simplification
par
contre,
permet souvent
des
raisonnements
plus
sim-
ples
(
dans
X1
)
mais
qui
fournissent
des
renseignements
sur
X
.
Prenons
un
exemple
:
l'anneau
des
entiers
module
p .
L'anneau
des
"
entiers
module
p
"
s'obtient
en
identifiant
deux
entiers
x
et y qui
diffèrent
par un
multiple
de
l'entier
p .
Deux tels
entiers
sont
dits
"
congrus
module
p .
Si
a est un
entier
(
ordinaire
) on-
signe
par a
j
ou
Par
a
l'ensemble
de
tous
les
entiers
x
congrus
à a
module
p . Un tel a est
appelé
"
un
entier
module
p" .
L'ensemble
de
tous
les a
quand
a est un
entier
est
noté
Z et
c'est
"
l'anneau
des en-
tiers
modulo
p
"
. Par
construction
,
nous
avons
une
application
sur
jective
:
H :
Z
> Z: a
~
> a =
ce
P
Z
devient
un
anneau
,
comme
Z , en y
définissant
une
addition
et une
multiplication
par les
formules
:
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