De la théorie des catégories à l`usage des modèles en science

-74-
DE LA THEORIE DES CATEGORIES
A
L'USAGE DES MODELES EN SCIENCE
" Les fôtes d'orthographe reconnues
comme telles n'en sont pas " (R.Thom)
Ce petit papier a pour but de faire comprendre aux
non initiés ce qu'est l'idée essentielle de la théorie des catégories en
mathématiques puis de transposer l'esprit de cette théorie en sciences
physique , humaine etc pour en tirer des conclusions méthodologiques
quant à l'usage de l'emploi des modèles .
On lira dans ce qui suit :
§ 1 - Qu'est- ce que la théorie des catégories ?
1. Introduction .
2. La notion essentielle de la théorie des catégories est
la notion d'homomorphisme .
a) homomorphismes en algèbre abstraite
b) simplifications introduites par un homomorphisme ;
un exemple .
c) les homomorphismes en topologie .
3. La théorie des catégories .
a) définition des catégories
b) le concept de foncteur ..

- 75 -
4. Un exemple : le foncteur de Pô ïncaré .
Les transformations naturelles .
5. Le programme de la topologie algébrique .
§ 2 - L'usage des modèles en sciences .
1. Rapport avec la théorie des catégories .
Le cas de la physique .
2. Les " structures élémentaires de la parenté "
de Lévi-Strauss .
3. La valeur d'un foncteur .
Conclusion .

- 76 -
§ 1 - QU' EST CE QUE LA THEORIE DES CATEGORIES ?
1 . Introduction .
Pour comprendre l'Idée essentielle de la théorie des catégories, nous
n'allons pas retracer son évolution ou rechercher les raisons histo-
riques qui étaient à l'origine de son invention . Nous allons regarder
la théorie des catégories dans son fonctionnement actuel et en dégager
l'idée essentielle .
Pour ceux qui n'ont , jusque là , fait aucune mathématique , ce qui va
suivre n'aura peut-être pas beaucoup de sens sans un effort d'imagi^
nation considérable . Mais c'est à ce prix seulement qu'on pourra
comprendre ce que sont les catégories vraiment , bien qu'on puisse
construire le début de la théorie des catégories sans aucune connais-
sance pré- alable :
" Définition : on appelle catégorie ... etc " .'
Mais ce procédé a toute chance de ne fournir aucune connaissance
p o s t - alable .
2. La notion essentielle de la théorie des catégories est la notion
d1 homomorphisme .
Par algèbre générale , entendons l'algèbre qui généralise l'algèbre
des entiers ( positifs ou négatifs ) , c'est-à-dire l'ensemble 2 de ces
entiers avec les deux opérations d'addition et de multiplication , sur-
tout , ( et aussi les relations d'ordre et de divisibilité ) .
L'algèbre moderne consiste donc à étudier des ensembles X sur les-
quels sont définies une ou plusieurs opérations ( ou lois de composi-
tion ) qui vérifient certaines propriétés . On dit qu'un tel ensemble est
structuré algébriquement .

- 77 -
La structure algébrique la plus importante est celle de groupe .
Un groupe est un ensemble X sur lequel est définie une opération notée
f # g qui vérifie les propriétés :
1 ) " associatîvité " :
( f *g ) * h = f *(g #h) pour tous f, g, h de X
2) il existe un élément noté e , appelé élément neutre, tel que
(e*f)=f*e = f pour tout f de X
3) pour tout f de X , il existe un f' dans X tel que
'f * f1 = fi #f = e
f1 est appelé l'inverse de f
4) souvent on a l'axiome supplémentaire de
rl commutatîvité " :
f #• g = g •* f pour tous f et g de X .
Par exemple J_ avec son addition est un groupe commutatif .
Les groupes sont partout , en mathématiques . ( Lire Poincaré :
Science et Hypothèse à ce propos ) .
Un anneau est un ensemble muni de deux opérations dont l'une est ap-
pelée addition et l'autre multiplication , ces deux opérations ayant les
mêmes propriétés formelles que l'addition et la multiplication ordi-
naire de Z . ""N.
Un espace vectoriel X est comme un anneau , sauf que dans la multi-
plication s'opère, un dédoublement : le facteur de gauche n'appartient
pas à X , mais à un ensemble auxiliaire, dont les éléments sont consi-
dérés comme des " nombres " alors que les éléments de X lui-même
sont considérés comme des vecteurs .
t.. t. c. •••
N.B. L'émergence de ces structures algébriques ne s'est pas faite
d'un coup : c'est le résultat d'une très longue activité mathématique ,
bien que l'idée elle-même en est , après coup , fort simple .

- 78 -
C'est le concept d'homomorphisme qui permet de " comparer " deux
ensembles structurés , X et X1 . Si on note f T g l'opération sur X et
f ' j_ 91 ce I le de X1 , un homomorphisme H de X dans X1 est une appli-
cation H : X -»X' qui à tout élément f de X associe un élément noté H (f )
de X1 tel que :
(1)
H(f T g) = H(f) J- H(g
On peut dire que H " transcrit " X dans .X1 et la loi T en la loi _L .
Le concept d'homomorphisme est fondamental en mathématiques , di-
sons depuis Galois , en gros .
b) Un hompjriorphisrne_ introduit souvent une simplification.
l_a transcription H : X -» X1 , au cas où l'application est surjective ,
se fait avec perte d'information . Des objets distincts dans X sont iden-
fiés par H dans X1 . L'homomorphisme H appauvrit donc X. . Cette
simplification par contre, permet souvent des raisonnements plus sim-
ples ( dans X1 ) mais qui fournissent des renseignements sur X .
Prenons un exemple : l'anneau des entiers module p .
L'anneau des " entiers module p " s'obtient en identifiant deux entiers
x et y qui diffèrent par un multiple de l'entier p . Deux tels entiers
sont dits " congrus module p . Si a est un entier ( ordinaire ) on dé-
signe par a j ou Par a l'ensemble de tous les entiers x congrus à a
module p . Un tel a est appelé " un entier module p" . L'ensemble de
tous les a quand a est un entier est noté Z et c'est " l'anneau des en-
tiers modulo p " . Par construction , nous avons une application sur —
jective :
H : Z > Z •: a ~ > a = ce
P
Z devient un anneau , comme Z , en y définissant une addition et une
multiplication par les formules :